一、幾何課程的由來

人類自然科學史的第一個盛世，出現(xiàn)在2500年前的古希臘。數(shù)學科學的代表，首推畢達哥拉斯(公元前580～500年)及以其命名的學派。他們認為當時的數(shù)學已經發(fā)展到近于完美的程度，并堅信自然數(shù)及其比(有理數(shù))可以表達世間一切數(shù)量關系的問題。

畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)了勾股定理后，學派成員希帕索斯由勾股定理得出了“等腰直角三角形之直角邊與斜邊不可公度”的結論，無理數(shù)21/2于此時誕生。21/2就像魔鬼一樣，毀滅了畢達哥拉斯學派信念，整個數(shù)學界一片恐慌，這便是歷史上的第一次數(shù)學危機。

危機發(fā)生后，人們回避那些討厭的數(shù)字，轉而把更多的精力投入到現(xiàn)實空間模型方面的研究，從而導致了《歐幾里德幾何原本》(以下簡稱《原本》)的誕生?！对尽酚诿鞒┠陚魅宋覈?，由徐光啟與意大利傳教士利瑪竇合譯而成?？陀^地講，我國現(xiàn)行初、高中數(shù)學教材中的幾何部分，均是《原本》的部分章節(jié)。

歐幾里德(Euclid公元前330～270年)的《幾何原本》是歷史上第一部甄于完善的公理演繹體系數(shù)學專著，是第一部幾何巨著，是具有劃時代意義的偉大成就。不僅如此，古今中外許多國家都把《原本》當作訓練學生邏輯思維及推理能力的良方良藥，其在世界教育史中的地位、作用及深遠影響，是其他任何一部專著都無法與之相提并論的。

二、《原本》的基本結構

《原本》在開篇給出了23個例如“點無部分”、“線無寬度”這樣的概念，隨后列出如下一些公理：各與同一個第三個量相等的量必相等；相等的量加上相等的量相等；相等的量減去相等的量相等；不相等的量加上相等的量不相等；相等的量的兩倍為相等的量；相等的量的一半為相等的量；相互重合的量一定是相等的量；整體大于部分；過任意兩點只能引一條直線。

再后列出一些公設，如：從一點到另一點必可引直線；任一直線必可無限延長；以任意一點為中心均可以以任意長為半徑畫圓；所有的直角都相等；若兩條直線與第三條直線相交，其一側的兩角之和小于兩直角時，則把這兩條直線向該側延長后一定相交(此公設等價于三角形內角和等于180度)。

一般的觀點，公理與公設的區(qū)別為：公理為幾何和代數(shù)所公用，公設為幾何獨用。龐大的《原本》幾何體系便建立在這些公理和公設之上，或者說以公理和公設為基礎，演繹出了《原本》這座幾何大廈。

三、《原本》的現(xiàn)實意義

第五個公設冗長且不直觀明了，去掉是不可能的，后人試圖修補并做了許多工作，都無功而返。盡管人們不滿意，但很長時間內依舊將其視為現(xiàn)實空間的真實反映。

基于以后數(shù)學家的大量工作，終于在19世紀誕生了非“歐幾里德”幾何，即黎曼(1826～1860年)幾何和羅巴切夫斯基幾何。兩位數(shù)學家均對第五公設做了改動，前者把第五公設改變?yōu)椋喝切蝺冉呛痛笥?80度；后者為：三角形內角和小于180度。其他公理和公設及概念不變。

黎曼和羅巴切夫斯基通過對第五公設的改動，均得到了自己完善的幾何體系。起初他們的成就并沒有得到公眾的認可，甚至遭到攻擊，但隨著歷史的進步，逐漸為世人所承認?，F(xiàn)今，人們普遍認為，非歐幾里德幾何對現(xiàn)實空間的描述，要比《原本》好得多。如是，不能將《原本》作為絕對的真理教給學生。普遍觀點，《原本》是一部內部完善的幾何學公理演繹體系，由于結構嚴謹，直觀明了并易于接受，所以許多國家依舊將其作為培養(yǎng)學生邏輯思維和數(shù)學能力的良好素材。

(作者單位：大興安嶺進修學校)

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