摘 要：從最優(yōu)期權(quán)贖回策略的角度探討了借款人的提前清償行為，從理論上推導(dǎo)了一般債券定價(jià)的偏微分方程，分析了住房抵押貸款支持證券及其它四類債券定價(jià)的邊界條件，利用隱形差分法求解了在CIR模型下的偏微分方程并獲得了MBS的最優(yōu)贖回利率，比較分析了MBS和其它債券的價(jià)格關(guān)系。

關(guān)鍵詞：最優(yōu)期權(quán)贖回策略；住房抵押貸款支持證券；數(shù)值分析

中圖分類號：F830.593

文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

文章編號：1003-7217(2007)02-0061-05

一、引言

2005年12月15日，中國建設(shè)銀行在全國銀行間債券市場發(fā)行了國內(nèi)首只“住房抵押貸款支持證券”(mortgagebacked security，MBS)“建元2005-1個(gè)人住房抵押貸款支持證券”，這標(biāo)志著國內(nèi)住房抵押貸款證券化已經(jīng)進(jìn)入實(shí)際操作階段。按照中國銀監(jiān)會(huì)的要求，為深化銀行改革，進(jìn)一步匹配和優(yōu)化銀行的資產(chǎn)負(fù)債結(jié)構(gòu)，提高資本充足率，防范、分散、轉(zhuǎn)移風(fēng)險(xiǎn)，推進(jìn)信貸資產(chǎn)業(yè)務(wù)標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化，試點(diǎn)MBS的銀行將會(huì)進(jìn)一步擴(kuò)大，最終形成一個(gè)完備的住房抵押貸款二級交易市場。

在MBS方面，自1998年起，國內(nèi)學(xué)術(shù)界和各金融機(jī)構(gòu)就為住房抵押貸款證券化的具體實(shí)施和操作做了大量積極的研究和探索，這主要集中在證券化模式的選擇和操作過程中的制度安排等問題。勿庸置疑，這些研究從制度上保證了住房抵押貸款證券化的順利推進(jìn)。然而應(yīng)當(dāng)看到的是，對MBS定價(jià)方面的研究還相當(dāng)缺乏，目前僅有陳穎和屠梅曾以及陳柏東綜述了國外MBS的定價(jià)方法^[1，2]，施方雖然定量分析了MBS的價(jià)格，但缺乏MBS與其他含權(quán)債券的系統(tǒng)比較^[3]。就國外的研究現(xiàn)狀而言，Dunn-McConnell最早利用期權(quán)定價(jià)理論求解了MBS所滿足的偏微分方程，從而開創(chuàng)了基于期權(quán)的MBS定價(jià)方法^[4]。Stanton在這兩位學(xué)者的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮了借款人異質(zhì)、交易成本等影響借款人提前清償行為的因素^[5]。Brennan和Schwartz將長期利率作為影響MBS價(jià)格的另一潛在要素，考慮了基于雙要素的MBS定價(jià)模型^[6]。與Dunn和McConnell相比，Schwartz和Torous認(rèn)為基于期權(quán)的MBS定價(jià)方法不能完全解釋借款人的提前清償行為。因此，利用30多年的美國MBS提前清償數(shù)據(jù)，在生存分析(survival analysis)的基礎(chǔ)上，將COX模型并入偏微分方程來求解MBS的價(jià)格，從而開創(chuàng)了基于實(shí)證分析的MBS定價(jià)法^{[7， 8]}。與實(shí)際市場數(shù)據(jù)相比，兩種方法求得的價(jià)格都與其存在一定差距，而造成這些差異的主要原因是由于借款人的提前清償行為較難用模型加以刻畫，同時(shí)交易成本、借款人異質(zhì)、抵押貸款違約率等因素也會(huì)造成兩者的差異。因此，Downing， Stanton和Wallace在其最新的研究中將抵押的房屋價(jià)格、借款人異質(zhì)、交易成本等因素同時(shí)納入定價(jià)模型中，發(fā)現(xiàn)兩者的差異變得很小^[9]。

應(yīng)當(dāng)看到，由于市場之間的差異，國外的定價(jià)模型不能照搬到中國的市場來直接利用，同時(shí)，并非所有的定價(jià)模型都能很好地加以利用，如基于實(shí)證的MBS定價(jià)方法。這主要是因?yàn)橹袊€缺乏抵押貸款借款人提前清償行為的數(shù)據(jù)，雖然理論上既可以利用抵押證券群的還款數(shù)據(jù)(目前還沒有)，也可以利用各銀行單筆抵押貸款還款人的數(shù)據(jù)，但由于后者對各銀行來說屬于機(jī)密數(shù)據(jù)，一般的學(xué)術(shù)研究很難獲得這些資料，這些現(xiàn)實(shí)困難使得目前國內(nèi)對MBS的定價(jià)研究方法，只能利用基于期權(quán)的定價(jià)方法。

以下將從理論上利用期權(quán)思想來對MBS進(jìn)行價(jià)值分析，由于沒有實(shí)際的還款數(shù)據(jù)，借款人提前清償行為將從最優(yōu)期權(quán)贖回策略的角度來加以解決。作為定價(jià)模型的一個(gè)應(yīng)用，在假設(shè)要素動(dòng)態(tài)過程的基礎(chǔ)上利用隱形差分法來求解偏微分方程，并獲得借款人的最優(yōu)贖回利率，再對MBS和其它各類含權(quán)和無權(quán)債券進(jìn)行比較。

二、MBS的定價(jià)模型和求解方法

（一）MBS的價(jià)值分析

假設(shè)一只MBS，票面利率為c0，住房抵押貸款每月等額償還，那么，月利息率為c0/12，將單利轉(zhuǎn)換為連續(xù)復(fù)利，它的年連續(xù)復(fù)利為c=12ln(1+c0/12)。假設(shè)債券面值為f(0)，當(dāng)前時(shí)刻為0，債券到期日為T，在不考慮提前清償?shù)那闆r下，這只債券是每月等額償還。在連續(xù)時(shí)間下，可以將每月的等額償還轉(zhuǎn)換為連續(xù)等額償還，假設(shè)每時(shí)刻該債券的等額償還額為x，根據(jù)現(xiàn)值關(guān)系，那么，x與f(0)和連續(xù)復(fù)利c存在以下關(guān)系：

MBS定價(jià)之所以復(fù)雜，主要是由于支撐MBS現(xiàn)金流的是住房抵押貸款，而住房抵押借款人存在提前清償和違約行為。從期權(quán)的角度分析，在一個(gè)不存在摩擦的市場下，當(dāng)借款人向銀行申請住房抵押貸款成功后，銀行同時(shí)給予住房抵押借款人提前清償貸款和違約的權(quán)利，當(dāng)市場的利率不斷下跌，抵押貸款的價(jià)值高于未償還的本金時(shí)，住房抵押借款人將會(huì)執(zhí)行贖回期權(quán)(call option)，即從其他銀行以更低的成本借入相應(yīng)的資金來償還未支付的本金，致使住房抵押貸款提前結(jié)束，這將導(dǎo)致MBS的現(xiàn)金流發(fā)生劇烈變化；而當(dāng)?shù)盅旱姆课菔袃r(jià)不斷下跌，跌至未償還本金以下時(shí)，借款人將會(huì)執(zhí)行回售期權(quán)(put option)，即發(fā)生違約行為，這使得銀行不得不處理抵押的房屋來挽回?fù)p失，從而影響MBS的現(xiàn)金流。從以上的分析可以看到，基于期權(quán)的MBS定價(jià)方法，其提前清償行為是從最優(yōu)贖回策略的角度來加以考慮的，即在任一時(shí)點(diǎn)上，存在一個(gè)最優(yōu)的贖回利率，當(dāng)市場利率低于最優(yōu)贖回利率以下時(shí)，所有的住房抵押貸款將會(huì)發(fā)生提前清償；而當(dāng)市場利率高于最優(yōu)贖回利率時(shí)，所有的借款人都不會(huì)提前清償。

（二）基于最優(yōu)贖回策略的MBS定價(jià)模型

假設(shè)在一個(gè)不存在摩擦的經(jīng)濟(jì)里，整個(gè)經(jīng)濟(jì)的狀態(tài)可以由m個(gè)狀態(tài)變量來加以描述，t時(shí)刻這m個(gè)狀態(tài)變量形成了狀態(tài)向量（t)＝（Ｘ1（t)，…，Ｘm(t))，考慮最一般的情況，這m個(gè)狀態(tài)變量服從如下的隨機(jī)微分方程：

式(4)中，βi和ηi表示第i個(gè)狀態(tài)變量隨機(jī)微分方程的漂移項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)，dwi表示維納增量財(cái)經(jīng)理論與實(shí)踐(雙月刊)2007年第2期2007年第2期(總第146期)謝 赤等：“住房抵押貸款支持證券”定價(jià)模型及其應(yīng)用基于最優(yōu)期權(quán)贖回策略的分析過程，不同狀態(tài)變量的擾動(dòng)項(xiàng)可能存在相關(guān)性，即dwidwj=ρijdt。由于整個(gè)經(jīng)濟(jì)的狀態(tài)都可以由這m個(gè)狀態(tài)變量來加以描述，那么，t時(shí)刻任意債券的價(jià)格可以表示為狀態(tài)向量和時(shí)間的函數(shù)，即Ｖ（（t)，t)。

在極短的時(shí)間內(nèi)，債券自身價(jià)格的變化可以表示為dV：

上式被定義為債券的瞬時(shí)收益率。用r(t)表示t時(shí)刻的無風(fēng)險(xiǎn)利率，為了滿足市場不存在套利機(jī)會(huì)，根據(jù)CIR，債券的瞬時(shí)收益率應(yīng)當(dāng)滿足以下條件^[10]：

式(8)中λi表示風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格，由于Vi一般為負(fù)，為了保證正的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，λi一般應(yīng)大于0，由于有m個(gè)狀態(tài)變量，那么，必須有m個(gè)風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格來描述債券收益與無風(fēng)險(xiǎn)利率之間的均衡關(guān)系。將式(7)帶入式(8)，可以得到任意債券價(jià)格所滿足的偏微分方程：

式(9)是所有債券價(jià)格必須滿足的偏微分方程。差別只是不同的邊界條件限定了不同類型的債券價(jià)格變化過程。下面逐一分析MBS及其它含權(quán)和無權(quán)債券定價(jià)的邊界條件。

1. MBS的邊界條件。以V1表示MBS的價(jià)格，其期限為T，由于抵押貸款具有分期等額償還和可提前清償?shù)男再|(zhì)，因此，MBS債券到期價(jià)格為0，在債券期限的任意時(shí)點(diǎn)上，債券都有可能被贖回(call)，而且該期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格是時(shí)變的，等于債券的未償還本金f(t)。當(dāng)利率趨近于無窮大時(shí)，MBS的價(jià)格為0。因此，可以得到以下3個(gè)邊界條件：

2. 無權(quán)債券邊界條件。以V2表示無權(quán)債券的價(jià)格，其期限為T，無權(quán)債券是普通的附息債券，按期支付利息，到期還本。因此，到期日其價(jià)格為面值(假設(shè)為100)，當(dāng)利率趨近于無窮大時(shí)，MBS的價(jià)格為0。其它邊界條件需要根據(jù)狀態(tài)模型來加以確定。

3. 可贖回債券邊界條件。以V3表示可贖回債券的價(jià)格，并且這種權(quán)利是美式的，債券期限為T，其執(zhí)行價(jià)格為E，由于在債券期限的任意時(shí)點(diǎn)上，債券都有可能被贖回(call)。當(dāng)利率趨近于無窮大時(shí)，MBS的價(jià)格為0。因此，可以得到以下3個(gè)邊界條件：

4. 可回售債券邊界條件。以V4表示可贖回債券的價(jià)格，并且這種權(quán)利是美式的，債券期限為T，其執(zhí)行價(jià)格為E，由于在債券期限的任意時(shí)點(diǎn)上，債券都有可能被回售(put)?？苫厥蹅睦什荒苴吔跓o窮大，由于在期限內(nèi)的任意時(shí)點(diǎn)上都存在一個(gè)最優(yōu)回售利率，當(dāng)利率高于最優(yōu)回售利率時(shí)，債券都將會(huì)被回售，因此，其利率的取值只能在某一利率邊界以下。因此，可以得到以下2個(gè)邊界條件：

5. 分期不含權(quán)債券邊界條件。以V5表示分期不含權(quán)債券的價(jià)格，其期限為T，分期不含權(quán)債券具有MBS的性質(zhì)，即在債券期限內(nèi)本金和利息同時(shí)等額加以支付，在到期日，債券的價(jià)格為0，其他性質(zhì)類似于普通附息債券。因此，其邊界定價(jià)條件為：

在不同的狀態(tài)變量隨機(jī)微分方程和風(fēng)險(xiǎn)市場價(jià)格的假設(shè)條件下，可以通過求解偏微分方程(8)獲得各類型債券的解。在絕大多數(shù)狀態(tài)變量隨機(jī)過程下，式(9)并不存在解析解，這意味著必須利用數(shù)值方法才能求得各種債券的數(shù)值解。目前，求解偏微分方程的方法主要有顯性差分法、隱性差分法和利率樹圖法。Brenha和Schwartz證明了在時(shí)間網(wǎng)格趨近于0的條件下，顯性差分法等價(jià)于利率三叉樹法^[11]。Geske和Shastri^[12]進(jìn)一步比較了顯性差分法和隱性差分法在求解偏微分方程過程中的能力，發(fā)現(xiàn)隱性差分法比顯性差分法更可靠，求得的數(shù)值解均會(huì)收斂于方程的解，而顯性差分法雖然求解過程較快，但需要保證網(wǎng)格間距在一定條件下，求得的數(shù)值解才會(huì)收斂于方程的解^[13]。因此，可以利用隱性差分法來求解式(9)。

三、模型的數(shù)值求解和比較

理論上，模型(9)很好地解決了各類債券的定價(jià)問題。然而，在實(shí)際應(yīng)用過程中還存在一些障礙：一方面用來描述整個(gè)經(jīng)濟(jì)的狀態(tài)變量個(gè)數(shù)和狀態(tài)變量服從的隨機(jī)微分方程如何設(shè)定；另一方面對風(fēng)險(xiǎn)市場價(jià)格λ的設(shè)定既可以采用外生假定的形式，也可以從整個(gè)經(jīng)濟(jì)均衡的角度，根據(jù)極大化投資者期望效用函數(shù)來求得。對于這兩個(gè)問題目前學(xué)術(shù)界都還沒有達(dá)成共識。這里，假設(shè)狀態(tài)變量個(gè)數(shù)為1，并設(shè)定這個(gè)狀態(tài)變量為短期無風(fēng)險(xiǎn)利率r(t)，其隨機(jī)微分方程服從CIR過程^[10]：

其中，a表示短期利率的均值回復(fù)速度，b表示均值回復(fù)水平，σ表示利率的波動(dòng)系數(shù)。CIR能較好地描述利率的動(dòng)態(tài)行為，它克服了Vasicek和其他一些短期利率模型可能取負(fù)值的缺點(diǎn)，同時(shí)利率的波動(dòng)項(xiàng)與利率水平相關(guān)，能夠描述部分利率變化過程中的波動(dòng)群聚(volatility clustering)行為。

在后續(xù)的數(shù)值分析中，設(shè)定a＝0.1，b=0.06，σ=0.05，λ=0.1，債券的期限為30年，票面利率為8%，面值為100，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為100。通過隱性差分法求解在(10)～(14)的邊界條件下偏微分方程(9)的數(shù)值解，可以得到如表1的計(jì)算結(jié)果。表1中僅列出了當(dāng)前利率初值為1%～15%的條件下，30年期各類債券的理論價(jià)格。同時(shí)在圖1中，畫出了這5種債券在不同利率初值下的價(jià)格關(guān)系圖。

表1 不同利率初值下MBS和其它債券的價(jià)格比較

圖1 不同利率初值下MBS和其它債券的價(jià)格關(guān)系

將表1和圖1結(jié)合起來考慮，可以發(fā)現(xiàn)以下幾個(gè)特點(diǎn)：

(1)5種債券中無權(quán)債券和分期支付債券是不含有任何其他權(quán)利的債券，分期支付債券由于可以提前獲得現(xiàn)金流，因此，在較小的利率初值時(shí)無權(quán)債券價(jià)格應(yīng)當(dāng)高于分期支付債券，隨著利率的提升，分期支付債券價(jià)格將超過無權(quán)債券價(jià)格，并且這種差距越來越大。然而，這種價(jià)格關(guān)系將會(huì)受到利率均值回復(fù)速度、波動(dòng)系數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)市場價(jià)格的影響，并非所有的價(jià)格關(guān)系都包含這兩種情況。這里，當(dāng)初始利率處于較小值時(shí)，分期支付債券的價(jià)格就已經(jīng)高于無權(quán)債券，而且隨著利率的提升，兩者差距進(jìn)一步加大，出現(xiàn)這種情況主要是由于設(shè)定的均值回復(fù)速度和波動(dòng)系數(shù)偏大，造成未來利率變化大，從而在初始利率較小時(shí)無權(quán)債券價(jià)格就高于分期支付債券。

(2)5種債券中，可回售債券由于是投資者持有權(quán)利，因此在相同條款下，其價(jià)格均大于其他含權(quán)債券，大于或者等于無權(quán)債券，表1和圖1清楚的說明了這點(diǎn)。對于回售債券，在債券期限內(nèi)任一時(shí)點(diǎn)上均存在一最優(yōu)回售利率，當(dāng)市場利率高于該利率時(shí)，該債券將會(huì)發(fā)生回售。表1的計(jì)算表明，在0時(shí)刻，該債券回售的最優(yōu)利率處于9.1%～10%之間。當(dāng)初始利率高于這一利率時(shí)，債券價(jià)格等于回售價(jià)格100。當(dāng)利率波動(dòng)較小，在初始利率前期，可回售債券價(jià)格將等于無權(quán)債券，隨著初始利率的增大，兩者的差距越來越大。由于數(shù)值分析部分波動(dòng)系數(shù)偏大，造成期權(quán)價(jià)值大，因此，圖1中沒有完全顯現(xiàn)出兩者在前期發(fā)生收斂的情況。

(3)MBS和可贖回債券具有類似性，除了兩者支付利息和本金的方式不同，對于MBS和可贖回債券，兩者在0時(shí)刻均存在一個(gè)最優(yōu)贖回利率。表1的計(jì)算表明，可贖回債券的最優(yōu)贖回利率在2%～3.1%之間，而MBS的最優(yōu)贖回利率在3.1%～4.1%，這表明由于MBS現(xiàn)金流的等額支付性造成其最優(yōu)贖回利率將會(huì)高于可贖回債券的最優(yōu)贖回利率。圖1也進(jìn)一步說明了這種關(guān)系。在0時(shí)刻，當(dāng)初始利率較小時(shí)，MBS和可贖回債券的價(jià)格相等，等于其面值。當(dāng)初始利率進(jìn)一步加大，MBS和可贖回債券的隱含期權(quán)價(jià)格越來越小，這造成MBS的價(jià)格將會(huì)收斂于分期支付債券，而可贖回債券價(jià)格將會(huì)收斂于無權(quán)債券價(jià)格。

圖2 MBS的最優(yōu)贖回利率

由于住房抵押貸款內(nèi)涵贖回期權(quán)的美式性，因此，在MBS期限內(nèi)的任意時(shí)點(diǎn)上，均存在一個(gè)最優(yōu)贖回利率。利用隱性差分法，求得在假設(shè)條件下MBS的最優(yōu)贖回利率，如圖2。從圖2可以看到，求得的最優(yōu)贖回利率表現(xiàn)為一個(gè)階梯函數(shù)，這是由于在差分求解過程中，網(wǎng)格的間距所造成的，隨著網(wǎng)格間距越來越短，最優(yōu)贖回利率曲線將會(huì)越來越光滑。圖2中，MBS的最優(yōu)贖回利率是不斷上升的，隨著到期日的臨近，觸發(fā)借款人贖回的利率不斷提高。這主要是由于隨著債券期限越來越短，期權(quán)執(zhí)行價(jià)格越來越低，因此，需要更大的利率來使得貼現(xiàn)的現(xiàn)金流等于其執(zhí)行價(jià)格，從而造成最優(yōu)贖回利率的不斷提高。

四、結(jié)論和后續(xù)研究建議

以上從最優(yōu)期權(quán)贖回策略的角度來分析借款人的提前清償行為，經(jīng)過理論和數(shù)值方面的分析，主要得到以下結(jié)論：

(1)推導(dǎo)的偏微分方程理論上可以為任意債券定價(jià)，不同類型的債券可以通過不同的偏微分方程邊界條件來體現(xiàn)。這里利用的隱性差分法能較好地解決這一方程的數(shù)值求解問題。

(2)MBS和分析的4類債券，它們的價(jià)格存在一定關(guān)系?；谧顑?yōu)贖回策略的MBS與可贖回債券最相似，MBS的最優(yōu)執(zhí)行利率高于可贖回債券的最優(yōu)贖回利率。當(dāng)初始利率處于最優(yōu)贖回利率以下時(shí)候，MBS的價(jià)格等于其未償還本金，可贖回債券價(jià)格等于其指定贖回價(jià)格。當(dāng)利率超過最優(yōu)贖回利率并進(jìn)一步加大，MBS的價(jià)格將會(huì)收斂于分期支付債券，而可贖回債券價(jià)格將會(huì)收斂于無權(quán)債券價(jià)格。

(3)住房抵押貸款隱含期權(quán)可以在貸款期限的任意時(shí)點(diǎn)上執(zhí)行，其最優(yōu)執(zhí)行利率隨著期限的變小而不斷變大。

可以看到，以上從最優(yōu)贖回策略的角度來對MBS定價(jià)，由于數(shù)據(jù)方面的原因，還沒有考慮交易成本、借款人異質(zhì)等問題，借款人提前清償行為沒有考慮非利率等其他變量的影響。隨著數(shù)據(jù)庫建設(shè)的不斷完善，在模型中進(jìn)一步考慮其它因素將是以后研究的重點(diǎn)。

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The Pricing Model of the MBS Based on the Optimal Option Call Policy and Numerical Analysis XIE Chi1， 2， TAN Wensheng1， YAN Ruizeng1

(1. College of Business Administration， Hunan University， Changsha，Hunan 410082， China;

2. Center of Finance and Investment Management， Hunan University， Changsha，Hunan 410082， China)Abstract：In this paper， we analyze the prepayment behavior of the borrower form the perspective of the optimal option call policy. We theoretically derive the generic pricing partial equation and analyze the boundary condition to the mortgage backed security (MBS) and other four bonds. Then we numerically solve the partial equation under the CIR model and get the optimal call interest rate for the MBS. After comparisons， the relationships between the prices of MBS and other bonds are also analyzed.

Key words： Optimal Option Call Policy; Mortgagebacked Security (MBS); Numerical Analysis

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