蘇立標
2008年的數(shù)學高考試題可以說是好題薈翠、精彩迭出,留下許多經(jīng)典之筆,可圈可點,今年浙江高考的解析幾何更是在眾多的高考試題中脫穎而出,成為其中一顆耀眼的“明珠”,再次引起人們的極大關注.下面主要對這道高考試題及其背景作一些點評與剖析.
一、試題解法的探究與點評
題目 已知曲線C是到點P(-12,38)和到直線y=-58距離相等的點的軌跡.l是過點Q(-1,0)的直線,M是C上(不在l上)的動點;A、B在l上,MA⊥l,MB⊥x軸(如圖).(1)求曲線C的方程;(2)求出直線l的方程,使得|QB|2|QA|為常數(shù).
解(1):設N(x,y)為C上的點,易得曲線C的方程為y=12(x2+x).
(2)解法1:設M(x,x2+x2),直線l:y=kx+k,則B(x,kx+k),從而|QB|=1+k2|x+1|.
在Rt△QMA中,因為|QM|2=(x+1)2?(1+x24),|MA|2=(x+1)2(k-x2)21+k2.所以|QA|2=|QM|2-|MA|2=(x+1)24(1+k2)(kx+2)2.|QA|=|x+1|?|kx+2|21+k2,|QB|2|QA|=2(1+k2)1+k2|k||x+1x+2k|.當k=2時,|QB|2|QA|=55.從而所求直線l的方程為2x-y+2=0.
解法2:設M(x,x2+x2),直線l:y=kx+k,則B(x,kx+k),從而|QB|=1+k2|x+1|.過Q(-1,0)垂直于l的直線l1:y=-1k(x+1).因為|QA|=|MH|,所以|QA|=|x+1|?|kx+2|21+k2,|QB|2|QA|=2(1+k2)1+k2|k|?|x+1x+2k|.當k=2時,|QB|2|QA|=55,從而所求直線l的方程為2x-y+2=0.
點評:這是一道返璞歸真的探索定值問題的高考試題,其設計之新穎,立意之深邃,把解析幾何的基本思想體現(xiàn)得如此酣暢淋漓,整個試題設計匠心獨運,背景熟悉而深刻,有一種“似曾相識燕歸來”的感覺,給考生一種平和親切的答題氛圍.由于探究而使得問題不落俗套;由于方法回歸基礎而使得問題變得“樸素無華”;由于利用平面幾何知識而使得問題變得簡單明了.整個問題的設計集“動點”與“定值”于一體,完美結合,可以說是“動靜結合總相宜”.
二、試題的思考與背景
思考1:“注重通性通法,淡化特殊技巧”是近幾年高考數(shù)學命題者所追求的一貫風格.
在我們高三的復習課中,特別是第一輪的高考復習更應該加強基礎知識的落實與強化回歸,這是高考成功的根本之所在.其實,對于這個高考試題只要認真地把有關點的坐標表示出來,那么距離就迎刃而解,結論也就“水到渠成”了,所以在數(shù)學思想上,我們的復習課要堅決貫徹“最基礎的最有生命力,最基礎的最有遷移力”這一重要理念.
思考2:注重引導學生對解題后的回顧反思與刨根問底是非常有必要的.
當我們解答完成時,我們要引導學生“常常回頭看看”,尋找命題的背景材料,追蹤命題者的命題思路與痕跡,這樣既可以培養(yǎng)學生善于思考、善于探究的能力,而且還可以提高我們復習課的效率.所以在這里,我們不禁要問:當直線l的斜率k=2時,直線l與拋物線處于一種什么樣的幾何狀態(tài)呢?我們易求得在點Q處拋物線的切線的斜率為k切=(x+12)|x=-1=-12,所以k?k切=-1,這說明直線l是與過點Q的拋物線的切線垂直的直線,即l是過點Q的拋物線的 法線.至此,直線l的真面目”已經(jīng)“浮出水面”,事實上,該命題所揭示的問題背景正是拋物線法線的一個有趣的幾何性質(zhì).
背景剖析:設Q為拋物線x2=2py(p>0)上的任意一點,QT是拋物線在點Q處的法線段,M是拋物線上(不在QT上)的動點,如果A、B在QT上,MA⊥QT,MB⊥x軸,則|QB|2=|QA|?|QT|.
證明:設Q(x0,x202p),則法線QT的方程為y-x202p=-px0(x-x0),即y=-px0x+p+x202p,代入拋物線方程得x2+2p2x0x-2p2-x20=0,∴x1+x2=-2px0,x1?x2=-2p2-x20,因此|QT|=1+p2x20|x1-x2|=2(x20+p2)32x20(1),設M(x1,x212p),則
B(x1,-px0x1+p+x202p),
∴|QB|2=(x1-x0)2+(p-px0x1)2=x20+p2x20?(x1-x0)2 (2).
過點Q的切線方程為xx0=p(y+x202p),即xx0-py-x202=0,MA的方程為xx0-py+x212-x1x0=0,由兩條平行直線的距離公式知|QA|=|x212-x1x0+x202|x20+p2=12(x1-x0)2x20+p2(3).
由(1)(2)(3)可知|QB|2=|QA|?|QT|.
三、結束語
經(jīng)過解題后的深入反思,我們可以這樣說,同樣的問題,不一樣的精彩!也只有不斷進行解題反思,才能觸及數(shù)學問題的本質(zhì).
有人曾說過“如果教師跪著教,那么學生就趴著學”,所以我們教師只有選擇站著,而且要站到一定的高度,我們的教學才有希望到達“會當凌絕頂,一覽眾山小”的境界.
參考文獻
[1]狄海鳴.2008年數(shù)學高考評卷感想.中學教研(數(shù)學).2008年第8期.