薛愛國

2007年11月的一天，我在高一（12）班上了一節(jié)和平常不太一樣的課。

這個(gè)班的學(xué)生學(xué)業(yè)水平不高，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏熱情，但為了應(yīng)付高考，又不得不學(xué)，有轉(zhuǎn)變現(xiàn)狀的愿望。最主要的問題是怕思考，喜歡聽不喜歡說，總認(rèn)為能聽懂就行，只要知道了結(jié)論就行……經(jīng)過半學(xué)期的努力，狀況略有改觀。

上課前兩天，我已將學(xué)生的課本全部收了上來。這節(jié)課上的是“任意角”。

“各位同學(xué)，今天我們接到初中后面來進(jìn)一步研究‘角?！蔽野选斑M(jìn)一步”這三個(gè)字說得很重，而且在每個(gè)字的前后都頓了頓，意在給學(xué)生傳遞一個(gè)信息———我們今天要研究的“角”有新內(nèi)容。

“我想請同學(xué)們回憶一下，你知道多少與‘角有關(guān)的知識？”

學(xué)生紛紛舉手回答，首先說的是“對頂角”。我很奇怪為什么大部分學(xué)生會首先想到這個(gè)概念，大概是因?yàn)檫@個(gè)概念很形象吧！然后是內(nèi)錯(cuò)角、平角、銳角、同旁內(nèi)角、同位角、鈍角、直角、周角、外角、圓周角、圓心角。沒有一個(gè)學(xué)生再說出任何與“角”有關(guān)的其他知識。

“看來我們在初中階段接觸到的角還真不少，我們來對這些角分分類吧？”學(xué)生們又熱情高漲。我叫起來一個(gè)學(xué)生。

“一類是銳角、鈍角、直角、平角、周角，其他的算一類。”他答道。

“你這樣分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？”

他一時(shí)語塞，欲言又止。有些學(xué)生要發(fā)言，我示意他們少安毋躁，再等一等。

“這些角是一個(gè)角?！?/p>

說完后，他可能意識到自己的表達(dá)不太確切，想換個(gè)說法，嘴動了幾下，最終還是選擇放棄。

在數(shù)學(xué)課堂上培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力是我一貫的做法，不談別的，不少數(shù)學(xué)題，只要換個(gè)說法、“翻譯”一下，就會發(fā)現(xiàn)解題的思路。

我示意學(xué)生2起來補(bǔ)充。

“像內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角、同位角、對頂角應(yīng)該算是一類；圓周角、圓心角是一類?！?/p>

這時(shí)，學(xué)生2的同座看著我，似乎有話要說，我示意他站起來。

“我想內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角、同位角、對頂角必須是兩個(gè)角，圓周角、圓心角必須在圓內(nèi)才有?！?/p>

接著其他學(xué)生也紛紛開始發(fā)言。

“內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角、同位角、對頂角有依賴性，不能說哪一個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角?！?/p>

“它們指的都是兩個(gè)角之間的關(guān)系?！?/p>

“對，內(nèi)錯(cuò)角等指出的是兩個(gè)角之間的關(guān)系?！蔽壹皶r(shí)給予肯定，并在這幾個(gè)角下面畫上橫線，然后板書“指出了角和角的關(guān)系”。

“對頂角有什么關(guān)系呀？”

學(xué)生齊答：“對頂角相等。”

“你能把這句話用‘如果……那么……的形式敘述一下嗎？”

頓了頓，我請坐在最后排角落里的一位學(xué)生回答。

“如果有兩個(gè)角是對頂角，那么它們相等?！?/p>

“對。你看，對頂角相等，五個(gè)字就下了一個(gè)結(jié)論，多簡潔的結(jié)論呀。”

在課上，我常常會順便講點(diǎn)題外話。這里順便涉及點(diǎn)命題方面的知識未嘗不可，何必非要等到講命題的時(shí)候才講呢。

“請大家回憶一下銳角、鈍角、直角、平角、周角的定義。”

我邊說邊將其余的概念擦掉，黑板上只保留銳角、鈍角、直角、平角、周角這樣幾個(gè)概念。

教室里嗡嗡聲一片。

看來他們對這個(gè)知識點(diǎn)很清楚，大部分人都能答出：大于0°小于90°的角是銳角，大于90°小于180°的角是鈍角，180°的角叫平角，90°的角叫直角，360°的角叫周角。

我分別在這幾個(gè)概念下板書：0°﹤β﹤90°，90°﹤β﹤180°，β=180°，β=90°，β=360°。

我邊說邊將β=90°用粉筆圈起來拉到0°﹤β﹤90°的后面：“是否有一點(diǎn)點(diǎn)遺憾？”

隨后我停頓了大概有10秒鐘———我有這樣的決心和耐心等待。這時(shí)學(xué)生中有一點(diǎn)點(diǎn)議論的聲音。

學(xué)生3站起來了。他是為數(shù)很少的喜歡主動發(fā)言的學(xué)生?！皯?yīng)該有180°與360°之間的角?！?/p>

“你是怎么想到這個(gè)問題的？”

他有點(diǎn)答非所問：“但是也不能確定，如果有超過180°的角的話，比如超過一點(diǎn)點(diǎn)的，還應(yīng)該算是鈍角?！?/p>

他走到黑板前畫出了一個(gè)角，并用手比劃，說角還是β。

兩秒鐘后，又有學(xué)生要發(fā)言。

“我覺得在180°與360°之間肯定有角，否則會留下一個(gè)空檔。”

“這個(gè)角應(yīng)該畫在上面，就大于180°。”

我照他的意思順手將角θ標(biāo)示出來。

“有不同意見嗎？到底應(yīng)該算上面的那個(gè)角，還是下面的那個(gè)角？”看到學(xué)生有爭執(zhí)，我更愿意“煽風(fēng)點(diǎn)火”。

“運(yùn)動員在跳水比賽時(shí)還有轉(zhuǎn)體720°的呢?！睂W(xué)生4是匹“黑馬”，平時(shí)可難得主動發(fā)言。他這一說，有不少人在下面笑，也有人在沉思。我又等了大概10秒鐘。

“看來我們必須重新審視一下角的概念了，初中階段對角的定義是———”

學(xué)生齊答：“從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所形成的圖形?！?/p>

“看來初中階段的這個(gè)定義已不能適應(yīng)形勢了，必須對角進(jìn)行新的定義。我們可以怎樣定義？”

又是沉默，我不清楚他們在思考什么，但肯定沒閑著。看來這個(gè)問題對他們確有一定的難度。

“把角定義為從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線，好像過于靜止了點(diǎn)。‘角以一種突然的方式出現(xiàn)在我們面前，實(shí)在讓我們很難搞清它的來歷。換個(gè)角度，讓它———”

講上面這段話的時(shí)候，我盡量放慢了語速。事實(shí)上，前幾年上這一課時(shí)，由于沒有收課本，學(xué)生都知道這個(gè)角怎么定義。

沉默啊沉默，看到學(xué)生難以頓悟，我在這片刻的寂靜中拿起了放在講臺下面的一個(gè)木制的圓規(guī)，并隨手揚(yáng)了揚(yáng)。終于，稀稀拉拉地，有幾個(gè)學(xué)生舉手了。

“把‘角看作是轉(zhuǎn)動形成的?！睂W(xué)生5答道。

“說得具體點(diǎn)?！?/p>

“從一條射線出發(fā)，把它拉著轉(zhuǎn)動，不要一下子畫兩條射線?！?/p>

“你到黑板上來示意一下。”

學(xué)生5一向大大咧咧，他走到黑板前抓住雞毛撣子當(dāng)起了射線，邊比劃邊講給我聽。

“我們看到，同學(xué)5的意思是，射線繞著它的端點(diǎn)轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動前是一條射線，轉(zhuǎn)動結(jié)束時(shí)這條射線到了這兒?！蔽已刂u毛撣的終止位置畫了條射線，然后將雞毛撣拿開，“請同學(xué)6結(jié)合我剛才轉(zhuǎn)動的過程對‘角進(jìn)行新的定義。”

“一條射線繞著它的端點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從開始的位置轉(zhuǎn)到結(jié)束位置，這樣形成的圖形叫角?！睂W(xué)生6站起來了。

我把學(xué)生6的發(fā)言配合手勢重復(fù)了一遍，很快有學(xué)生提出意見。

“必須加上‘在一個(gè)平面內(nèi)才行?！?/p>

不少學(xué)生輕輕點(diǎn)頭。我把這個(gè)定義寫在了黑板上，自己也稍稍松了口氣。

“這個(gè)定義確實(shí)能解決剛才的遺憾和爭執(zhí)嗎？”

“能。”學(xué)生齊答。

“看來通過這個(gè)定義，我們可以把180°與360°之間的角的空檔補(bǔ)上了，那你們說，我怎樣才能知道黑板上的這個(gè)角到底是β還是θ？”

“在開始的位置寫上‘始，在結(jié)束的位置寫上‘終。”學(xué)生7答道。

“那要是轉(zhuǎn)了幾圈才結(jié)束的，怎么區(qū)別？這個(gè)辦法不行?！庇腥朔瘩g。

下面的學(xué)生直點(diǎn)頭。

“好辦，在角β、θ那里加畫一個(gè)箭頭，表示從哪里開始到哪里結(jié)束?！睂W(xué)生7似有所悟，在黑板上畫了兩個(gè)箭頭。

學(xué)生紛紛點(diǎn)頭表示認(rèn)可。

“好是好，這樣的表示方法確實(shí)很簡潔地解決了以上問題。但在電視上看跳水比賽，我們常聽解說員說：前滾翻720°、后滾翻720°；看單杠比賽，我們常看到運(yùn)動員手抓單杠，有時(shí)是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)5圈，有時(shí)是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)5圈，但不知我們數(shù)學(xué)上如何表示這一前一后、一順一逆？”我繼續(xù)提出問題。

“老師的意思是角也要分兩類，一類是順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的，一類是逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的?！?/p>

又停頓了10秒鐘。

“可以用+、-來區(qū)別?！?/p>

“零上5°C用+5°C表示，零下5°C用-5°C表示。國際法規(guī)定：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角為正角?！保ò鍟┰撝v的時(shí)候還是要講的。

我接著請學(xué)生畫出+30°角、+210°角、+750°角、-45°角、-300°角。到他們中間巡視了一遍，情況還不錯(cuò)。

“經(jīng)過了重新定義，現(xiàn)在我們有了正角，有了負(fù)角，還有遺憾嗎？”

“零度的角。”聲音很齊。

“我們定義零度的角叫零角?！保ò鍟┪铱偨Y(jié)道。這時(shí)下課的鈴聲響起，我迅速在本節(jié)課的標(biāo)題“角”前用彩色粉筆加上“任意”兩個(gè)字，又在黑板上畫了個(gè)角：

“知道這個(gè)角的度數(shù)嗎？”我問。

“現(xiàn)在不知道了，很多。”

“課后請思考：既然這個(gè)角的度數(shù)很多，請你用集合表示出來，而且要用列舉法和描述法。下課?！?/p>

我曾仿照一位法國教育心理學(xué)專家給學(xué)生出了一道題目：“一艘船上有49頭牛，10只羊，那么船長是幾歲”？課堂上首先是沉默。我只能叫學(xué)生來回答，有答59歲的，有答39歲的，在我堅(jiān)定地?fù)u頭否決后，有學(xué)生斷言是70歲，方法是將49開方再乘以10。我明顯看出許多學(xué)生長出了一口氣，估計(jì)他們是認(rèn)為，這終于是一個(gè)正確的答案了，他們怎么沒想到這樣做。沒有一個(gè)學(xué)生對此提出質(zhì)疑。

我還曾經(jīng)隨機(jī)地在校園內(nèi)與高三的學(xué)生聊天，我問他們：如果角θ的正弦值等于0.5，那么角θ是幾度？5個(gè)人首先都答的是30°，在我一再追問下才能回答正確。

由此我以為，如果教師不帶著學(xué)生去共同領(lǐng)悟知識的發(fā)生、形成過程，學(xué)生就感受不到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，所學(xué)的知識必然是不牢靠的，經(jīng)不起風(fēng)吹雨打，思維能力的提高更是難以到位。

講到必修4的§1.1.1“任意角”，我感到進(jìn)行課堂實(shí)驗(yàn)的機(jī)會來了，因?yàn)槌踔袝r(shí)學(xué)生已接觸過一些有關(guān)“角”的概念，對角有了初步的認(rèn)識，然而生活中遇到了一些具體情況，僅使用初中的知識已不能解決，這就要求我們將角進(jìn)行推廣。在原有的基礎(chǔ)上生成新的關(guān)于角的概念的過程中，不可避免會產(chǎn)生遺憾和爭執(zhí)，這樣就容易產(chǎn)生思維的碰撞，從而形成智慧的結(jié)晶，這種收獲讓學(xué)生刻骨銘心、終身難忘。

從教學(xué)內(nèi)容上說，本節(jié)課必須要使學(xué)生懂得：高中為什么要對“角”這個(gè)概念進(jìn)行重新定義？這樣的定義是基于怎樣的考慮？它的合理性在哪里？這種重新定義的角與初中學(xué)到的角比較，異同點(diǎn)在什么地方……？

從教學(xué)方式上講，在學(xué)生平時(shí)不質(zhì)疑、不敢質(zhì)疑、無疑可質(zhì)的情況下，我怎樣激起學(xué)生的“疑”來？學(xué)生在想嗎？思維的密度如何？在用數(shù)學(xué)的方法思考嗎？課上“你知道多少與角有關(guān)的知識”讓學(xué)生開放式地思考；一句“我們來對這些角分分類吧”將學(xué)生思緒收回；在學(xué)生困惑之時(shí)，適時(shí)“煽風(fēng)點(diǎn)火”，讓學(xué)生的思維活起來，“角”的概念由此逐漸生成。課上問題的引出，因?qū)W生而起，最后又回到了學(xué)生中去，有的看似有點(diǎn)“離題”，但這些看似形散的問題都圍繞著一個(gè)“神”———任意角概念的形成。

這樣的課堂變教師的獨(dú)角戲?yàn)槿w師生思維的大舞臺，學(xué)生的思維活起來，這種真正動起來了的思維，演繹了師→生、生→師、生→生的互動，思辨不斷，高潮迭起，學(xué)生學(xué)得主動，教師教得“輕松”，教與學(xué)實(shí)現(xiàn)了真正的相長。

高中生雖然已經(jīng)接近成年人，具備一定的自主學(xué)習(xí)的能力，也具備“聽”課（也就是完全由教師講授）的條件，但并不是所有內(nèi)容都能自主進(jìn)行的，也不是所有內(nèi)容都只聽教師講授就可以的。選擇怎樣的教學(xué)方式完全取決于教學(xué)內(nèi)容。如果是一節(jié)概念新授課，新舊知識碰撞的背后學(xué)生未必理解得透徹，需要課堂的互動，特別需要借此挖掘出以知識為載體培養(yǎng)學(xué)生能力的價(jià)值。

從另一個(gè)角度看，高中學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力很大，也需要不同的教學(xué)形式加以調(diào)節(jié)，尤其是要調(diào)動學(xué)生內(nèi)在的激情、興趣和智力潛能。現(xiàn)在的高中課堂，教師教得累，學(xué)生學(xué)得苦，師生們一起在題海中苦戰(zhàn)，不知何時(shí)是個(gè)盡頭。教師所進(jìn)行的一個(gè)又一個(gè)典型例題的講解，課堂教學(xué)中的所謂“高密度、大容量、快節(jié)奏”，不斷地讓學(xué)生產(chǎn)生“我不如老師”的感覺，沒有別的，他們很少有成功的激動，極少產(chǎn)生學(xué)好數(shù)學(xué)的沖動和內(nèi)驅(qū)力，慢慢地覺得“學(xué)數(shù)學(xué)，真累”，以至教師常常有這樣的感受：講過的題目，一考，還是不會；學(xué)生也這樣反映：做不完的題———不做，肯定考不好，做了，也不一定就能考好，即使考原題，還是會做錯(cuò)。

然而，下課以后，我又不禁陷入了沉思。確實(shí)，學(xué)生自己解決了遺憾和爭執(zhí)，臉上洋溢著成功的喜悅，可想想我的教學(xué)進(jìn)度與教學(xué)參考書上要求的差距較大。教參建議本節(jié)內(nèi)容為1課時(shí)，同事們依據(jù)教材，對角的推廣只用了10分鐘左右的時(shí)間，80%的時(shí)間花在例題、習(xí)題的訓(xùn)練上。如果下節(jié)課就測試本節(jié)課的內(nèi)容，我班學(xué)生的測試結(jié)果肯定不容樂觀。盡管內(nèi)心有矛盾，但我還是很喜歡用這樣的方式上課，我夢想著先悄悄培養(yǎng)起學(xué)生質(zhì)疑、釋疑和生疑的能力后再說。這好比是服中藥，雖然是慢點(diǎn)，但是能醫(yī)本。

其實(shí)，新課程提出的一些理念，不能叫新理念，課堂原本就應(yīng)該讓學(xué)生充分參與，學(xué)生自主學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)、師生互動相結(jié)合，只不過我們過去太重視結(jié)果，太重視教師的作用，忽視學(xué)生的能動性，走偏了，現(xiàn)在撥回來而已，但要實(shí)現(xiàn)這一步也很難。用這樣的方式上一節(jié)課我已有顧慮，長期上這樣的課將面臨三個(gè)方面的巨大壓力：一是來自教學(xué)任務(wù)的壓力。無疑，這樣的教學(xué)方式要耗費(fèi)一定的時(shí)間。2005年起江蘇進(jìn)入高中新課程，其教學(xué)內(nèi)容從量的角度與之前比較又有所增加。第二個(gè)方面是來自教學(xué)進(jìn)度的壓力。本來高中階段的教學(xué)任務(wù)量就已經(jīng)夠大的了，我們還要將整個(gè)高中三年的任務(wù)壓縮，比如文科的教學(xué)任務(wù)必須在一年半的時(shí)間內(nèi)完成，理科班高三一年的時(shí)間全部用于復(fù)習(xí)。第三個(gè)方面的壓力來自考試。目前高中的日?？荚噺慕M織的層面上來說有市、縣、校三級，從考試的密度上來說有期中考、期末考、月考、旬考，甚至“周周練”，但這還不是最主要的壓力。最大的壓力是我上課講的這些東西不是考試的重點(diǎn)內(nèi)容，考不到。當(dāng)前課程改革轟轟烈烈，可因諸多因素的影響，評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)仍然重分輕能，一味追求短期效應(yīng)。高中教學(xué)仍然是以應(yīng)付高考選拔性考試為首要任務(wù)。由此，我深感2008年江蘇高考的命題非常關(guān)鍵，作為實(shí)施新課程后的第一次考試，必須切實(shí)以能力考查為重點(diǎn)，讓全社會都形成這樣的共識：確實(shí)考的是學(xué)生的能力，考的是學(xué)生能不能想到，是否想得通；這樣的考題與學(xué)生平時(shí)訓(xùn)練了多少題型、多大的題量無關(guān)。否則，高中新課程提出的一些改革設(shè)想，包括教學(xué)方式的革新，難有實(shí)現(xiàn)的空間。

思考到這里，內(nèi)心不自覺地發(fā)出一個(gè)呼喚：教育的腳步不要那么急匆匆，好嗎？給孩子一個(gè)自然生長的機(jī)會，給教師一點(diǎn)改革嘗試的空間，給學(xué)校一個(gè)等待的時(shí)間，行嗎？教育，應(yīng)該慢慢來。