在常規(guī)教學(xué)下的數(shù)學(xué)開放題的編制目前有：弱化陳題的條件，使其結(jié)論多樣化；隱去陳題的結(jié)論，使其多樣化；在既定的條件或關(guān)系下，探討多種結(jié)論；給出結(jié)論，尋找使結(jié)論成立的充分條件；比較某些對象的異同點(diǎn)等方法。在教學(xué)實(shí)踐中該如何設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)開放題？教學(xué)中又如何實(shí)施開放題教學(xué)呢？下面我們探討一下常規(guī)教學(xué)下開放題的設(shè)計(jì)策略。

一、 要選擇好恰當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)

筆者認(rèn)為實(shí)施開放題教學(xué)的關(guān)鍵就要講究教學(xué)的切入點(diǎn)。教學(xué)的切入點(diǎn)把握好就能事半功倍。那么怎樣尋找到教學(xué)的切入點(diǎn)呢？當(dāng)然教學(xué)的切入點(diǎn)的把握根源在于對教學(xué)設(shè)計(jì)的切入點(diǎn)的研究。筆者將以下面的案例來談自己的思考。案例：三線八角之間的關(guān)系。三根木條如下的圖示進(jìn)行擺放，轉(zhuǎn)動(dòng)木條后啟發(fā)學(xué)生研究角的關(guān)系。

如果轉(zhuǎn)動(dòng)木條讓∠1=∠5可以推出什么結(jié)論？學(xué)生普遍發(fā)現(xiàn)：其余三對同位角相等；兩對內(nèi)錯(cuò)角相等；兩對外錯(cuò)角相等；兩對同旁內(nèi)角或同旁外角互補(bǔ)。其次啟發(fā)學(xué)生由上面的角的關(guān)系能更進(jìn)一步提出什么問題？經(jīng)過一定的思考后有學(xué)生提出：如果已知一對內(nèi)錯(cuò)角相等問題又該如何？另有學(xué)生能夠迅速發(fā)現(xiàn)：此時(shí)四對同位角相等；剩下的一對內(nèi)錯(cuò)角相等；兩對同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩對外錯(cuò)角相等；兩對同旁外角互補(bǔ)等等。有的學(xué)生又由此受到啟發(fā)后提出：如果一對同旁內(nèi)角互補(bǔ)，問題又會(huì)如何呢？這時(shí)大部分學(xué)生都能分析下去。教師啟發(fā)學(xué)生再進(jìn)一步思考：從上面一對角的關(guān)系的分析后還可以提出什么問題？有學(xué)生提出，要是一對同旁內(nèi)角由互補(bǔ)而變成相等了，問題又該如何呢？學(xué)生們又發(fā)現(xiàn)同位角，內(nèi)錯(cuò)角，外錯(cuò)角等由相等就變成互補(bǔ)，或者同旁外角由互補(bǔ)變成相等，這時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么情況？最后教師再次啟發(fā)學(xué)生得出三線八角共12對角的關(guān)系的等價(jià)性。有了對三線八角共12對角之間的關(guān)系的開放研究，在教學(xué)平行線的判定和平行線的性質(zhì)時(shí)進(jìn)行得十分順利。討論平行線的判定時(shí)教師啟發(fā)學(xué)生回憶小學(xué)畫平行線的方法，引導(dǎo)學(xué)生回憶后再反思提煉成為平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果截得的同位角相等，那么這兩條直線平行。接著大部分學(xué)生能探索到：如果截得的內(nèi)錯(cuò)角相等；或截得的同旁內(nèi)角互補(bǔ)；或外錯(cuò)角相等；或同旁外角互補(bǔ)等，那么這兩條直線平行。筆者讓學(xué)生分析自己的想法時(shí)學(xué)生們用三線八角共12對角的關(guān)系之間的等價(jià)性來分析問題的。教學(xué)平行線的性質(zhì)時(shí)，學(xué)生得出比較多的結(jié)論，并且不用一個(gè)課時(shí)就可以完成教學(xué)任務(wù)。對于平行線這一章的教學(xué)進(jìn)行非常順利和有效的主要原因就是因?yàn)橹v究知識的切入點(diǎn)的教學(xué)。所謂知識的切入點(diǎn)就是核心的知識點(diǎn)。在這一章的備課中筆者研究到三線八角共12對關(guān)系的等價(jià)性是這一章的核心知識，所以抓住這個(gè)核心的知識點(diǎn)即為教學(xué)的切入點(diǎn)，抓住這個(gè)核心的知識點(diǎn)并把它設(shè)計(jì)成一道開放題，引導(dǎo)學(xué)生從多角度、多方面甚至多層次地探究它，通過這樣的教學(xué)學(xué)生能比較透徹地理解這一核心知識點(diǎn)，由此學(xué)生對這一章內(nèi)容的理解和應(yīng)用就比較順利，教學(xué)效率提高。

二、 設(shè)計(jì)的問題入口要寬

開放題的設(shè)計(jì)，一定要注意入口要寬。所謂入口寬，就是起點(diǎn)要低，給學(xué)生討論的問題在開始時(shí)應(yīng)該設(shè)計(jì)或構(gòu)思得比較簡單，這樣才能使學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生能夠都參與進(jìn)來。筆者在初中二年級平面幾何等腰三角形這一個(gè)單元備課中注意到教材的習(xí)題在等邊三角形這一部分有兩道常規(guī)的幾何問題：第一題：已知△ABC是一個(gè)等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC上的點(diǎn)，且AD=BE=CF。求證：△DEF是一個(gè)等邊三角形。第二題：已知點(diǎn)B是線段CE上的一點(diǎn)，以BC和BE為邊作等邊三角形，連結(jié)CD和AE，求證：CD=AE。筆者又查閱到：《數(shù)學(xué)奧林匹克競賽詞典》中有一道前蘇聯(lián)八年級的數(shù)學(xué)競賽題：在兩個(gè)分離的等邊三角形△ABC和△A1B1C1，連結(jié)AA1，BB1，CC1，并設(shè)A1B1C1為其中點(diǎn)。求證：△A2B2C2為等邊三角形。緊接著筆者又查閱到由上海教育出版社出版的，由沈康身所撰寫的《歷史數(shù)學(xué)名題賞析》中所介紹的Echois定理，該定理為：“兩個(gè)正三角形對應(yīng)頂點(diǎn)兩兩連線中點(diǎn)是另一正三角形頂點(diǎn)”。

筆者由上面的問題得到啟發(fā)，于是就思考到：可以在教材中的這兩道題的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出一個(gè)開放的問題，并且讓開始出現(xiàn)的問題要簡單、容易，然后再把問題逐步展開。設(shè)計(jì)用兩節(jié)課來進(jìn)行教學(xué)，第一節(jié)課讓學(xué)生利用幾何畫板在一個(gè)等邊三角形中探究構(gòu)造等邊三角形的方法。第二節(jié)課讓學(xué)生利用幾何畫板在上面的第二個(gè)圖的兩個(gè)等邊三角形之間探究等邊三角形。在實(shí)際教學(xué)中學(xué)生的參與面比較大，課堂探究氣氛很活躍，學(xué)生的情緒相互感染，取得很好的教學(xué)效果。筆者在課后分析和反思這節(jié)課時(shí)，可以得出這節(jié)課效果好的最根本的原因就是：設(shè)計(jì)的問題入口寬，起點(diǎn)低，適合中下學(xué)習(xí)能力的學(xué)生的實(shí)際。

三、 應(yīng)注意留下懸念以引發(fā)學(xué)生的問題意識

在開放題的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生逐步學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題是一個(gè)重要的目的。因此在開放題的設(shè)計(jì)中要注意設(shè)計(jì)一些懸念以引發(fā)學(xué)生的問題意識，同時(shí)給學(xué)生留下提問題的時(shí)間、空間和機(jī)會(huì)。案例：筆者在備課中發(fā)現(xiàn)在教材的思考題中有這樣一道問題：一條小船順流而下，但5分鐘后發(fā)現(xiàn)有一樣貴重的物品掉到河水中，小船立即調(diào)動(dòng)船頭去追擊它。假設(shè)水流的速度為2米/秒，小船的速度是5米/秒。物品的重量可忽略不計(jì)。問可以用幾分鐘追上物品？

第一步：當(dāng)問題給出后，教師鼓勵(lì)學(xué)生：想知道小船是用幾分鐘追上那個(gè)貴重物品的嗎？學(xué)生可能表示他們很想知道。教師注意觀察學(xué)生的反應(yīng)，經(jīng)過一系列的討論和分析之后學(xué)生將可能求解出小船需要花5分鐘的時(shí)間去追擊物品。第二步：教師進(jìn)一步啟發(fā)，當(dāng)我們解出上面的問題之后同學(xué)們有什么問題和新的思考。假如學(xué)生還沒有發(fā)現(xiàn)，可以多一點(diǎn)停留，啟發(fā)學(xué)生檢查條件和結(jié)論，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)答案和已知之間有某種關(guān)系。教師可以抓住時(shí)機(jī)問到：能描述你所感覺到的聯(lián)系嗎？可能有學(xué)生將回答道：問題的答案和結(jié)論都是5分鐘，這是一次巧合嗎？教師可以乘機(jī)鼓勵(lì)學(xué)生思考：是不是巧合？我們該用什么理由去說服他人和自己呢？教師可以鼓勵(lì)學(xué)生：要是改成8分鐘或10分鐘才發(fā)現(xiàn)物品掉出，那么要用多少分鐘才能追上它？當(dāng)學(xué)生完成上面的計(jì)算之后，教師可繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生思考：還會(huì)有什么想法？可以得出什么結(jié)論？要是還不能得出結(jié)論我們又該做什么工作？第三步：教師對于學(xué)生的表現(xiàn)注意及時(shí)評價(jià)，為激勵(lì)學(xué)生繼續(xù)思考并提出問題。假如學(xué)生不能提出問題，可以引導(dǎo)學(xué)生回顧該問題的條件中小船是作什么方向航行的？學(xué)生觀察了條件之后回答道：順流航行。教師又進(jìn)一步要學(xué)生思考，看有什么問題，能提出什么問題？經(jīng)過一些時(shí)間之后可啟發(fā)學(xué)生提出：小船如果不是順流航行而是逆流航行，上面的結(jié)論是否還會(huì)成立？問題的條件如何？當(dāng)作逆流航行時(shí)可以如何去研究它？啟發(fā)學(xué)生從特殊的問題開始研究，可以取5或8或10或20等分鐘，再逐步過度到用字母來代表任意的量。最后再來引導(dǎo)學(xué)生思考和總結(jié)上面的研究問題的方法。第四步：教師注意調(diào)整評價(jià)學(xué)生的表現(xiàn)的方式、方法。然后再一次啟發(fā)學(xué)生思考：從該問題的分析中同學(xué)們有什么想法？有什么感想？這里可以給學(xué)生留下提問題的時(shí)間和空間?？赡軐W(xué)生會(huì)感受到問題本身很有規(guī)律性。教師啟發(fā)學(xué)生說出自己所感受到的規(guī)律性?？梢詥l(fā)學(xué)生分析這個(gè)問題與哪些量有關(guān)系？與哪些量沒有關(guān)系？教師可以啟發(fā)學(xué)生思考：要研究下去該采取什么方法等？第五步：教師對于學(xué)生積極探究的態(tài)度給予及時(shí)的肯定后，啟發(fā)學(xué)生總結(jié)和回顧該問題。

四、 設(shè)計(jì)的問題要處于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)

教師在進(jìn)行問題設(shè)計(jì)時(shí)，必須根據(jù)每個(gè)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”進(jìn)行設(shè)計(jì)。維果茨基認(rèn)為，要使設(shè)計(jì)出的問題能達(dá)到預(yù)設(shè)的目的，使學(xué)生根據(jù)問題進(jìn)行充分討論和學(xué)習(xí)，教師必須能夠設(shè)計(jì)出切入到學(xué)生的認(rèn)知系統(tǒng)中去的問題。反之，武斷地將學(xué)生的思路強(qiáng)行與自己的思路進(jìn)行連接，只會(huì)使學(xué)生對學(xué)習(xí)產(chǎn)生厭倦和畏難情緒。從大量開放題學(xué)習(xí)的成敗例子中，我們可以看出，如果問題接近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”的范圍，在教師的幫助和引導(dǎo)下，學(xué)生很快就能解答這個(gè)問題，獲得獨(dú)立思考的能力。

五、 盡可能設(shè)計(jì)既有一定現(xiàn)實(shí)意義又有好的數(shù)學(xué)背景的問題

設(shè)計(jì)開放題時(shí)，不僅要考慮到與學(xué)生的實(shí)際生活有緊密聯(lián)系的一些相關(guān)問題和知識，而且還要使設(shè)計(jì)出來的問題有利于學(xué)生掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識和思想方法，更重要的是很能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想。好的數(shù)學(xué)背景的問題，通常都具有比較好的發(fā)展性。案例：教師出示了一些圖形，并說明這表明了某人某天外出時(shí)所走過的路程（離開家的距離）與所花費(fèi)的時(shí)間之間的關(guān)系，要求學(xué)生根據(jù)這一圖形編制一個(gè)故事，以說明此人當(dāng)天（可能的）經(jīng)歷。像這類題目具有現(xiàn)實(shí)意義，學(xué)生可在編故事中品味數(shù)學(xué)的樂趣。又如問題：一塊三角形的余料，要想利用它作成一個(gè)正方形，怎樣做？什么情況下所得到的正方形的面積最大。再如問題：一張長方形紙片對其進(jìn)行折疊，可以先折疊到特殊的位置或特殊的點(diǎn)再引導(dǎo)學(xué)生逐步去探究其背后的規(guī)律性。甚至可以用折疊長方形的紙片逐步引出拋物線、橢圓、雙曲線以及包絡(luò)的概念。還如，可以引導(dǎo)學(xué)生探究下面的問題，問題1：老太太賣雞蛋。A，B，C三人向她買。A買她的所有的一半又半個(gè)；B買剩下蛋數(shù)的一半又半個(gè)；C買剩下的一半又半個(gè)。則老太太的蛋剛好賣完。問：老太太原有多少蛋？問題2：假如是A，B，C，D四人買雞蛋，其他條件不變，問題將如何？問題3：推廣下去可以嗎？可以得到什么結(jié)論？這些問題既結(jié)合學(xué)生的實(shí)際生活，同時(shí)又有很好的發(fā)展性和探究價(jià)值，并能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想方法和數(shù)學(xué)的本質(zhì)。設(shè)計(jì)出這樣的好問題并非容易，它需要我們的教師要具備良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)問題意識，所以開放題的教學(xué)對教師的能力提出了更高的要求。

六、 設(shè)計(jì)的問題要有層次性

學(xué)生首先都是作為具體的、活生生的個(gè)體而存在，我們設(shè)計(jì)問題時(shí)必須明確肯定學(xué)生認(rèn)識活動(dòng)的個(gè)體特殊性，這種特殊性不僅表現(xiàn)于已有的知識和經(jīng)驗(yàn)的差別，而且也表現(xiàn)在認(rèn)知風(fēng)格、學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)信念及學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)等各方面的差異。也正是由于這種差異存在，所設(shè)計(jì)的問題必須要有層次性。所謂層次性指的是問題里面含有各種各樣的小問題，有難、中、淺，適合各層面學(xué)生的需要，從而形成一串問題鏈，淺層的記憶性問題可供單純的機(jī)械模仿；較深層次的理解性問題可用來掌握和鞏固新知識；最高層次的問題可供用來引導(dǎo)學(xué)生知識的遷移和應(yīng)用。比如，在學(xué)習(xí)“橢圓、雙曲線、拋物線”這一章節(jié)后，教師可引導(dǎo)學(xué)生來討論這樣一個(gè)開放題：（1）平面上到定點(diǎn)F1、F2的距離的和、差、積、商分別等于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？（2）平面上到定點(diǎn)F1和定直線L的距離的和、差、積、商分別等于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？（3）平面上到定點(diǎn)F1、F2的距離平方的和、差、積、商分別等于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？

當(dāng)然，以上所列舉的各種設(shè)計(jì)策略不可能在每一個(gè)問題中都得到充分的體現(xiàn)，而且，從更高的層次去分析，所謂問題的“好”與“壞”事實(shí)上也只具有相對意義，即是因人、因時(shí)、因地而異。但是考慮到開放題學(xué)習(xí)這一學(xué)習(xí)方式應(yīng)當(dāng)?shù)玫礁嗟闹匾暫吞岢?，一個(gè)好的問題應(yīng)當(dāng)是給學(xué)生創(chuàng)設(shè)下一個(gè)好的問題情景，應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)、促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)、積極地學(xué)習(xí)以及促進(jìn)學(xué)生之間的數(shù)學(xué)地交流，這是一條開放題設(shè)計(jì)的不變的策略。

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（責(zé)任編輯 劉永慶）

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