摘要:指數(shù)有效久期模型是一個(gè)新的用來(lái)衡量固定收益證券市場(chǎng)上的利率風(fēng)險(xiǎn)的模型#65377;它建立在有效久期的基礎(chǔ)之上，因而體現(xiàn)了附有選擇權(quán)債券的價(jià)格變動(dòng)情況#65377;在利率上升時(shí)，指數(shù)有效久期是一種能夠更好地被風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型投資者用作測(cè)算可回售債券利率風(fēng)險(xiǎn)的工具，避免了使用指數(shù)久期所帶來(lái)的過(guò)分夸大債券價(jià)格下跌幅度的缺陷#65377;而在利率下降時(shí)，該模型又可以部分克服指數(shù)久期過(guò)度高估可贖回債券的價(jià)格上漲幅度的缺憾#65377;

關(guān)鍵詞:指數(shù)有效久期;指數(shù)久期;利率風(fēng)險(xiǎn);債券

中圖分類號(hào):F830.91文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號(hào):1673-291X(2007)01-0049-04

一#65380;引論

固定收益證券的久期理論隨著資本市場(chǎng)環(huán)境的變化而不斷得到發(fā)展和完善#65377;從20世紀(jì)30年代有學(xué)者首次提出久期(duration)的概念直至70年代，由于西方國(guó)家普遍存在的利率管制，利率的波動(dòng)很小，因此實(shí)務(wù)界對(duì)于能夠用來(lái)衡量債券利率風(fēng)險(xiǎn)的久期方法關(guān)注甚少，在理論上也幾乎未有重大的創(chuàng)新#65377;隨著20世紀(jì)80年代以來(lái)，各發(fā)達(dá)國(guó)家對(duì)市場(chǎng)利率紛紛放松管制，實(shí)現(xiàn)利率的市場(chǎng)化，利率的變動(dòng)開(kāi)始變得頻繁而劇烈#65377;廣大投資者和實(shí)務(wù)工作者迫切需要一種簡(jiǎn)便而又準(zhǔn)確的工具來(lái)衡量固定收益證券市場(chǎng)上的利率風(fēng)險(xiǎn)，從而能有效指導(dǎo)他們?cè)谑袌?chǎng)上的行為，規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)#65377;

二#65380;研究背景

Macaulay(1938)最先提出久期(duration)的概念，他使用久期來(lái)衡量債券的加權(quán)平均到期時(shí)間，反映投資者以債券利息和本金的方式最終收回初始投資所需要的時(shí)間，即Macaulay久期#65377;Hicks(1939)以Macaulay久期為基礎(chǔ)進(jìn)行了一些修改，加入當(dāng)期收益率因素，建立了修正久期(Modified Duration)模型，用來(lái)度量利率每變動(dòng)100個(gè)基點(diǎn)，債券價(jià)格的變化百分比#65377;其后，眾多的西方學(xué)者對(duì)久期理論又進(jìn)行了不斷的發(fā)展和完善#65377;

2005年Miles Livingston和Lei Zhou共同提出了指數(shù)久期(exponential duration)的概念#65377;他們認(rèn)為當(dāng)市場(chǎng)利率上升時(shí)用修正久期和修正凸性方法來(lái)衡量?jī)r(jià)格變動(dòng)會(huì)低估債券價(jià)格的下降幅度，高估其價(jià)格，這會(huì)誤導(dǎo)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型投資者的市場(chǎng)行為#65377;而指數(shù)久期模型得出的變動(dòng)后的價(jià)格則會(huì)略低于真實(shí)價(jià)格，避免了傳統(tǒng)久期跟凸性高估價(jià)格的缺陷#65377;①但是我們看到，這一模型有一定的局限性，在于它所依賴的是修正久期，而目前西方國(guó)家相當(dāng)一部分債券是附有可贖回或者可回售條款的，修正久期并不適用于判斷這類債券的利率敏感性#65377;這就導(dǎo)致了指數(shù)久期理論在應(yīng)用時(shí)會(huì)存在與修正久期相類似的缺陷#65377;我們可斷定，在利率上升時(shí)，指數(shù)久期會(huì)過(guò)分夸大附有可回售條款的債券價(jià)格下跌幅度，因?yàn)閷?duì)于這種債券，其在利率上升特別是幅度較大時(shí)，具有一定的抗下跌特性;而當(dāng)利率下跌時(shí)，指數(shù)久期則會(huì)過(guò)度夸大可贖回債券價(jià)格的上漲幅度#65377;

正是考慮到指數(shù)久期的這一局限性，我們?cè)噲D發(fā)掘一種無(wú)論是否附有選擇權(quán)(本文指可回售和可贖回)，都能用來(lái)有效指導(dǎo)市場(chǎng)上絕大多數(shù)投資者行為的工具，我們稱之為指數(shù)有效久期#65377;與先前由Miles Livingston和Lei Zhou提出的指數(shù)久期的差異在于，它的推導(dǎo)是建立在有效久期的基礎(chǔ)上的，而不是修正久期#65377;而根據(jù)前人已有結(jié)論，對(duì)于普通債券，有效久期與修正久期的結(jié)論十分一致，①而當(dāng)衡量的是附有選擇權(quán)的債券的價(jià)格敏感性時(shí)，它就顯示出自身獨(dú)特的解釋力上的優(yōu)勢(shì)#65377;所以，指數(shù)有效久期從某種意義上來(lái)說(shuō)是指數(shù)久期的修正#65377;在本文中，我們主要討論固定利率債券價(jià)格的利率敏感性#65377;

三#65380;指數(shù)有效久期模型

有學(xué)者指出，債券價(jià)格的對(duì)數(shù)形式能夠更好地用來(lái)衡量市場(chǎng)利率變動(dòng)時(shí)債券價(jià)格變動(dòng)的情況(Bierwag， Kaufman及Latta 1988； Campbell， Lo及MacKinlay 1997;Crack和Nawalkha 2001)#65377;鑒于此，我們可首先對(duì)lnP求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù):

我們需要假設(shè)可回售和可贖回這兩個(gè)條款不同時(shí)出現(xiàn)在一個(gè)債券上，而且在現(xiàn)行的市場(chǎng)利率或者說(shuō)收益率的水平上，利率一旦開(kāi)始變動(dòng)就會(huì)呈現(xiàn)出可贖回或可回售的特性，在債券價(jià)格曲線的圖形上表示為:利率上升時(shí)，曲線較無(wú)可回售選擇權(quán)時(shí)要平坦;利率下降時(shí)，曲線會(huì)出現(xiàn)負(fù)凸性#65377;

我們先來(lái)分析附有可回售條款的債券的情況，這時(shí)需要dy>0#65377;因?yàn)閭瘍r(jià)格與市場(chǎng)利率是呈反向變動(dòng)關(guān)系的:利率y上升時(shí)，市場(chǎng)價(jià)格P下跌，即dP<0#65377;我們現(xiàn)在用P+-P-/2近似地表示在市場(chǎng)利率上升時(shí)，債券價(jià)格變動(dòng)的幅度dP#65377;其中P-和P+分別是市場(chǎng)利率下跌和上升相同基點(diǎn)時(shí)債券的價(jià)格水平#65377;利率變化越小，這一近似值就越接近真實(shí)變動(dòng)情況，這是由債券價(jià)格曲線的凸性決定的#65377;

于是我們可得:

那么市場(chǎng)利率y變動(dòng)后的價(jià)格P1=P*e-De△y，價(jià)格的變動(dòng)百分比%△P=(e-De△y-1)*100#65377;我們可以看到，分別考察可贖回和可回售債券價(jià)格敏感性時(shí)的模型是一致的#65377;

這里需要提示的是，指數(shù)有效久期模型的形式與Miles Livingston和Lei Zhou的指數(shù)久期模型十分類似，③其差別或者說(shuō)優(yōu)勢(shì)在于有效久期De的引入#65377;而且根據(jù)已知理論，在不存在可回售和可贖回條款時(shí)Dm與De近似，因此指數(shù)有效久期具有與指數(shù)久期跟傳統(tǒng)的修正久期和凸性相比相同的優(yōu)點(diǎn);而當(dāng)存在這些條款時(shí)，由于Dm與De解釋力的不同導(dǎo)致的差異，使得指數(shù)有效久期要優(yōu)于指數(shù)久期#65377;

四#65380;關(guān)于指數(shù)有效久期模型適用性的論證

下面我們先來(lái)證明在附有可回售條款時(shí)，指數(shù)有效久期更適合于投資者用來(lái)衡量市場(chǎng)利率變動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)#65377;

由于當(dāng)附有可回售條款時(shí)，債券價(jià)格相對(duì)于利率在圖形上呈現(xiàn)正凸性的性質(zhì)，也就是說(shuō)利率上升時(shí)債券價(jià)格下降的幅度要小于利率下降相同基點(diǎn)時(shí)債券價(jià)格上升的幅度#65377;所以

我們可知該公式夸大了#65377;當(dāng)利率變動(dòng)很小時(shí)，譬如說(shuō)只有10個(gè)基點(diǎn)或者更小，那么這種夸大幾乎微不足道，而如果利率變動(dòng)100個(gè)基點(diǎn)或者更多時(shí)，這種夸大就會(huì)突顯出來(lái)，并且隨著利率變動(dòng)的不斷增大，這種差異也會(huì)不斷增加，因此有1Pexponential≤P+，其中P+為利率上升后可回售債券的實(shí)際價(jià)格#65377;所以根據(jù)指數(shù)有效久期計(jì)算得出的價(jià)格會(huì)低于變動(dòng)后的真實(shí)的債券價(jià)格#65377;

現(xiàn)在我們需要比較在利率上升情況下分別使用指數(shù)有效久期與指數(shù)久期模型得出的可回售債券價(jià)格的變動(dòng)情況#65377;

在dy>0的情況下，因?yàn)樾拚闷贒m在數(shù)值上不小于有效久期De①，所以由單調(diào)性得P*e-De△y≥P*e-De△y，即使用指數(shù)有效久期測(cè)算出的價(jià)格要大于使用指數(shù)久期得出的價(jià)格#65377;

綜上，我們的結(jié)論是，雖然Miles Livingston和Lei Zhou的指數(shù)久期高估債券價(jià)格下降幅度的特性相對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型投資者來(lái)說(shuō)不失為一個(gè)有效的工具，但是其未能體現(xiàn)附有選擇權(quán)債券的特性#65377;而我們知道，在市場(chǎng)利率上升時(shí)，可回售債券的價(jià)格具有抗下跌性，而有效久期模型過(guò)分夸大了債券的下跌幅度，如果投資者使用這一模型來(lái)指導(dǎo)自己的市場(chǎng)操作，可能會(huì)引起債券市場(chǎng)上的過(guò)度恐慌，造成市場(chǎng)動(dòng)蕩#65377;而指數(shù)有效久期可以有效地避免這種情況的發(fā)生，因?yàn)樗蕾嚨挠行Ь闷?，本身就是作為一種可以用來(lái)衡量附有選擇權(quán)的債券價(jià)格變動(dòng)的敏感性工具#65377;根據(jù)我們前面的證明，使用指數(shù)有效久期將不會(huì)過(guò)度夸大債券價(jià)格下跌的幅度(我們將在后文舉例進(jìn)行進(jìn)一步闡述)，所以說(shuō)，當(dāng)內(nèi)置可回售選擇權(quán)時(shí)，指數(shù)有效久期將優(yōu)于指數(shù)久期#65377;而如果債券無(wú)任何選擇權(quán)，那么根據(jù)已知理論(修正久期十分近似有效久期)，指數(shù)有效久期的效果將與指數(shù)久期趨于一致#65377;

現(xiàn)在假設(shè)有一只10年期，票面利率為8%，半年付一次息，面值為1 000元的附有可回售條款的債券，目前市場(chǎng)利率也為8%#65377;表1列出了在利率變動(dòng)不同基點(diǎn)時(shí)分別使用指數(shù)久期和指數(shù)有效久期模型得到的價(jià)格以及市場(chǎng)價(jià)格的情況#65377;其中第一縱列是在利率變動(dòng)不同基點(diǎn)后的市場(chǎng)利率情況#65377;最后兩列是分別使用指數(shù)久期模型和指數(shù)有效久期模型得出的可回售債券的價(jià)格#65377;而市場(chǎng)價(jià)格的計(jì)算使用《中國(guó)人民銀行關(guān)于全國(guó)銀行間債券市場(chǎng)債券到期收益率計(jì)算有關(guān)事項(xiàng)的通知》(銀發(fā)[2004]116號(hào))上載明的對(duì)不處于最后付息周期的固定利率債券的定價(jià)公式:

其中PV代表債券全價(jià)，C代表票面年利息， 代表年付息頻率，f代表到期收益率，y代表債券結(jié)算日至下一最近付息日的實(shí)際天數(shù)，n代表結(jié)算日至到期兌付日的債券付息次數(shù)，M代表債券面值#65377;

通過(guò)比較表1的第3#65380;6#65380;7列發(fā)現(xiàn)，我們的指數(shù)有效久期模型算得的價(jià)格會(huì)低估可回售債券的市場(chǎng)價(jià)格，但會(huì)高于指數(shù)久期估算的價(jià)格#65377;也就是說(shuō)，使用指數(shù)久期會(huì)過(guò)度低估債券的價(jià)格#65377;這一點(diǎn)也可從與表1相對(duì)應(yīng)的表2的低估水平(用小數(shù)表示)來(lái)獲得證實(shí)#65377;

我們發(fā)現(xiàn)在市場(chǎng)利率變動(dòng)很小的基點(diǎn)(如5#65380;10)指數(shù)久期和指數(shù)有效久期模型的低估水平趨近0，差異不是很大#65377;但當(dāng)利率變動(dòng)較大，如100個(gè)基點(diǎn)，200個(gè)基點(diǎn)時(shí)，指數(shù)久期過(guò)分夸大的“特性”就暴露出來(lái)了，較指數(shù)有效久期夸大降幅達(dá)70%以上#65377;所以說(shuō)，在附有可回售條款時(shí)，指數(shù)有效久期更適合作為一種被市場(chǎng)參與者，特別是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者指導(dǎo)其行為的工具#65377;

對(duì)于可贖回債券，市場(chǎng)利率下降時(shí)指數(shù)有效久期與指數(shù)久期一樣都存在著高估債券價(jià)格的現(xiàn)象，但是值得說(shuō)明的是指數(shù)有效久期更趨近于指數(shù)久期#65377;所以在考察可贖回債券的利率敏感性時(shí)，指數(shù)有效久期仍然優(yōu)于指數(shù)久期#65377;

另外需要指出的是，根據(jù)前人理論，有效久期與有效凸性一起能很準(zhǔn)確地來(lái)衡量債券價(jià)格的真實(shí)情況，那么似乎指數(shù)有效久期在此變得毫無(wú)意義#65377;但是我們?cè)诖吮仨氈厣?，指?shù)有效久期模型提供了一種能夠更便捷和迅速地估測(cè)出債券價(jià)格變動(dòng)率的方法，因?yàn)槲覀儫o(wú)須再去計(jì)算復(fù)雜的有效凸性Ce，只需知道De，再取冪e就可以了解債券的價(jià)格變動(dòng)情況了，而且又不會(huì)像修正久期和修正凸性那樣在市場(chǎng)利率上升時(shí)誤導(dǎo)市場(chǎng)參與者的投資行為，損害投資者的利益#65377;

五#65380;結(jié)論

我們提出并闡述了指數(shù)有效久期模型的基本思想，并且通過(guò)一系列論證和比較最終認(rèn)為它是一種更適合于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型投資者用來(lái)揭示固定收益證券市場(chǎng)上各種資產(chǎn)利率風(fēng)險(xiǎn)的有效方法#65377;這一模型主要有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn):第一，在衡量無(wú)選擇權(quán)的債券的利率風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，具有與指數(shù)久期一樣避免了傳統(tǒng)的修正久期和凸性方法在衡量利率上升時(shí)高估債券價(jià)格的長(zhǎng)處;第二，克服了指數(shù)久期不能用來(lái)很好地揭示附有選擇權(quán)債券的利率風(fēng)險(xiǎn)的缺陷，避免了過(guò)分夸大可回售債券價(jià)格的下跌幅度以及可贖回債券的上漲幅度#65377;特別是在解釋可回售債券利率敏感性問(wèn)題上，具有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，可以有效防止過(guò)度低估價(jià)格而造成的市場(chǎng)恐慌和拋售行為;第三，可以免去計(jì)算繁雜的有效凸性，因?yàn)橹笖?shù)有效久期模型的提出使得我們只要取e的(-De*Δy)次方就可以了，計(jì)算簡(jiǎn)單，而且又與真實(shí)值十分近似#65377;所以，基于以上的論述，我們認(rèn)為，指數(shù)有效久期模型憑借其自身的優(yōu)勢(shì)，一定會(huì)在實(shí)踐中得到風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型投資者的廣泛運(yùn)用#65377;

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（注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文）