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        技巧的誤區(qū)

        2008-12-09 03:32:30湯建鋒
        中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年10期
        關(guān)鍵詞:解題技巧數(shù)形誤區(qū)

        湯建鋒

        數(shù)學(xué)解題技巧是數(shù)學(xué)的靈魂,它既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的靈活多變,又培養(yǎng)了學(xué)生思維的創(chuàng)造性.然而,技巧有時(shí)卻是一把雙刃劍,許多同學(xué)使用不當(dāng),反而落入技巧的陷阱.本文結(jié)合幾個(gè)案例來談?wù)勈褂眉记傻恼`區(qū),以供大家參考.

        一、走下神壇的形

        數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想,也是分析問題,解決問題的有力工具,由于它的直觀、快捷,許多同學(xué)對(duì)它青睞有加,“言必形,形必果”,是很多人的解題信條,然而,形真的那么神嗎?

        例1 (2006年陜西卷)已知函數(shù)f(x)=ax2+2ax+4(0

        (A)f(x1)>f(x2) (B)f(x1)

        (C)f(x1)=f(x2)

        (D)f(x1)與f(x2)的大小不能確定

        分析:許多同學(xué)看到此題馬上想到數(shù)形結(jié)合,f(x)的對(duì)稱軸為x=-1,作出函數(shù)圖像后卻發(fā)現(xiàn)由于a是變量,無法準(zhǔn)確判斷x1,x2與-1的位置關(guān)系,迫于無奈只好選D,然而我們?nèi)魪臄?shù)入手,直接作差f(x2)-f(x1)=a(x2-x1)(x2+x1+2)=a(x2-x1)(3-a),答案一目了然,選A.

        例2 函數(shù)f(x)=14x2,若存在實(shí)數(shù)t,使當(dāng)x∈[1,m](m>1)時(shí),f(x+t)≤x恒成立,求m的取值范圍.

        分析:由f(x+t)≤x,得14(x+t)2≤x,即x2+(2t-4)x+t2≤0,x∈[1,m](m>1)時(shí)恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2+(2t-4)x+t2,如圖1,則

        g(1)=t2+2t-3≤0,

        g(m)=m2+(2t-4)m+t2≤0,分析到此處,由于變量太多,大多數(shù)同學(xué)在此卡住,僅少數(shù)同學(xué)求出-3≤t≤1,再通過對(duì)稱軸x=2-t∈[1,5],結(jié)合g(x)圖像勉強(qiáng)猜出1

        正解:由14(x+t)2≤x,可得|x+t|≤2x,即-x-2x≤t≤-x+2x,x∈[1,m]時(shí)恒成立,則[-x-2x]玬ax≤t≤[-x+2x]玬in,-3≤t≤-(m-1)2+1,

        ∴-(m-1)2+1≥-3,∴1

        評(píng)注:尺有所長(zhǎng),寸有所短,任何一種方法,技巧都有其局限性.本題由于變量多,函數(shù)圖像位置不定,當(dāng)直觀靜止的圖形運(yùn)動(dòng)變化起來,許多同學(xué)就無所適從了,既然如此,我們不妨換個(gè)角度,拋開形的束縛直接從數(shù)入手反而會(huì)柳暗花明又一春.

        二、平平淡淡才是真

        許多同學(xué)在解題時(shí)重技巧輕計(jì)算,奉奇思妙解為“陽春白雪”,視常規(guī)解法為“下里巴人”,結(jié)果往往在“陽春白雪”前碰壁,欲速則不達(dá).

        例3 (07全國卷Ⅰ理)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-e-x.若對(duì)所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范圍.

        分析:不等式恒成立問題主要有兩種方法:構(gòu)造新函數(shù)或分離參數(shù)法.構(gòu)造法往往要對(duì)參數(shù)分類討論,計(jì)算量大,所以大多數(shù)同學(xué)喜歡簡(jiǎn)潔明了運(yùn)算少的分離參數(shù)法.

        解:由題意當(dāng)x=0時(shí),不等式成立;當(dāng)x>0時(shí),可得a≤ex-e-x獂,即a≤[ex-e-x獂]玬in,設(shè)g(x)=ex-e-x獂,得g′(x)=(x-1)ex+(x+1)e-x獂2,令g′(x)=0,無法求出方程的根,故極值也無法求出.做到此處,只能“突然死亡”,功虧一簣.

        正解:令g(x)=f(x)-ax,則g′(x)=f′(x)-a=ex+e-x-a,(玦)若a≤2,當(dāng)x>0時(shí),g′(x)=ex+e-x-a>2-a≥0,故g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),所以x≥0時(shí),g(x)≥g(0),即f(x)≥ax.

        (玦i)若a>2,方程g′(x)=0的正根為x1=玪n玜+a2-42,此時(shí),若x∈(0,x1),則g′(x)<0,故g(x)在該區(qū)間為減函數(shù).所以,x∈(0,x1)時(shí),g(x)

        評(píng)注:在技巧碰壁時(shí),驀然回首,才發(fā)現(xiàn)被忽視的卻是最有效的,繁瑣的往往是最簡(jiǎn)單的.

        三、華山不止一條道

        靈活多變的解題技巧有時(shí)也會(huì)轉(zhuǎn)化為定勢(shì).對(duì)任何一種技巧的強(qiáng)化,必然會(huì)加深解題時(shí)固定的思維傾向,使我們不假思索地進(jìn)入它所設(shè)定的路徑和圈套,一條道走到黑而渾然不覺.

        例4 x>0,y>0,x+y+1=xy,求2x+y的最小值.

        錯(cuò)解:由xy=x+y+1≥2xy+1,得xy≥1+2,所以2x+y≥22xy≥22+4.

        這是作業(yè)中大多數(shù)同學(xué)的答案,我覺得很奇怪,因?yàn)樵诨静坏仁降倪\(yùn)用中多次強(qiáng)調(diào)“相等”的重要性,按道理不可能犯這樣低級(jí)的錯(cuò)誤,問了幾個(gè)同學(xué),他們說:我們也知道這方法不對(duì),本來也不會(huì)這樣做的,因?yàn)榭吹綏l件中的x+y+1=xy,很容易想起逆代法,對(duì)等式兩邊同除以xy,得1x+1y+1xy=1,∴2x+y=(1x+1y+1xy)(2x+y)=3+yx+2xy+2y+1x,結(jié)果發(fā)現(xiàn)無法進(jìn)行下去,迫于無奈才用了第一種方法.

        原來如此,許多同學(xué)看到等式中有x+y,xy很容易聯(lián)想到逆代法,卻沒有發(fā)現(xiàn)式中多了常數(shù)1,正是不起眼的“1”使同學(xué)們?cè)瓉眄槙车乃季S阻塞,束手無策.

        正解:由x+y+1=xy,得y=x+1x-1(x>1),∴2x+y=2x+x+1x-1=2(x-1)+2x-1+3≥7.

        評(píng)注:世易時(shí)移,變法宜矣 ,在解題時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到一些形似而質(zhì)異的問題,若仍然生搬硬套則解題技巧反而會(huì)轉(zhuǎn)化為思維定勢(shì),使解題者落入技巧的陷阱.

        總之,任何事物都有其兩面性,解題技巧也不例外,它有時(shí)是一座橋,可以讓我們順利渡過問題之河,有時(shí)卻象一堵墻,阻擋我們前進(jìn)的步伐.因此,我們?cè)谥匾曀耐瑫r(shí)應(yīng)保持清醒的認(rèn)識(shí),以免步入技巧的誤區(qū).

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