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        如何理解和應(yīng)用絕對值

        2008-10-15 10:53:38任風(fēng)良唐紅霞
        關(guān)鍵詞:符號分類方法

        任風(fēng)良 唐紅霞

        絕對值是初中數(shù)學(xué)知識的重點(diǎn)和難點(diǎn),在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)方面,望同學(xué)們能透切理解,靈活運(yùn)用.

        一、注意理解絕對值的幾何意義

        數(shù)a的絕對值記作|a|,它是指數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.學(xué)習(xí)概念時(shí)應(yīng)注意:

        (1)絕對值表示的是距離,因此它一定不是負(fù)值,即|a|≥0;

        (2)滿足|a|=3的a值有兩個(gè),即a=±3,即絕對值為一個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè),這兩個(gè)數(shù)是一對相反數(shù).

        二、絕對值的符號如何去

        解決含絕對值符號的問題,一般要先去掉絕對值符號,化為不含絕對值符號的形式,然后再求解.去掉絕對值符號的方法主要有以下三個(gè).

        1.依據(jù)條件去掉絕對值符號.

        根據(jù)直接或間接給定的條件去掉絕對值符號,這是去掉絕對值符號的常見方法.

        例1實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示.化簡:|a|-|a-b|-|c|.

        簡析:本題主要考查絕對值的概念.通過觀察數(shù)軸,先判斷每個(gè)絕對值內(nèi)式子的正負(fù)性,然后根據(jù)“正數(shù)的絕對值是它本身,負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),零的絕對值是零”,去掉絕對值符號.需要指出的是,a-b正負(fù)性的判斷極易出錯(cuò),其最好的判斷方法是根據(jù)“數(shù)軸上右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)”進(jìn)行.

        解:由圖知a<0,a-b<0,c>0.

        故|a|=-a,|a-b|=b-a,|c|=c.

        ∴|a|-|a-b|-|c|=-a-[-(a-b)]-c=-a+a-b-c=-b-c.

        2.分類討論法.

        有的題目并未提供直接或間接的條件,此時(shí)我們應(yīng)通過分類討論的方法去掉絕對值符號.

        例2|a|=3,|b|=2,求a+b的值.

        簡析:本題應(yīng)先去掉絕對值符號,再分別求出a、b的值,然后求出a+b的值.而條件中沒給出a、b的符號,這說明a、b的符號不確定,只能分類討論了.

        解:(1)a>0,b>0時(shí),a=3,b=2,a+b=5;

        (2)a>0,b<0時(shí),a=3,b=-2,a+b=1;

        (3)a<0,b<0時(shí),a=-3,b=-2,a+b=-5;

        (4)a<0,b>0時(shí),a=-3,b=2,a+b=-1.

        ∴a+b=±5或±1.

        注意:分類討論時(shí)要遵循既不重復(fù)又不遺漏的原則.

        3.加平方法.

        有些題目沒有可將絕對值符號去掉的已知條件,分類討論又比較麻煩,此時(shí)可考慮加平方的方法,可起到意想不到的效果.

        例3已知|x|-1=|x+1|,化簡|3-x|.

        簡析:此題應(yīng)先將條件|x|-1=|x+1|化簡,從而判斷x的取值范圍,再化簡|3-x|.而如果采用分類討論法化簡|x|-1=|x+1|,比較麻煩,如果采用兩邊都加平方的方法,可將等式化簡.

        解:∵|x|-1=|x+1|,

        ∴(|x|-1)2=(|x+1|)2.

        ∴x2-2|x|+1=(x+1)2.

        ∴x2-2|x|+1=x2+2x+1.

        ∴|x|=-x.

        ∵|x|=-x≥0,

        ∴x≤0.

        ∴3-x>0.

        ∴|3-x|=3-x.

        注意:當(dāng)?shù)仁絻蛇叾加薪^對值符號時(shí),可考慮采用此法.

        三、如何用|a|≥0

        1.根據(jù)|a|≥0,求a的取值范圍.

        例4已知|2a-3|=3-2a,求a的取值范圍.

        簡析:解此題時(shí)不要去刻意地討論或猜測a的取值,而應(yīng)該重點(diǎn)注意|2a-3|,見絕對值則必想到非負(fù)性,這應(yīng)成為我們的思維定勢.

        解:∵|2a-3|≥0,

        ∴|2a-3|=3-2a≥0.

        ∴a≤.

        注意:|2a-3|≥0,而不是|2a-3|>0.

        2.形如|m|+|n|=0,則m=0,且n=0.

        例5已知|a+3|=-|b-4|,求a+2b的值.

        簡析:在|m|+|n|=0中,因|m|≥0,|n|≥0,而|m|、|n|任意一個(gè)大于零時(shí),|m|+|n|=0都不成立,故必須m=0且n=0.

        此題猛一看不是上述形式,但在細(xì)心觀察|a+3|=-|b-4|后會發(fā)現(xiàn):將右邊移項(xiàng)到左邊后即可構(gòu)成上述形式.

        解:∵|a+3|=-|b-4|,

        ∴|a+3|+|b-4|=0.

        ∵|a+3|≥0,且|b-4|≥0,

        ∴|a+3|=0,|b-4|=0.

        ∴a=-3,b=4.

        ∴a+2b=5.

        注意:多個(gè)絕對值相加等于0,則每一個(gè)絕對值部分都等于0.

        初中階段有三個(gè)非常重要的非負(fù)值,同學(xué)們要牢牢記住,即平方、絕對值及以后要學(xué)的算術(shù)平方根,它們貫穿了整個(gè)初中階段,是初中階段的基礎(chǔ)內(nèi)容.

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