徐壽春

絕對(duì)值是初中數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重點(diǎn),也是一個(gè)難點(diǎn),其中蘊(yùn)涵著許多有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想,值得好好挖掘.現(xiàn)借助幾例,與你一起來探究一下.

一?分類討論的思想

我們知道:一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身,一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù),0的絕對(duì)值是0.反過來,一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù),則這個(gè)數(shù)的正負(fù)性有兩種可能,我們?cè)诮鉀Q問題時(shí),就要分類討論研究.

例1已知|x|=1,y=1,求x+y的值.

分析:由絕對(duì)值的定義可知:已知|x|=1,可求出x=±1.從而求出代數(shù)式x+y的值,這里須分情況討論.

解:∵|x|=1,

∴x=±1.

于是有兩種情況:

(1)當(dāng)x=1,y=1時(shí),x+y=1+1=2;

(2)當(dāng)x=-1,y=1時(shí),x+y=-1+1=0.

一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù),則這個(gè)數(shù)的正負(fù)性有兩種可能,在沒有說它是正是負(fù)時(shí),要分類討論.

練一練絕對(duì)值等于它的相反數(shù)的數(shù)是_______________.

提示:我們知道,負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù),是不是就這一種?仔細(xì)一想,還會(huì)記起“零的絕對(duì)值是零”,其包括兩層意思:一,零的絕對(duì)值是它本身;二,零的絕對(duì)值是它的相反數(shù).熟練掌握了這種特殊性質(zhì),就容易解決這個(gè)問題了.

二?數(shù)形結(jié)合的思想

我們知道:在數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值.絕對(duì)值反映了“距離”問題,由此得出:

①任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù);

②在原點(diǎn)兩邊存在著與其距離相同的兩個(gè)點(diǎn),但它們表示的數(shù)正好是相反數(shù);

③絕對(duì)值最小的數(shù)是零,但無絕對(duì)值最大的數(shù).

例2絕對(duì)值小于2 008的所有整數(shù)有多少個(gè)?

分析:直接列出所有整數(shù),可能會(huì)漏一些數(shù),借用數(shù)軸來做做.

解:畫數(shù)軸草圖,這里略.

在數(shù)軸上離開原點(diǎn)的距離小于1,這樣的點(diǎn)表示的整數(shù)只有一個(gè):0.

在數(shù)軸上離開原點(diǎn)的距離小于2,這樣的點(diǎn)表示的整數(shù)只有三個(gè):0,±1.

在數(shù)軸上離開原點(diǎn)的距離小于3,這樣的點(diǎn)表示的整數(shù)只有五個(gè):0,±1,±2.

故絕對(duì)值小于2 008的所有整數(shù),共有2 007×2+1=4 015(個(gè)).

結(jié)合數(shù)軸,先從簡單情形入手,逐步深入分析,找出規(guī)律,從而解決問題.