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        數(shù)形結(jié)合思想熱點(diǎn)應(yīng)用舉例

        2012-08-27 02:41:54河南省汝州市第一高級(jí)中學(xué)王二品
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年3期
        關(guān)鍵詞:直觀性代數(shù)數(shù)形

        ☉河南省汝州市第一高級(jí)中學(xué) 王二品

        所謂數(shù)形結(jié)合思想,簡(jiǎn)而言之就是代數(shù)問(wèn)題幾何化、幾何問(wèn)題代數(shù)化,充分利用圖形的直觀性和代數(shù)推理的合理性、嚴(yán)密性研究問(wèn)題.數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)重要方面,在研究過(guò)程中,數(shù)形結(jié)合既是一種重要的數(shù)學(xué)思想,又是一種常用的數(shù)學(xué)方法.數(shù)形結(jié)合是歷屆高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn).數(shù)形結(jié)合包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面,其中“以形助數(shù)”是其主要方面,其方法的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件和探求目標(biāo),聯(lián)想或構(gòu)造出一個(gè)恰當(dāng)?shù)膱D形,利用圖形探求解題途徑.對(duì)于填空題可以簡(jiǎn)捷地直接獲得問(wèn)題的結(jié)果,對(duì)于解答題要重視數(shù)形轉(zhuǎn)換的等價(jià)性論述,避免利用圖形的直觀性代替邏輯推理得到結(jié)果.“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微”,利用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以深刻揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).函數(shù)的圖像、方程表示的曲線、集合中的韋恩圖或數(shù)軸表示等,是“以形示數(shù)”,而解析幾何中的方程、斜率、距離公式、向量的坐標(biāo)表示等則是“以數(shù)助形”,還有導(dǎo)數(shù)更是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物,這些都為我們提供了“數(shù)形結(jié)合”的知識(shí)平臺(tái).下面舉例說(shuō)明數(shù)形結(jié)合思想的熱點(diǎn)應(yīng)用.

        一、在集合中的應(yīng)用

        二、數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用

        函數(shù)的圖像是函數(shù)關(guān)系的一種表示,它是從“形”的方面刻畫(huà)函數(shù)的變化規(guī)律.函數(shù)圖像形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì),為研究數(shù)量關(guān)系問(wèn)題提供了“形”的直觀性,它是探究解題途徑、獲得問(wèn)題結(jié)果的重要工具.函數(shù)圖像和解析式是函數(shù)關(guān)系的主要表現(xiàn)形式,實(shí)質(zhì)是相同的,在解題時(shí)經(jīng)常要互相轉(zhuǎn)化,尤其是在處理較為煩瑣的問(wèn)題時(shí),要充分發(fā)揮圖像的直觀作用.

        三、數(shù)形結(jié)合在向量中的應(yīng)用

        向量作為數(shù)學(xué)的一個(gè)基本概念,成了溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的工具.由于既有代數(shù)表示,也有幾何表示,成為了數(shù)形結(jié)合的重要載體.

        四、數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用

        解析幾何主要研究的是圖形的特征以及圖像間的位置關(guān)系.初中是直接運(yùn)用定理進(jìn)行證明研究,高中則是通過(guò)建立直角坐標(biāo)系,用點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線的方程,通過(guò)代數(shù)方法來(lái)計(jì)算圖形的特征和位置關(guān)系等問(wèn)題,其本質(zhì)原因是高中階段對(duì)幾何問(wèn)題的研究牽涉具體的長(zhǎng)度、角度、面積等,故需要用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題.

        例4 (2011年江西)若曲線C1:x2+y2-2x=0與曲線C2:y(ymx-m)=0有四個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ).

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