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        使用判別式求值域的錯解分析

        2008-12-09 03:32:30吳文慧
        中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年10期
        關(guān)鍵詞:變形分析

        吳文慧

        對于實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0,我們將△=b2-4ac稱為它的判別式.解數(shù)學(xué)題時,我們經(jīng)常會使用到△.判別式法的實質(zhì)是將函數(shù)值域問題轉(zhuǎn)化為方程在實數(shù)集上有解的條件,若自變量的取值范圍是某個特定區(qū)間,則應(yīng)轉(zhuǎn)化為在此區(qū)間上有解的條件,此時△≥0僅為必要條件,而不是充分條件,但在解題中,有時因?qū)λ倪m用范圍不清楚,從而導(dǎo)致錯誤.本文就一些常見錯誤加以分析,旨在更好的掌握判別式求值域的方法.

        例1 求函數(shù)y=x2-x+1x2+x+1(0≤x≤1)的值域.

        錯解:將上式變形為(y-1)x2+(y+1)x+y-1=0 (1),∵x為實數(shù),∴△=(y+1)2-4(y-1)(y-1)≥0 (2),解之得13≤y≤3.

        分析:由于將0≤x≤1擴大為全體實數(shù),因此的y范圍也可能擴大.

        正確解法:除去(2)之外,對(1),由韋達定理,二根α,β滿足α?β=y-1y-1=1,∵α,β互為倒數(shù),設(shè)其中一根滿足0≤α≤1,∴α+β=y+11-y≥2,解之得13≤y<1.注意對于(1),當(dāng)y=1時,x=0顯然滿足要求,綜合上述可知13≤y≤1.

        例2 求y=玸in玿+玞os玿玸in玿玞os玿,x∈(5π12,π2)的值域.

        錯解:令t=玸in玿+玞os玿,由玸in玿玞os玿=(玸in玿+玞os玿)2-12=t2-12,因此原函數(shù)值域即為y=2tt2-1的值域.

        將上式變形為yt2-2t-y=0,∵t≠0,故y≠0,方程可化為t2-2yt-1=0.此時△=(2y)2+4>0,∴y∈R且y≠0.

        分析:忽視了x∈(5π12,π2)的條件限制,從而忽視了t的取值范圍,此時運用判別式法,導(dǎo)致錯誤.

        正確解法:令t=玸in玿+玞os玿=2玸in(x+π4),∵5π12

        ∵t≠0,故y≠0,方程可化為t2-2yt-1=0,設(shè)t1,t2為方程的兩根,則t1t2=-1<0,(t1,t2異號),故方程在(1,62)上最多僅有一根,令f(t)=t2-2yt-1,由二次函數(shù)圖像知方程在(1,62)上有一解的充要條件是:f(1)<0,

        f(62)>0,即-2y<0,

        12-6y>0,解之得y>26,即為所求函數(shù)的值域.

        通過以上兩例常見錯誤的剖析可知,在運用判別式法求函數(shù)值域時,要注意是否有擴大值域范圍的情況,并掌握如何檢查出擴大的部分,或者選用其它方法求解.

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