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        二次根式學案

        2008-09-27 09:18:10李宗洲
        中學生數理化·中考版 2008年7期
        關鍵詞:因式根式化簡

        李宗洲

        一、二次根式的概念

        1. 像 (a≥0), , , ,這種表示算術平方根的代數式叫做二次根式.

        2. 求二次根式中字母的取值范圍.

        例1 求下列各二次根式中x的取值范圍:

        (1);(2);(3);(4) .

        答案:(1) x≤ ;(2) x<-8;(3) x可取全體實數;(4) x= .

        二、二次根式的性質

        1. ( )2=a (a≥0).

        2.=|a|=a (a≥0),-a (a<0).

        3.= ?(a≥0,b≥0).

        4.=(a≥0,b>0).

        例2 在實數范圍內分解因式:

        (1) 25m2-7;(2) 3y2-5x2;(3) x2-( + )x+ .

        答案:(1) (5m+ )(5m- );(2) ( y+ x)( y- x);(3) (x- )(x- ).

        例3 化簡:

        (1) (y<0);?搖(2)(a<2b);

        (3)+(0

        (4)-( )2.

        答案:(1);(2) - ;(3);?搖(4) 2.

        小結:二次根式的化簡結果,要求最簡,即被開方數的因數是整數,因式是整式;被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.

        三、二次根式的運算

        1. 加減法:先化為最簡二次根式,再合并同類二次根式.

        2. 乘法: ? = (a≥0,b≥0).

        3. 除法: = (a≥0,b>0),要注意對結果進行分母有理化.

        4. 二次根式的運算滿足運算律,也可用多項式乘法公式簡化運算.

        例4 計算:

        (1)+ 2- - 2;

        (2)+ - ;

        (3)- (a≠b);

        (4)+ +…+ .

        答案:(1) 4;(2) 0;(3) 0;(4).

        例5 先化簡,再求值:

        (1) 已知a= ,b= ,求+ 的值;

        (2) 已知(x- +1)(x-3)=0,求 - ÷ 的值.

        解:(1) a= = = .

        b= = = .

        ∴原式= + =|a|+|b|.

        ∵a>0,b>0,

        ∴原式=a+b= + = .

        (2) 由已知得x1= -1,x2=3.而x-3≠0,故x= -1.

        原式= ?

        = = = .

        當x= -1時,原式= =- .

        四、深化提高練習

        1. 填空:

        (1) 若 =a-1,則a的值為;

        (2) 若a,b均為實數,且|a-1|與 互為相反數,則 =;

        (3) 若(x-y+3)2+ =0,則x2-y2的值;

        (4) 已知 =-|b-4|,那么,以a,b為邊長的等腰三角形的周長為.

        2. 已知 =(8-x) ,且x為奇數,求 ? 的值.

        3. 已知y= ,求 的值.

        4. 已知a-b= + ,b-c= - ,求a2+b2+c2-ab-ac-bc的值.

        5. 已知x>0,y>0,且x2+2xy-15y2=0,求 的值.

        6. 已知Rt△ABC斜邊AB上的中線長為 ,AC+BC= + ,求△ABC的面積.

        1. (1) 1 (2) 2 (3) -21 (4) 14或13 2. 12 或2 .

        3.. 4. 11. 5. -(4+ ). 6..

        注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?!?/p>

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