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        你會探索規(guī)律嗎

        2008-10-15 10:53:38劉繼征金家春
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)

        劉繼征 金家春

        探索規(guī)律問題是十分有趣的,本文舉了兩例,以拋磚引玉,希望能對同學(xué)們有所啟示.

        規(guī)律探求問題既有利于考查同學(xué)們運用數(shù)學(xué)符號的能力,又能體現(xiàn)同學(xué)們運用規(guī)律解決問題的能力.下面從一則簡單的問題入手,例析其解法.

        問題1研究下列算式,你會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?請將你找出的規(guī)律用公式表示出來.

        1×3+1=4=22;2×4+1=9=32;3×5+1=16=42;4×6+1=25=52;……

        解析:所要找出的規(guī)律就是第n個式子怎么表示.很明顯,每個等式左邊為兩個式子的和,其中第二個式子為常數(shù)1,不變;而第一個式子為兩個數(shù)相乘,且第一個數(shù)又比第二個數(shù)小2.從總體上看,第一個式子的第一個數(shù)是從自然數(shù)1開始的,并依次增加1.等式的右邊恰好是左邊相乘的那兩個數(shù)的平均數(shù)的平方.這樣,第n個式子就是n(n+2)+1=(n+1)2,這正是所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

        好的,知道規(guī)律了,同學(xué)們肯定會求99×101+1的值,自己動手算算吧.通過上題的分析,我們知道,想學(xué)好數(shù)學(xué),就需要不斷去猜想、探索和總結(jié).當(dāng)然,對于猜想的結(jié)論是否正確,仍須進(jìn)行證明.但有些復(fù)雜問題,有待今后證明.再看下面的問題.

        問題2觀察下面的等式,并根據(jù)規(guī)律,請你猜測:

        1×2=×1×2×3;1×2+2×3=×2×3×4;1×2+2×3+3×4=×3×4×5;1×2+2×3+3×4+4×5=×4×5×6;…;1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=(n為正整數(shù)).

        解析:仔細(xì)觀察,并根據(jù)此題的特征,不難發(fā)現(xiàn),等式右邊恰為三個連續(xù)正整數(shù)的乘積的.這樣第n個等式就是:1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2).這正是所得出的規(guī)律.

        變式訓(xùn)練題:請求出式子1×2+2×3+3×4+…+2 007×2 008的值.

        (提示:可利用所探索出的公式,得:原式=×2 007×2 008×2 009=2 698 794 168)

        注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文

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