任風(fēng)良　唐紅霞

絕對值是初中數(shù)學(xué)知識的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)方面，望同學(xué)們能透切理解，靈活運(yùn)用.

一、注意理解絕對值的幾何意義

數(shù)a的絕對值記作|a|，它是指數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.學(xué)習(xí)概念時(shí)應(yīng)注意：

（1）絕對值表示的是距離，因此它一定不是負(fù)值，即|a|≥0；

（2）滿足|a|=3的a值有兩個(gè)，即a=±3，即絕對值為一個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)是一對相反數(shù).

二、絕對值的符號如何去

解決含絕對值符號的問題，一般要先去掉絕對值符號，化為不含絕對值符號的形式，然后再求解.去掉絕對值符號的方法主要有以下三個(gè).

1.依據(jù)條件去掉絕對值符號.

根據(jù)直接或間接給定的條件去掉絕對值符號，這是去掉絕對值符號的常見方法.

例1實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示.化簡：|a|-|a-b|-|c|.

簡析：本題主要考查絕對值的概念.通過觀察數(shù)軸，先判斷每個(gè)絕對值內(nèi)式子的正負(fù)性，然后根據(jù)“正數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值是零”，去掉絕對值符號.需要指出的是，a-b正負(fù)性的判斷極易出錯(cuò)，其最好的判斷方法是根據(jù)“數(shù)軸上右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)”進(jìn)行.

解：由圖知a<0，a-b<0，c>0.

故|a|=-a，|a-b|=b-a，|c|=c.

∴|a|-|a-b|-|c|=-a-[-（a-b）]-c=-a+a-b-c=-b-c.

2.分類討論法.

有的題目并未提供直接或間接的條件，此時(shí)我們應(yīng)通過分類討論的方法去掉絕對值符號.

例2|a|=3，|b|=2，求a+b的值.

簡析：本題應(yīng)先去掉絕對值符號，再分別求出a、b的值，然后求出a+b的值.而條件中沒給出a、b的符號，這說明a、b的符號不確定，只能分類討論了.

解：（1）a>0，b>0時(shí)，a=3，b=2，a+b=5；

（2）a>0，b<0時(shí)，a=3，b=-2，a+b=1；

（3）a<0，b<0時(shí)，a=-3，b=-2，a+b=-5；

（4）a<0，b>0時(shí)，a=-3，b=2，a+b=-1.

∴a+b=±5或±1.

注意：分類討論時(shí)要遵循既不重復(fù)又不遺漏的原則.

3.加平方法.

有些題目沒有可將絕對值符號去掉的已知條件，分類討論又比較麻煩，此時(shí)可考慮加平方的方法，可起到意想不到的效果.

例3已知|x|-1=|x+1|，化簡|3-x|.

簡析：此題應(yīng)先將條件|x|-1=|x+1|化簡，從而判斷x的取值范圍，再化簡|3-x|.而如果采用分類討論法化簡|x|-1=|x+1|，比較麻煩，如果采用兩邊都加平方的方法，可將等式化簡.

解：∵|x|-1=|x+1|，

∴（|x|-1）2=（|x+1|）².

∴x²-2|x|+1=（x+1）².

∴x²-2|x|+1=x²+2x+1.

∴|x|=-x.

∵|x|=-x≥0，

∴x≤0.

∴3-x>0.

∴|3-x|=3-x.

注意：當(dāng)?shù)仁絻蛇叾加薪^對值符號時(shí)，可考慮采用此法.

三、如何用|a|≥0

1.根據(jù)|a|≥0，求a的取值范圍.

例4已知|2a-3|=3-2a，求a的取值范圍.

簡析：解此題時(shí)不要去刻意地討論或猜測a的取值，而應(yīng)該重點(diǎn)注意|2a-3|，見絕對值則必想到非負(fù)性，這應(yīng)成為我們的思維定勢.

解：∵|2a-3|≥0，

∴|2a-3|=3-2a≥0.

∴a≤.

注意：|2a-3|≥0，而不是|2a-3|>0.

2．形如|m|+|n|=0，則m=0，且n=0.

例5已知|a+3|=-|b-4|，求a+2b的值.

簡析：在|m|+|n|=0中，因|m|≥0，|n|≥0，而|m|、|n|任意一個(gè)大于零時(shí)，|m|+|n|=0都不成立，故必須m=0且n=0.

此題猛一看不是上述形式，但在細(xì)心觀察|a+3|=-|b-4|后會發(fā)現(xiàn)：將右邊移項(xiàng)到左邊后即可構(gòu)成上述形式.

解：∵|a+3|=-|b-4|，

∴|a+3|+|b-4|=0.

∵|a+3|≥0，且|b-4|≥0，

∴|a+3|=0，|b-4|=0.

∴a=-3，b=4.

∴a+2b=5.

注意：多個(gè)絕對值相加等于0，則每一個(gè)絕對值部分都等于0.

初中階段有三個(gè)非常重要的非負(fù)值，同學(xué)們要牢牢記住，即平方、絕對值及以后要學(xué)的算術(shù)平方根，它們貫穿了整個(gè)初中階段，是初中階段的基礎(chǔ)內(nèi)容.