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        “有理數(shù)”概念和方法歸納

        2008-10-15 10:53:38陳開金
        關鍵詞:有理數(shù)正數(shù)負數(shù)

        陳開金

        學習數(shù)學需要歸納和總結,這樣才能鞏固和深化知識.下面請陳老師幫我們歸納“有理數(shù)”這部分知識.

        “有理數(shù)”這一章主要內容是有理數(shù)的有關概念及其運算.全章從實例出發(fā)引入負數(shù)和有理數(shù)的有關概念,在此基礎上學習本章的重點——有理數(shù)的運算,是進一步學習式、方程等數(shù)與代數(shù)知識的基礎.

        一、透徹理解本章的主要概念、法則

        1.負數(shù)

        在正數(shù)前面加上“-”號表示的數(shù)叫負數(shù);或定義成比0小的數(shù)叫負數(shù).

        注意:不能籠統(tǒng)地說帶有負號的數(shù)叫負數(shù).例如,當a為0時,-a表示0;當a本身是負數(shù)時,-a表示正數(shù).

        2.數(shù)軸

        規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫數(shù)軸.利用數(shù)軸可直觀地理解相反數(shù)、絕對值,以及有理數(shù)的加法法則與乘法法則.這是數(shù)學上常用的數(shù)形結合思想.

        注意:任意一個有理數(shù)可以用數(shù)軸上的一個點表示,但數(shù)軸上的點卻未必都表示有理數(shù).

        3.絕對值

        在數(shù)軸上,一個數(shù)所對應的點與原點的距離叫做該數(shù)的絕對值.正數(shù)的絕對值是它本身,負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),0的絕對值是0.

        注意:①有理數(shù)由性質符號和絕對值兩部分構成.性質符號和絕對值確定后,這個有理數(shù)也就完全確定.因此,我們在后面進行有理數(shù)的加、減、乘、除和乘方運算時,都是分為兩步:先確定符號,再確定絕對值.

        ②由于距離最小為0,所以絕對值不可能為負數(shù).

        ③正數(shù)的絕對值是它本身.但反過來,絕對值等于它本身的數(shù)卻未必是正數(shù),還可能是0;同樣,如果一個數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),這個數(shù)可能是負數(shù),也可能是0.

        4.相反數(shù)

        只有符號不同的兩個數(shù)叫互為相反數(shù).一般地,a的相反數(shù)記為-a.特別地,0的相反數(shù)是0.引入相反數(shù),使得加減這一對逆運算的統(tǒng)一成為可能.

        注意:①“只有符號不同”意味著絕對值相同;②若a與b互為相反數(shù),則a+b=0;反過來也對.

        5.倒數(shù)

        乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù),0沒有倒數(shù).

        注意:互為倒數(shù)的兩個數(shù)符號相同;寫一個整數(shù)n的倒數(shù)時,直接寫成1/n;寫一個分數(shù)的倒數(shù)時,直接把它的分子分母調換位置;小數(shù)需要先化成分數(shù)再寫它的倒數(shù).

        6.有理數(shù)運算

        理解算理:在探究有理數(shù)法則時,要善于利用實際意義理解運算的結果,還要善于利用數(shù)軸來理解相關運算的結果.

        理解法則:分兩類,一是直接運算法則,二是轉化為逆運算的法則.

        有理數(shù)加法、乘法、除法運算都可以直接計算,分兩步進行,在確定符號的基礎上,進行絕對值運算.相關法則也分兩部分,一是符號法則,二是絕對值運算法則.

        有理數(shù)加法與減法互化要利用相反數(shù),有理數(shù)乘法與除法互化要利用倒數(shù).

        二、靈活運用解題方法

        (一)如何比較兩個有理數(shù)的大小

        符號不同的數(shù)直接確定大?。赫龜?shù)大于0,0大于負數(shù),正數(shù)大于負數(shù).符號相同的數(shù)用絕對值比較:兩個正數(shù),絕對值大的數(shù)大;兩個負數(shù),絕對值大的反而小.用數(shù)軸來比較:在數(shù)軸上,右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大.用求差法來比較:若差為正數(shù),則被減數(shù)比減數(shù)大;若差為0,則被減數(shù)等于減數(shù);若差為負數(shù),則被減數(shù)小于減數(shù).

        (二)如何運用運算律簡化有理數(shù)運算

        1.有理數(shù)加減混合運算的順序

        把加減法統(tǒng)一成加法→把加法算式寫成省略括號和加號的代數(shù)和的形式→運用交換律和結合律簡化運算.

        在最后一步中注意把正數(shù)、負數(shù)分別相加;把同分母的分數(shù)相加;把互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加;把相加得整數(shù)的數(shù)相加;把各數(shù)減去一個相同的基數(shù)再相加……可以有效簡化運算.

        2.有理數(shù)乘法運算的順序

        先確定積的符號,再把絕對值相乘:幾個不等于0的有理數(shù)相乘時,積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定.當負因數(shù)有奇數(shù)個時,積為負;當負因數(shù)有偶數(shù)個時,積為正.

        在實際運算時,利用交換律和結合律,把互為倒數(shù)的兩個數(shù)相乘;把可以約分的分數(shù)先約分,再相乘;把乘積為整數(shù)的幾個因數(shù)相乘.以上方法都可以簡化乘法運算.

        3.有理數(shù)除法運算法則的選用

        當被除數(shù)與除數(shù)能整除時,先確定符號,再把絕對值相除;當被除數(shù)與除數(shù)不能整除時,先把除法轉化為乘法,然后利用有理數(shù)的乘法法則來計算.

        4.有理數(shù)的乘方運算的順序

        把乘方運算轉化為乘法運算是常見思路,但未必是最簡單的思路.如果利用“正數(shù)的任何次冪是正數(shù),負數(shù)的奇次冪是負數(shù),負數(shù)的偶次冪是正數(shù)”先確定冪的符號,再求冪的絕對值,會使運算簡單且不易出錯.

        三、善于發(fā)現(xiàn)和歸納規(guī)律,解決新問題

        問題已知an=(-1)n+1,當n=1時,a1=0;當n=2時,a2=2;當n=3時,a3=0;……則a1+a2+a3+…+a28的值為 .

        依次計算不難發(fā)現(xiàn),當n依次取1,2,3,4,5,6,…時,對應的an=(-1)n+1的值依次為0,2,0,2,0,2,…,可以發(fā)現(xiàn)0與2交替出現(xiàn),故a1+a2+a3+…+a28的值不用一一計算,就可以直接得出結果為28.解決這類問題,需要先算出前面部分的數(shù),然后仔細尋找數(shù)與數(shù)之間規(guī)律,尋找規(guī)律是解決這類題的關鍵.

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