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        利用一元二次方程解圖形問題

        2008-09-27 09:18:10許廣躍
        關(guān)鍵詞:符合條件平分過點

        許廣躍

        一元二次方程的知識不僅可以用來解決實際問題,在解決許多幾何圖形問題時,若能運用所學(xué)知識,構(gòu)造一元二次方程求解,也能起到避繁就簡的作用.現(xiàn)舉例說明.

        一、用于判斷三角形的形狀

        例1 已知a,b,c是△ABC的三條邊,且滿足a2+b2+c2=ab+bc+ca,試判斷三角形的形狀.

        解:將a2+b2+c2=ab+bc+ca整理為主元為a的一元二次方程,得a2-(b+c)a+b2-bc+c2=0.

        這個方程必有實數(shù)根,故Δ=(b+c)2-4(b2-bc+c2)=-3(b-c)2≥0.

        ∴(b-c)2≤0,又(b-c)2≥0,故b-c=0,即b=c.

        把b=c代入原方程,得a2-2ac+c2=0.

        ∴(a-c)2=0,得a=c.

        故a=b=c,即△ABC為等邊三角形.

        二、方案設(shè)計問題

        例2 將一塊長18 m、寬15 m的矩形荒地修建成一個花園,道路或四角活動地(陰影部分)所占的面積為原來荒地面積的三分之二.(精確到0.1 m)

        (1) 設(shè)計方案1:如圖1,花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路.

        (2) 設(shè)計方案2:如圖2,花園中每個角的扇形都相同.

        以上兩種方案是否都符合條件?若符合,請計算出圖1中的小路的寬和圖2中扇形的半徑;若不符合條件,請說明理由.

        解:(1) 符合條件.設(shè)小路寬為x m.

        可列方程18x+16x-x2= ×18×15.整理,得x2-34x+180=0.

        解這個方程,得x= ,取x≈6.6.即路寬6.6 m.

        (2)符合條件.設(shè)扇形半徑為r m,則3.14r2= ×18×15,即r2≈57.32.所以r≈7.6.即半徑為7.6 m.

        三、動態(tài)幾何問題

        例3 如圖3所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,點P從點A出發(fā)沿邊AC向點C以1 cm/s的速度移動,點Q從C點出發(fā)沿CB邊向點B以2 cm/s的速度移動.

        (1) 如果P,Q同時出發(fā),幾秒鐘后,可以使得△PCQ的面積為8 cm2?

        (2) 點P,Q在移動過程中,是否存在某一時刻,使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半?若存在,求出運動的時間;若不存在,說明理由.

        解:因為∠C=90°,所以AB= = =10 (cm).

        (1) 設(shè)x s后,可使△PCQ的面積為8 cm2.

        所以AP=x cm,PC=(6-x) cm,CQ=2x cm.

        根據(jù)題意,得 (6-x)?2x=8.

        整理,得x2-6x+8=0.解這個方程,得x1=2,x2=4.

        所以P,Q同時出發(fā),移動2 s和4 s時△PCQ的面積為8 cm2.

        (2)設(shè)點P移動x s時,△PCQ的面積等于△ABC面積的一半.

        根據(jù)題意,得 (6-x)?2x= × ×6×8.整理,得x2-6x+12=0.

        由于此方程沒有實數(shù)根,所以不存在使△PCQ的面積等于△ABC面積一半的時刻.

        四、平分幾何圖形的周長與面積問題

        例4 如圖4,在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10,點E在下底邊BC上,點F在腰AB上.

        (1) 若EF平分等腰梯形ABCD的周長,設(shè)BE長為x,試用含x的代數(shù)式表示△BEF的面積.

        (2) 是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分?若存在,求出此時BE的長;若不存在,請說明理由.

        (3) 是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1∶2的兩部分?若存在,求此時BE的長;若不存在,請說明理由.

        分析: 為了能正確求得圖形的面積,不妨過點F作FG⊥BC于G,過點A作AK⊥BC于K.這樣,由三角形的面積公式即可列出含x的代數(shù)式.

        解:(1) 由已知條件,可得梯形周長為24,高為4,面積為28.

        過點F作FG⊥BC于G,過點A作AK⊥BC于K.

        由 = ,可得FG= ×4.

        所以S△BEF = BE?FG=- x2+ x(7≤x≤10).

        (2) 存在.由(1)得- x2+ x=14.解這個方程,得x1=7,x2=5(舍去).

        當(dāng)BE=7時,F(xiàn)G= ×4=4,BF+BE=12.

        所以存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長與面積同時平分,此時BE=7.

        (3) 不存在.假設(shè)存在,應(yīng)該有S△BEF ∶S多邊形AFECD=1∶2和(BE+BF)∶(AF+AD+DC)=1∶2同時成立.

        由面積比例式,得- x2+ x= .整理,得3x2-36x+70=0.

        由周長比例式,得BF+x= ×24=8.可知3≤x<8.

        而方程3x2-36x+70=0的根不在這個范圍內(nèi),所以不存在這樣的實數(shù)x.即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1∶2的兩部分.

        注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?!?/p>

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