張　茂

在我們認(rèn)識(shí)圖形世界的時(shí)候，就有角的出現(xiàn)，角有銳角、直角、鈍角、平角等.我們學(xué)過的角已經(jīng)不少了，在畫線的時(shí)候，也往往會(huì)畫出一些角，這些角之間又有什么關(guān)系呢？

[問題與情境]

初中的學(xué)習(xí)，要學(xué)會(huì)觀察，學(xué)會(huì)思考，上面的問題其實(shí)就在我們的身邊.

某學(xué)校組織學(xué)生在植樹節(jié)這天在校園里種樹．大伙兒分工合作，有的挖坑，有的放村苗，有的澆水，干得熱火朝天． 有幾棵樹苗由于填土太少，被澆得傾斜了（如圖1所示），我心里很是同情，就過去扶直小樹． 在扶直小樹的一剎那，我忽然想到了我們要學(xué)習(xí)的余角．哦！原來我們生活中就有豐富的數(shù)學(xué)知識(shí).我繼續(xù)向前走，一位同學(xué)正在挖坑，鐵鍬和地面形成了兩個(gè)角（如圖2所示），那不就是我們要學(xué)習(xí)的互補(bǔ)角的模型嗎？我深情地望著眼前的情景，欣喜地想著要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，真是數(shù)學(xué)離不開生活，生活中到處都有數(shù)學(xué)．只要我們細(xì)心地觀察，認(rèn)真思考，一定還能發(fā)現(xiàn)很多生活中的數(shù)學(xué)問題.你能說出圖1、圖2中∠α與∠β的關(guān)系嗎？

我們觀察圖1，斜向上的實(shí)線表示被雨水澆歪了的樹苗，那么此時(shí)的樹苗與地面就不垂直了，虛線表示栽種時(shí)垂直于地面的樹苗，那么虛線與地面（水平線）垂直，即有∠α ＋ ∠β ＝ 90°.

我們?cè)賮碛^察圖2，鐵鍬與地面所成的兩個(gè)角都不是直角，但是，這兩個(gè)角正好組成一個(gè)平角，即有∠α ＋ ∠β ＝ 180°.

如果兩個(gè)角的和是直角，那么稱這兩個(gè)角互為余角，簡(jiǎn)稱互余．也就是說，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角，∠α的余角可表示為90°－∠α．

如果兩個(gè)角的和是平角，那么稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱互補(bǔ)．也就是說，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角，∠α的補(bǔ)角可表示為 180°－∠α．

[開眼界]

歐氏幾何是歐幾里得幾何學(xué)的簡(jiǎn)稱，創(chuàng)始人是公元前3世紀(jì)古希臘偉大的數(shù)學(xué)家歐幾里得.在他以前，古希臘人已經(jīng)積累了大量的幾何知識(shí)，并開始用邏輯推理的方法證明一些幾何命題.歐幾里得這位偉大的幾何建筑師在前人準(zhǔn)備的“木石磚瓦”材料的基礎(chǔ)上，天才地按照邏輯系統(tǒng)把幾何命題整理起來，建成了一座巍峨的幾何大廈，完成數(shù)學(xué)史上的光輝著作——《幾何原本》，這本書的問世，標(biāo)志著歐氏幾何的建立，是整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史上意義極其深遠(yuǎn)的大事，也是整個(gè)人類文明史上的里程碑.

歐幾里得將過去許多沒有聯(lián)系和未予嚴(yán)謹(jǐn)證明的定理加以整理，使幾何學(xué)變成一座建立在邏輯推理基礎(chǔ)上的不朽豐碑.《幾何原本》的意義不僅限于其內(nèi)容的重要或者他對(duì)定理的出色證明，真正重要的是歐幾里得在書中創(chuàng)造的一種公理化的方法.

在證明命題時(shí)，每一個(gè)命題總是從前一個(gè)命題推導(dǎo)出來，而這前一個(gè)命題又是從再前一個(gè)命題推導(dǎo)出來的.我們不能這樣無限地推導(dǎo)下去，總有一些命題要作為起點(diǎn).這些作為論證的起點(diǎn)、具有自明性且其自明性已被公認(rèn)下來的命題稱為公理，如“兩點(diǎn)確定一條直線”等.同樣，對(duì)于概念來講也有不加定義的原始概念，如點(diǎn)、直線等.在一個(gè)數(shù)學(xué)理論系統(tǒng)中，盡可能少地采用原始概念和不加證明的公理，由此出發(fā)，利用純邏輯推理，把該理論體系建立成一個(gè)演繹系統(tǒng)，這樣的方法稱為公理化方法，歐幾里得就是采用這種方法，以公理、公設(shè)、定義為要素，一個(gè)接著一個(gè)地證明了大量的命題.其論證之精彩，邏輯之周密，結(jié)構(gòu)之嚴(yán)謹(jǐn)，令人嘆為觀止.零散的數(shù)學(xué)理論被他成功地編織為一個(gè)從基本假定到復(fù)雜結(jié)論的系統(tǒng).在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，歐幾里得是成功地應(yīng)用公理化方法的第一人.

用現(xiàn)代的標(biāo)準(zhǔn)來衡量，《幾何原本》在邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性上還存在著不少缺點(diǎn).其公理系統(tǒng)還不完備，個(gè)別公理不是獨(dú)立的，可以由其他公里推出，許多定理的證明又不得不借助于直觀完成.1899年德國數(shù)學(xué)家希爾伯特公理體系的成功建立，使歐幾里得幾何學(xué)成為一個(gè)邏輯結(jié)構(gòu)完善而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀误w系.

[經(jīng)典例析]

例1 如圖3，O是直線AB上的一點(diǎn)，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD．

（1）圖中與∠DOE互余的角有哪些？

（2）圖中與∠DOE互補(bǔ)的角有哪些？請(qǐng)說明理由．

圖中與∠DOE的和為90°的角均是其余角，與這個(gè)角的位置沒有關(guān)系；與∠DOE的和為180°的角均是其補(bǔ)角，也與這個(gè)角的位置沒有關(guān)系.

解：（1）圖3中與∠DOE互余的角有∠EOF、∠BOD、∠BOC.

① ∵ ∠FOD ＝ 90°，∠FOD ＝ ∠DOE ＋ ∠EOF，

∴ ∠DOE ＋ ∠EOF ＝ 90°．

∴ ∠EOF是∠DOE的余角．

② ∵ ∠AOE ＋ ∠BOE ＝ 180°， ∠AOE ＝ 90°，

∴ ∠BOE ＝ 90°．

又 ∠BOE ＝ ∠DOE ＋ ∠BOD，

∴ ∠DOE ＋ ∠BOD ＝ 90°．

∴ ∠BOE是∠DOE的余角．

③ ∵ OB平分∠COD，

∴ ∠BOC ＝ ∠BOD．

又 ∠BOD ＋ ∠DOE ＝ 90°，

∴ ∠BOC ＋ ∠DOE＝ 90°．

∴ ∠BOC是∠DOE的余角．

（2）圖3中與∠DOE互補(bǔ)的角有∠BOF、∠COE.

① ∵ ∠AOE ＝ ∠DOF，

∴ ∠AOF ＋ ∠EOF ＝ ∠DOE ＋ ∠EOF．

∴ ∠AOF ＝ ∠DOE．

∵ ∠AOF ＋ ∠BOF ＝ 180°，

∴ ∠DOE ＋ ∠BOF ＝ 180°．

∴ ∠DOE與∠BOF互為補(bǔ)角．

② ∵ ∠BOC ＋ ∠DOE ＝ ∠EOF ＋ ∠DOE ＝ 90°，

∴ ∠BOC ＝ ∠EOF．

∴ ∠BOC ＋ ∠BOE ＝ ∠EOF ＋ ∠BOE．

∴ ∠COE ＝ ∠BOF．

∵ ∠DOE ＋ ∠BOF ＝ 180°，

∴ ∠DOE ＋ ∠COE ＝ 180°．

∴ ∠DOE與∠COE互為補(bǔ)角．

解這類題目，一定要理解余角、補(bǔ)角的定義，互余角、互補(bǔ)角的找法是看這兩個(gè)角的和是否為90°或180°，與這兩個(gè)角的位置無關(guān).

例2 一個(gè)角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角的 還小10°，求這個(gè)角的余角及這個(gè)角的補(bǔ)角的度數(shù).

一般采用代數(shù)的方法.因?yàn)檫@個(gè)角的余角與補(bǔ)角都與這個(gè)角有關(guān)，所以，可設(shè)間接未知數(shù)，再找出題中的等量關(guān)系，列出一元一次方程，從而求解.

解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x，則這個(gè)角的余角的度數(shù)為90 °－ x，這個(gè)角的補(bǔ)角的度數(shù)為180 °－ x. 依題意得

90° － x ＝ （180 °－ x） － 10°．

解得x ＝ 60°

故90° － x ＝ 30°，180° － x ＝ 120°．

答：這個(gè)角的余角為30°，這個(gè)角的補(bǔ)角為120°.

解這類題時(shí)，因?yàn)椴恢肋@個(gè)角的度數(shù)，所以難以直接求出它的余角或補(bǔ)角． 因此解題的關(guān)鍵是求出這個(gè)角的度數(shù)，所以設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x，再根據(jù)題意找到相等關(guān)系，從而求解.

例3 如圖4 ，三條直線AB、CD、EF相交于同一點(diǎn)O，則圖中小于平角的角中，有[ ]對(duì)對(duì)頂角，分別是[ ]．

根據(jù)對(duì)頂角的概念，可推知：兩條直線相交有2對(duì)對(duì)頂角，三條直線相交，共有6對(duì)對(duì)頂角． 由AB與CD相交成的對(duì)頂角有∠AOC與∠BOD、∠COB與∠DOA；由AB與EF相交成的對(duì)頂角有∠EOB與∠FOA、∠AOE與∠BOF；由CD與EF相交成的對(duì)頂角有∠COE與∠DOF、∠EOD與∠FOC．共6對(duì).

答案：6 ∠AOC與∠BOD、∠COB與∠DOA、∠EOB與∠FOA、∠AOE與∠BOF、∠COE與∠DOF、∠EOD與∠FOC

解這類題的關(guān)鍵是要防止遺漏或重復(fù)，為此，我們可以先看有幾對(duì)兩兩相交的直線，然后利用每?jī)蓷l相交直線形成2對(duì)對(duì)頂角這一結(jié)論去計(jì)數(shù).其實(shí)對(duì)頂角的找法不止一種，也可以先以一個(gè)角為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行計(jì)數(shù)（∠AOC、∠COE、∠EOB的對(duì)頂角），再找出由兩個(gè)角合并成一個(gè)角的角（∠AOE、∠COB、∠EOD的對(duì)頂角），再進(jìn)行計(jì)數(shù).還可以以一條邊為起點(diǎn)，向一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)著去找角.

[即學(xué)即練]

1． 如果一個(gè)角是36°，那么（）．

A． 它的余角是64° B． 它的補(bǔ)角是64°

C． 它的余角是144° D． 它的補(bǔ)角是144°

2． 過一個(gè)鈍角的頂點(diǎn)作這個(gè)角的兩邊垂線，若這兩條垂線的夾角為40°，則此鈍角為（）．

A． 140° B． 160°

C． 120° D． 110°

3． 鐘表上12時(shí)15分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角為（）．

A． 90° B． 82．5°

C． 67．5° D． 60°

4． 如圖5，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB于點(diǎn)O，OF平分∠AOE，∠1 ＝ 15°30′，則下列結(jié)論中不正確的是（）．

A．∠2 ＝ 45°

B．∠1 ＝ ∠3

C．∠AOD與∠1互為補(bǔ)角

D．∠1的余角等于75°30′

5． ∠1、∠2互為補(bǔ)角，且∠1＞∠2，則∠2的余角是（）．

A． （∠1＋∠2） B． ∠1

C． （∠1－∠2） D． ∠2

6． 若∠A ＝ 30°，則∠A的余角的度數(shù)為[ ].

7． 已知∠A＝30°，那么∠A的補(bǔ)角的度數(shù)為[ ].

8． 如圖6，將兩塊三角板的直角頂點(diǎn)重合后重疊在一起，如果∠1 ＝ 40°，那么∠2 ＝ [ ]．

9． 一個(gè)角的余角與這個(gè)角的補(bǔ)角之和為180°，求這個(gè)角的度數(shù).

10． 分析圖7所示的折疊過程回答問題．

（1）∠2的度數(shù)是多少？為什么？

（2）∠1與∠3有何關(guān)系？

（3）∠1與∠AEC，∠3與∠BEF分別有何關(guān)系？

[中考風(fēng)向標(biāo)]

1． （2007年·常州市）若∠α ＝ 30°，則∠α的余角的度數(shù)為[ ].

互為余角的概念是指：如果兩個(gè)角的和為90°，那么這兩個(gè)角互為余角.此題已知∠α ＝ 30°，那么它的余角的度數(shù)就是90° － 30° ＝ 60°.

2． （2007年·南京市）如果∠α ＝ 40°，那么∠α的補(bǔ)角等于[ ].

互為補(bǔ)角的概念是指：如果兩個(gè)角的和是180°，那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角.此題已知∠α ＝ 40°，那么它的補(bǔ)角的度數(shù)就是180° － 40° ＝ 140°.

3． （2007年·河北）如圖8，直線a、b相交于點(diǎn)O，若∠1等于40°，則∠2等于（）．

A． 50° B． 60°

C． 140° D． 160°

由圖8可知，∠1與∠2是鄰補(bǔ)角，則有∠1 ＋ ∠2 ＝ 180°，已知∠1 ＝ 40°，所以∠2就能求出來了，∠2 ＝ 180° － 40°＝140°.

4． （2007年·寧德市）如圖9，CD⊥AB，垂足為C，∠1 ＝ 130°，則∠2 ＝ [ ]．

∠2的余角也是∠1的補(bǔ)角，∠1＝130°，其補(bǔ)角為50°，則50°角的余角是40°，即∠2 ＝ 40°.

5． （2007年·濟(jì)南市）已知：如圖10，AB⊥CD，垂足為O，EF為過點(diǎn)O的一條直線，則下列∠1與∠2的關(guān)系中，一定成立的是（）．

A．相等 B．互余

C．互補(bǔ) D．互為對(duì)頂角

由AB⊥CD知，∠BOD ＝ 90°，EF為過點(diǎn)O的一條直線，所以，∠1 ＋ ∠2 ＋ ∠BOD ＝ 180°，則∠1 ＋ ∠2 ＝ 90°． 兩個(gè)角的和為90°，這兩個(gè)角一定互為余角.

6． （2007年·資陽市）如圖11，已知△ABC為直角三角形，∠C ＝ 90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1 ＋ ∠2等于（）．

A． 90° B． 135°C． 270° D． 315°

由圖11可知，∠1 ＋ ∠3 ＝ 180°，∠2 ＋ ∠4 ＝ 180°，而∠3 ＋ ∠4 ＝ 90°，所以，∠1 ＋ ∠2 ＝ （180° － ∠3 ） ＋ （180° － ∠4 ） ＝ 180° ＋ 180°－ （∠3 ＋ ∠4） ＝ 180° ＋ 180° － 90° ＝ 270°.

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”