趙乾基

一、選擇題（每小題3分，共27分）

1． 滿足下列條件的兩個(gè)三角形一定全等的是（）.

A． 一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形

B．腰相等的兩個(gè)等腰三角形

C． 斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形

D． 底相等的兩個(gè)等腰直角三角形

2． 適合條件∠A=∠B= ∠C的△ABC一定是（）.

A. 銳角三角形 B. 鈍角三角形 C. 直角三角形 D. 任意三角形

3． 等腰三角形頂角為100°，兩腰的垂直平分線相交于點(diǎn)P，則（）.

A． 點(diǎn)P在三角形內(nèi)

B． 點(diǎn)P在三角形底邊上

C． 點(diǎn)P在三角形外

D． 點(diǎn)P的位置與三角形的邊長(zhǎng)有關(guān)

4． 在△ABC中，已知三個(gè)內(nèi)角之比為１∶２∶３，則三邊之比為（）.

A． 1∶2∶3B． 1∶4∶9

C． 1∶ ∶ D． 1∶ ∶2

5． 如圖1，l1，l2，l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的站址有（）.

A． 1處 B． 2處

C． 3處 D． 4處

6． 如圖2，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，DE∥AB交BC于點(diǎn)E，EF∥BD交CD于F，則圖中共有等腰三角形（）.

A． 5個(gè) B． 6個(gè)

C． 7個(gè) D． 8個(gè)

7． △ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線交AB于E，交BC于點(diǎn)D，若CD∶BD=1∶2，BC=6 cm，則點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離為（）.

A． 1.5 cmB． 3 cmC． 2 cmD． 4 cm

8． 如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在邊AC所在的直線上取一點(diǎn)P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（）.

A． 1個(gè)B． 2個(gè)C． 3個(gè)D． 4個(gè)

9． 如圖4，等邊△ABC中，BD=CE，AD與BE相交于點(diǎn)P，則∠APE的大小是（）.

A． 45°B． 55°C． 60°D． 75°

二、填空題（每小題3分，共21分）

10． 如果等腰三角形的一個(gè)底角是80°，那么頂角是度．

11． 如圖5，已知∠A=∠D=90°，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一個(gè)條件是．

12． 在方格紙上有一個(gè)△ABC，它的頂點(diǎn)位置都在格點(diǎn)上，如圖6所示，則這個(gè)三角形是三角形.

13． 等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為2 cm，則它的底邊上的高是.

14． △ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂線交BC于D，若BD=4 cm，則BC=．

15． 若等腰三角形的底角為15°，腰長(zhǎng)為2a，則它的面積為.

16． 圖7是2002年8月在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，它是由4個(gè)相同的直角三角形拼接而成.若圖中大小正方形的面積分別為52 cm2和4 cm2，則直角三角形的兩條直角邊的和是cm．

三、解答題（本大題共52分）

17． （７分）如圖8，已知△ABC中，AB=AC.

（1） 按照下列要求畫(huà)出圖形：

① 作∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D；

② 過(guò)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E；

③ 過(guò)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F.

（2)根據(jù)上面所畫(huà)的圖形，證明EB=FC.

18． （7分）如圖9，已知∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．給出下列結(jié)論：

① ∠1=∠2；② BE=CF；③ △ACN≌△ABM；④ CD＝DN．

（1） 請(qǐng)寫(xiě)出其中正確的結(jié)論.

（２） 選取一個(gè)正確結(jié)論進(jìn)行證明．

19． （８分）如圖10，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊向內(nèi)作等邊△ABD，連接DC，以DC為邊作等邊△DCE，B，E在CD的同側(cè)．

（1） 請(qǐng)寫(xiě)出圖中的全等三角形（只寫(xiě)標(biāo)有字母的三角形）.

（2） 若AB= ，求BE的長(zhǎng)．

20． （8分）如圖11，已知△ABC中，AB=AC，∠A=120°．

（1） 用尺規(guī)作AB的垂直平分線，分別交BC，AB于點(diǎn)M，N.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)

（2） 猜想CM與BM之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

21． （10分）如圖12，正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°后得到正方形AEFG，邊EF與CD交于點(diǎn)O．

（1） 以圖中已標(biāo)有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)連接兩條線段（正方形的對(duì)角線除外），要求所連接的兩條線段相交且互相垂直，并說(shuō)明這兩條線段互相垂直的理由.

（2） 若正方形的邊長(zhǎng)為2 cm，旋轉(zhuǎn)角度為30°，試求重疊部分（四邊形AEOD）的面積.

22． （12分)如圖13（1），桌面內(nèi)，直線l上擺放著兩塊大小相同的直角三角板，它們中較短的直角邊長(zhǎng)為6 cm，較小的銳角為30°．

（1） 若將△ECD沿直線AC翻折到如圖13（2）△ECD′的位置，ED′與AB交于點(diǎn)F，證明AF=FD′.

（2） 若將△ECD沿l向右平移到如圖13（3）的位置，E點(diǎn)落在AB上E′的位置，你可以求出平移的距離嗎？試試看.

（3） 將△ECD繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖13（4）的△CD′E′位置，使E′點(diǎn)在AB上，請(qǐng)求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

參考答案

1． D 2． B 3． C 4． D 5． D 6． C 7． D 8． D 9． C

10． 20 11． 答案不唯一.如ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ＝ＢＤ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＢＣ等.

12． 等腰 13． cm 14． （４＋２ ） cm 15． a2 16． 10

17． 略． 18． （１）①②③.?搖（２）證明略．

19． （１） 全等三角形有△ＡＣＤ≌△ＢＥＤ≌△ＢＣＤ． （２） ＢＥ的長(zhǎng)為１.

20． （１） 略. （２） ＣＭ＝２ＢＭ，理由略.

21． （1） AO⊥DE，理由如下：如圖14，顯然Rt△ADO≌Rt△AEO，所以∠DAO=∠EAO.又因AD=AE，故AO⊥DE． （2） S陰影= cm2.

22． （1） 證明略.?搖 （2） 平移距離為（6-2 ) cm.

（3） 旋轉(zhuǎn)角度為30°.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>