楊熙齡

讀莫紹揆的通俗數(shù)理邏輯著作

說數(shù)理邏輯這門學(xué)問“切實(shí)”，大家都信，因?yàn)閿?shù)理邏輯在電子數(shù)字計(jì)算機(jī)方面有重大的應(yīng)用，而且它也是被恩格斯稱為“日用器具”的形式邏輯概念和方法的精密化和最新發(fā)展形態(tài)。但是過去往往被一部分人認(rèn)為很簡(jiǎn)單而置諸腦后的形式邏輯，現(xiàn)在竟發(fā)展到如此復(fù)雜豐富的地步，它已蒙上了一層“艱深”的幕布。中文的入門書，六十年代就有，如我國(guó)著名數(shù)學(xué)家莫紹揆教授的《數(shù)理邏輯導(dǎo)論》。不過，用通俗的語言來向廣大讀者介紹數(shù)理邏輯這門新興學(xué)科的書，卻最近才見到，那就是莫先生的下列三部新著：一、《數(shù)理邏輯初步》；二、《數(shù)理邏輯漫談》；三、《邏輯代數(shù)初步》。(以下分別簡(jiǎn)稱《初步》、《漫談》、《代數(shù)》)

這三部書揭開了數(shù)理邏輯的面幕，使一般讀者(只需要具備一點(diǎn)形式邏輯和數(shù)學(xué)常識(shí))能扼要而相當(dāng)精確地了解數(shù)理邏輯的概貌?？苛四壬膭谧?，人們對(duì)于這門艱深的學(xué)問，也許敢于問津了。

這里自無法詳述三部書的內(nèi)容，就初步談?wù)劇冻醪健?，漫談一下《漫談》罷。

值得特別提出的是，著者用歷史的、發(fā)展的敘述方法來說明數(shù)理邏輯的由來及其主要內(nèi)容，不象外國(guó)某些同類著作那樣，從定義出發(fā)，無聯(lián)系地羅列這個(gè)學(xué)科所包含的各種內(nèi)容。著者采用的歷史的方法，可以說是貫穿著《初步》一書的主要部分，即該書的第一、二、三章。

著者分析了數(shù)理邏輯興起的原因，一是傳統(tǒng)邏輯的不足，在十九世紀(jì)中，人們就借助數(shù)學(xué)方法，試圖加以改進(jìn)；二是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面的研究提出了大量與邏輯有關(guān)的問題?！皵?shù)理邏輯本身就是邏輯，是傳統(tǒng)邏輯本身內(nèi)在矛盾發(fā)展的一個(gè)必然結(jié)果。”(《初步》第2頁)“近代數(shù)學(xué)出現(xiàn)以后，傳統(tǒng)邏輯之必須改造，便是昭然若揭的了?！?《初步》第8頁)“數(shù)理邏輯的發(fā)展還從各方面受到推動(dòng)力……其一，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面的推動(dòng)力?！?《漫談》第4頁)

著名德國(guó)數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家魏爾(H.Weyl)曾在他的《數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的哲學(xué)》一書中說過，“亞里士多德邏輯，基本上也是一種從數(shù)學(xué)中抽象出來的東西?！?見該書一九五○年英譯本第3頁)如果確系如此，數(shù)學(xué)的發(fā)展又促成形式邏輯的發(fā)展，也是不足為奇的了。

《初步》中說：“在人類認(rèn)識(shí)史上，離散和連續(xù)的矛盾是很重要的矛盾。人們認(rèn)識(shí)外界事物時(shí)既到處看見離散的東西(可以一個(gè)一個(gè)地計(jì)數(shù)的)，又到處看見連續(xù)的東西。數(shù)理邏輯可以說是離散數(shù)學(xué)的一個(gè)主要內(nèi)容。……從離散方面考察時(shí)，便和數(shù)理邏輯結(jié)下不解之緣了”(《初步》第150頁)。

形式邏輯的特點(diǎn)之一，在我看來，就是在于處理固定的、“凝結(jié)的”和“離散的”概念。被馬克思稱為“我們的哲學(xué)家”的制革工人哲學(xué)家約·狄慈根曾用通俗的語言，就形式邏輯的特點(diǎn)，說過：“……我們對(duì)自然實(shí)體的個(gè)別分子或現(xiàn)象形成的固定概念，我們則把它當(dāng)作說明自然的必要手段……”，又說：“凝結(jié)的概念這種邏輯的日常使用應(yīng)當(dāng)而且必然會(huì)擴(kuò)展至整個(gè)科學(xué)的領(lǐng)域?！瑫r(shí)注意到事物不僅是自同而凝結(jié)的，而且也在變化流動(dòng)，是十分有益的。這是一個(gè)矛盾，但并非沒有意義。這個(gè)矛盾迷惑了一般有思想的人，對(duì)于哲學(xué)家也起了大得驚人的影響。”(見一九七八年三聯(lián)新版、楊東莼先生譯《狄慈根哲學(xué)著作選集》第345、343頁，著重點(diǎn)是引者所加。)

狄慈根的話說得很清楚，宇宙間的一切都是互相連續(xù)的，“樹葉是樹的屬性，樹是地球的屬性，地球是宇宙的屬性?！?見上引書第34頁)但我們又必須分清樹葉是樹葉，樹是樹，地球是地球，宇宙是宇宙，不能不用固定的、凝結(jié)的、離散的概念來表述這個(gè)本來就是統(tǒng)一成一體的宇宙，否則混沌一片，什么事也做不成了。但是“云”不但會(huì)變成雨落下，也是和水、和地球連在一起的；“花”不但會(huì)結(jié)出果實(shí)，也和種籽、土壤、陽光連在一起的；“謊話”如果說者自己承認(rèn)是“謊話”，就成為真話，而且象狄慈根所說，“一切謊言，都是真正的謊言……”(上引書第347頁)。又如“否定”這個(gè)概念，如硬把它同“肯定”這個(gè)概念一刀切開之后，也會(huì)變成一種“肯定”?！拔业囊庖娛欠穸ǖ摹保@不是一種“肯定”又是什么？黑格爾說過，有多少概念，就有多少“二律背反”(即矛盾)，就是說概念總是包含著正反兩個(gè)方面。連續(xù)與離散這對(duì)概念當(dāng)然也是如此。即使三個(gè)蘋果，看來是離散的，但作為蘋果這一概念的體現(xiàn)，也有人認(rèn)為是連續(xù)的。形式邏輯和數(shù)學(xué)既必須而又必然運(yùn)用固定概念，因此自然會(huì)遇到一些難題，狄慈根仿佛預(yù)見到了本世紀(jì)初以來形式邏輯遇到的一些困難，也仿佛預(yù)見到了本世紀(jì)中葉以來關(guān)于形式邏輯和辯證邏輯之間關(guān)系的爭(zhēng)論似的。但這些話，是“漫談的漫談”，并不是莫紹揆先生書中說的。說錯(cuò)了，與被介紹的書無關(guān)。許多有關(guān)形式邏輯和辯證法關(guān)系的問題，至今沒有論定。但莫先生的書，在理解形式邏輯的實(shí)質(zhì)方面給了我們切實(shí)的幫助，則是無疑的。

言歸正傳。作為今天數(shù)理邏輯的基本部分之一的“布爾代數(shù)”(即邏輯代數(shù))就是為了使傳統(tǒng)邏輯精密化，以適應(yīng)數(shù)學(xué)的大發(fā)展而較早產(chǎn)生的。莫先生在《代數(shù)》中說：“從前人們都想把傳統(tǒng)邏輯改革，一直沒有很好的結(jié)果，都是由于人們注重內(nèi)涵的緣故，從布爾開始強(qiáng)調(diào)外延，即把一概念的外延，即集合，作為專門研究的對(duì)象，不再拘泥于其內(nèi)涵是否相同，于是才出現(xiàn)布爾代數(shù)，才使數(shù)理邏輯進(jìn)入一個(gè)新的轉(zhuǎn)折點(diǎn)?！?見《代數(shù)》第6頁)

的確，布爾代數(shù)是一種新邏輯，布爾用一套符號(hào)(代表“并且”、“或者”、“非”等)和規(guī)則，把傳統(tǒng)邏輯全部捉住而且恢恢乎游刃有余；但布爾代數(shù)有一個(gè)大弱點(diǎn)，莫先生說，那就是：作為一個(gè)抽象數(shù)學(xué)系統(tǒng)來說，布爾代數(shù)是無可指責(zé)的，而作為邏輯系統(tǒng)而論，卻有一個(gè)致命的缺點(diǎn)，即實(shí)際上是“承認(rèn)了邏輯推理以后再討論邏輯推理。”(《漫談》第2頁)這是一個(gè)“惡性循環(huán)”。

這個(gè)難題后來由弗雷格解決了。弗氏指出，可以不使用日常邏輯推理，只根據(jù)一些極簡(jiǎn)單的、機(jī)械的規(guī)則就可以了。這就避免了上述“惡性循環(huán)”。但布爾代數(shù)只相當(dāng)于邏輯演算中的命題演算部分，有許多數(shù)學(xué)上的推理仍不能靠這種邏輯來解決。弗雷格引進(jìn)了量詞(“所有”、“有些”)，“量詞的引入和研究，是數(shù)理邏輯發(fā)展史上一個(gè)重大事件，其重要性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過布爾代數(shù)的創(chuàng)立?！?《初步》第18頁)至此，數(shù)理邏輯中所使用的符號(hào)體系已屬完備，它能把一切數(shù)學(xué)公式表達(dá)出來。弗雷格完備地發(fā)展了命題演算，又幾乎很完備地發(fā)展了謂詞演算。

在《初步》中，著者接著有條不紊地?cái)⑹隽舜俪蓴?shù)理邏輯興起的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上來自兩個(gè)方面的一個(gè)原因。一方面是“非歐幾何帶來的問題”。非歐幾何的發(fā)展必然提出證明這種新幾何“不矛盾”的要求。問題結(jié)果歸結(jié)到實(shí)數(shù)論有無矛盾。這里，恐怕需要多少談?wù)劇皩?shí)數(shù)”等數(shù)學(xué)概念。所謂“實(shí)數(shù)”是相對(duì)于“虛數(shù)”而言的。實(shí)數(shù)就是“有理數(shù)”和“無理數(shù)”的統(tǒng)稱。實(shí)數(shù)和虛數(shù)又統(tǒng)稱為“復(fù)數(shù)”。任何一個(gè)“有理數(shù)”總可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比的形式，它或者是包括整數(shù)在內(nèi)的有限小數(shù)，或者是“無限循環(huán)小數(shù)”，如化成小數(shù)，就是“無限循環(huán)”的，寫成小數(shù)，那就是0.142857142857……至于“無理數(shù)”卻是“無限不循環(huán)小數(shù)”，如圓周率π＝3.14159…＝1.414213……。在一條線段上(數(shù)學(xué)上叫做“數(shù)軸”)，有理數(shù)具有“稠密性”，即每一個(gè)有理數(shù)在這條線段上有一個(gè)確定的“有理點(diǎn)”，但“有理點(diǎn)”并沒有布滿整個(gè)數(shù)軸，還存在“空隙”。與無理數(shù)相對(duì)應(yīng)的“無理點(diǎn)”則填滿了這些“空隙”。所以如果說有理數(shù)是“離散”的，“實(shí)數(shù)”就是“連續(xù)”的了?！皩?shí)數(shù)集”又叫做“連續(xù)統(tǒng)”，這個(gè)“連續(xù)統(tǒng)”(一條線段)上有多少“點(diǎn)”(數(shù)學(xué)點(diǎn))的問題，造成了極大的麻煩，至今沒有解決。以上是關(guān)于“實(shí)數(shù)”的粗略說明，至于“非歐幾何學(xué)”、微積分學(xué)中的“極限”概念等等，莫先生書中有一些說明，本文沒有篇幅來一一說明了。

另一方面，是存在了幾百年的微積分基礎(chǔ)理論問題。因?yàn)椤皹O限論”是微積分理論的命根子，而命根子的命根子則是“有界單調(diào)的數(shù)列必有極限?！边@個(gè)性質(zhì)何從推導(dǎo)出來呢？狄德金和康托二人重新給實(shí)數(shù)下定義，純邏輯地、不依靠任何幾何直覺而把極限的上述性質(zhì)或命題推導(dǎo)了出來。但是，結(jié)果同樣是“只要實(shí)數(shù)論沒有矛盾，微積分學(xué)也沒有矛盾”，和非歐幾何問題最后歸結(jié)到“實(shí)數(shù)論”一樣。

“狄德金把實(shí)數(shù)定義為有理數(shù)的分劃，實(shí)質(zhì)上是有理數(shù)的(無窮)集合，更進(jìn)一步可以說是自然數(shù)的(無窮)集合，康托則把實(shí)數(shù)定義為正規(guī)有理數(shù)數(shù)列，實(shí)質(zhì)上仍可以化歸于自然數(shù)的(無窮)集合。實(shí)數(shù)論上的命題既可表示成自然數(shù)的集合的命題，如果實(shí)數(shù)論出現(xiàn)矛盾，勢(shì)必在自然數(shù)論和集合論上出現(xiàn)矛盾?！?《初步》第26頁)“實(shí)數(shù)論的相容性(即無矛盾性)已還原到自然數(shù)論和集合論的相容性，由于狄德金和弗雷格等人的研究，自然數(shù)論的相容性又還原到集合論的相容性?！?《初步》第31頁)因此，集合論的無矛盾性成了整個(gè)數(shù)學(xué)無矛盾性的支柱了。

但是，出乎意料，集合論中出現(xiàn)了矛盾，即悖論！

集合論怎么會(huì)自相矛盾的呢？

我們從《初步》中引兩條悖論看看，就明白了：

“我們?cè)嚢岩磺屑戏殖蓛深?。自己為自己的元素者作為甲類，自己不是自己的元素的作為乙類?！F(xiàn)在我們要問：集合乙究竟是甲類還是乙類？如果它為甲類，……，‘乙類屬于甲類，即乙應(yīng)屬于乙類，不可能；如果它為乙類，由‘乙屬于乙可得非‘乙屬于乙(因上邊規(guī)定乙類是自己不屬于自己的一類集合)，所以無論集合乙屬于甲類或?qū)儆谝翌?，都?huì)導(dǎo)致矛盾。這便是有名的羅素悖論……給數(shù)學(xué)界帶來了極大的震動(dòng)?！?見《初步》第33—34頁，因排印困難，引文省去了符號(hào)，精確表述請(qǐng)閱原書。)

羅素為了把這個(gè)矛盾即悖論通俗化起見，曾說了一個(gè)有名的“理發(fā)師悖論”。中古時(shí)代某個(gè)小村只有一個(gè)理發(fā)師，他自己約定：只替不給自己刮胡子的人刮胡子，那么，他自己怎么辦？如果給自己刮了，那么，依他自己的約定：不該刮。反之，不給自己刮呢，依照約定，又須給自己刮。當(dāng)然，有些人認(rèn)為這不能算作悖論，因?yàn)榭梢詻]有這樣的理發(fā)師，或者如莫先生書中說“該理發(fā)匠作了一個(gè)無法執(zhí)行的約定”。不過，這個(gè)“悖論”原是用來作比方的?！傲_素悖論”卻是大家都承認(rèn)，“因?yàn)樵跀?shù)學(xué)中人們經(jīng)常使用下列的過程：任給一個(gè)條件，滿足這個(gè)條件的一切個(gè)體必組成一個(gè)集合。只要承認(rèn)這個(gè)過程，那么羅素悖論便會(huì)發(fā)生。如果不承認(rèn)這個(gè)過程，數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的方法便須更改，而這將導(dǎo)致巨大影響。為著解決這些真正的悖論，于是便大大促進(jìn)數(shù)理邏輯的發(fā)展。”(《初步》第35頁)

所以，悖論是個(gè)十分重要的問題。莫先生在悖論研究方面曾作出重要貢獻(xiàn)。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家徐利治教授最近在一篇和朱梧等四位數(shù)學(xué)家合著的論文《悖論與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題》中指出：“在二十世紀(jì)的今天來討論和研究悖論問題，首先應(yīng)該把十八世紀(jì)以前那種認(rèn)為悖論只是茶余酒后的閑談的陳舊看法掃除，否則只能說明他對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)理哲學(xué)的近代發(fā)展視而不見?！睂?duì)于邏輯學(xué)來說，悖論的重要性我看也如此。

再說《初步》一書，此書到了第二章《數(shù)理邏輯的主要內(nèi)容》，就象水到渠成一樣，可以清楚看到為什么目前數(shù)理邏輯會(huì)有這些部分的——即公理集合論、證明論、遞歸函數(shù)論、模型論。這四個(gè)部分都不是從天上掉下來的，而是與第一章中所述邏輯演算的演變史同時(shí)或接著有聯(lián)系地必然產(chǎn)生的。

公理集合論和證明論，著者說，和邏輯演算同時(shí)成熟，遞歸論和模型論則是邏輯演算本身成熟以后開始發(fā)展。著者接著上章關(guān)于集合論悖論的出現(xiàn)，說明了至此人們“只能”做兩件事：建立公理集合論和證明論。人們建立公理集合論，“完全是由于集合論悖論的出現(xiàn)?！钡薷暮蟮募险摚鼙ＷC無矛盾嗎？因此要搞證明論。希爾伯特提出一套規(guī)劃，企圖達(dá)到直接證明數(shù)學(xué)理論的無矛盾性。但希爾伯特規(guī)劃中有個(gè)大問題：從事數(shù)學(xué)理論的無矛盾性證明，而數(shù)學(xué)是否無矛盾，邏輯規(guī)律是否無矛盾都還在檢查之中，又怎能無條件使用這些工具呢？，一九三一年哥德爾證明了：“在理論A內(nèi)部無法證明理論A的不矛盾性，因此，如果只承認(rèn)理論A的一部分乃至全部，如果不多承認(rèn)理論A以外的一些推理方式，是無法證明理論A的不矛盾性的?！?《漫談》第28頁)這有點(diǎn)象：“不見廬山真面目，只緣身在此山中?！毕Ｊ显瓉淼摹耙?guī)劃”，“只能宣告失敗”。

人們想別的出路，有沒有別的新推理方法可容許使用呢？《初步》中說，結(jié)果之一便得出“能行性理論”，即“遞歸函數(shù)論”。但“能行性理論主要是在自然數(shù)論上獲得優(yōu)良的結(jié)果，遞歸函數(shù)論……可以說是有關(guān)自然數(shù)的能行性理論”，“今天，在使用電子數(shù)字計(jì)算機(jī)時(shí)，必須根據(jù)近似計(jì)算把問題的答案……化成算術(shù)四則問題，然后才能叫電子數(shù)字計(jì)算機(jī)加以計(jì)算?！睘槭裁茨兀俊半娮訑?shù)字計(jì)算機(jī)只能處理能行的問題，而目前只是對(duì)于自然數(shù)才有能行性理論”，對(duì)實(shí)數(shù)(例如)“則幾乎是沒有”。目前“沒有關(guān)于極限運(yùn)算的能行性理論，因此電子數(shù)字計(jì)算機(jī)就不能直接處理數(shù)學(xué)分析的問題?！爆F(xiàn)在的電子計(jì)算機(jī)“只懂有理數(shù)而不懂得無理數(shù)。這就象一個(gè)人只有小學(xué)生水平一樣。”(《漫談》第32—33頁)那么，能行性問題，來源于證明論的研究，而仍有待于發(fā)展。魏爾說過：“……‘所有和‘有些二者的意義，包含著一個(gè)極深?yuàn)W的、涉及數(shù)學(xué)核心的問題，即無限的秘密?！?見上引魏爾書第14頁)《漫談》一書第30頁上，就談到量詞(“所有”和“有些”)引起的有關(guān)能行和非能行的問題。模型論也是由證明論發(fā)展而來的。而“非標(biāo)準(zhǔn)模型”的發(fā)現(xiàn)，也許可說是一個(gè)“喜出望外”的收獲。

《初步》第三章《關(guān)于數(shù)理邏輯的三大派》，實(shí)際上也采取歷史的、客觀的敘述方法，著者對(duì)各派的評(píng)論都較公允，是很有意義的一章。另外，著者為一般讀者著想，同時(shí)也為了澄清數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)上一些基本概念的混亂，特別是在第四章中闡明了“記號(hào)與符號(hào)”、“變?cè)薄ⅰ昂瘮?shù)與約束詞”等等。記得大概又是那位愛談?wù)軐W(xué)的數(shù)學(xué)家赫·魏爾說過：“函數(shù)”是什么？誰也說不清楚。那么，莫先生在《初步》等書中是把函數(shù)概念解說得很清楚的。

總之，數(shù)理邏輯興起以來，為了證明實(shí)數(shù)論的無矛盾，卻出現(xiàn)了集合論的矛盾，證明論中又遇到矛盾(連最早的布爾代數(shù)作為邏輯系統(tǒng)而論的那個(gè)自己推導(dǎo)自己的“惡性循環(huán)”也許也可看作矛盾)。而這些矛盾，大多是好事，推動(dòng)了這門學(xué)問的發(fā)展，而其發(fā)展又是如此出乎人們的意料，因此題目上用的“奇妙”一語，或許還能說得過去吧。

上述關(guān)于三本書的介紹實(shí)在只能說是“舉隅”或者漫談，因?yàn)檫@三本書中的內(nèi)容是豐富多彩的，著者莫紹揆先生在用通俗的語言向讀者介紹這門“艱深”學(xué)問的同時(shí)，也提出了許多獨(dú)創(chuàng)的見解，例如他對(duì)“謂詞”和“集合”關(guān)系的看法、運(yùn)用數(shù)理邏輯的觀點(diǎn)分析并整理《墨子·小取篇》的基本概念及其邏輯體系等等，這兒就不可能介紹了。

魯迅先生曾說過，學(xué)文的人，不妨也看點(diǎn)自然科學(xué)方面的書。而數(shù)理邏輯則是一門既是邏輯、又是數(shù)學(xué)的“邊緣科學(xué)”?，F(xiàn)在介紹大家讀莫先生書：“開卷有益”。但是，我得聲明在先，有益是有益，象《初步》里的邏輯演算和《代數(shù)》一書的大部分篇幅中，是有著不少符號(hào)的，不過讀時(shí)細(xì)心些，也就不難領(lǐng)會(huì)，可是終不會(huì)象讀前些時(shí)候流行過的什么推理小說那樣“有趣”。它們是使人上進(jìn)的書。

附記：《初步》一書第121頁上，倒數(shù)第12行：‘上海是兩個(gè)中國(guó)字再加上一對(duì)單引號(hào)；這句話中‘上海應(yīng)更正為“上?！保幌乱恍小吧虾！?，則應(yīng)更正為‘‘‘上海。莫先生對(duì)許多人說過，這個(gè)誤植會(huì)使上下文不通?，F(xiàn)再代為更正如上。

(《數(shù)理邏輯初步》，上海人民出版社一九八○年八月第一版，0.45元；《數(shù)理邏輯漫談》，山東科技出版社一九八○年八月第一版，0.23元；《邏輯代數(shù)初步》，江蘇人民出版社一九八○年五月第一版，0.42元)