運(yùn)算律是代數(shù)學(xué)的基石，也是小學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一。現(xiàn)行各版本小學(xué)數(shù)學(xué)教材一般把運(yùn)算律的內(nèi)容安排在四年級集中學(xué)習(xí)。然而，學(xué)生對運(yùn)算律的認(rèn)知與理解不是一蹴而就的，而是循序漸進(jìn)的。本文基于北師大版教材內(nèi)容和大單元教學(xué)理念，以乘法分配律為例，探討二至六年級運(yùn)算律學(xué)習(xí)進(jìn)階路徑的設(shè)計(jì)，旨在通過直觀感知、模型建構(gòu)、模式化、解釋應(yīng)用四個(gè)遞進(jìn)的學(xué)習(xí)階段，幫助學(xué)生從形成具象經(jīng)驗(yàn)逐步邁向形式化理解，最終構(gòu)建對運(yùn)算律的整體認(rèn)知。

直觀感知階段：以“分與合”滲透分配思想

直觀感知階段指學(xué)生在二年級初步認(rèn)識乘法的意義后，學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘一位數(shù)之前的階段。學(xué)生對乘法分配律的直觀感知始于第一學(xué)段教學(xué)中學(xué)生對乘法意義的理解，該階段的主要任務(wù)是滲透分配思想，即引導(dǎo)學(xué)生從乘法的意義出發(fā)，通過操作活動(dòng)直觀認(rèn)識乘法計(jì)算的“分與合”。

如在二年級上冊《有多少張貼畫》教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過圈一圈點(diǎn)子圖，自主探索 6×7 的乘法口訣。學(xué)生通過圈畫的方式拆分點(diǎn)子圖，得到計(jì)算結(jié)果。教師對比呈現(xiàn)用 6×5+6×2 和 6×4+6×3 兩種拆分思路推算出 6×7 結(jié)果的學(xué)生作品，引導(dǎo)學(xué)生說明推算方法，并用類似的方法再圈一圈，演示其他計(jì)算6×7 的方法，從而清晰地看到計(jì)算7個(gè)6是多少，可以用5個(gè)6加2個(gè)6得出，也可以用4個(gè)6加3個(gè)6得出，還可以用6個(gè)6加1個(gè)6得出，初步感知乘法計(jì)算可以將其中一個(gè)因數(shù)拆分成兩部分，兩部分分別與另一個(gè)因數(shù)相乘后再把結(jié)果相加。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生用“幾個(gè)幾加幾個(gè)幾等于幾個(gè)幾\"描述分步計(jì)算過程。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生用算式表示幾種拆分計(jì)算方法，即 6×7=6×5+6×2，6×7=6×4+6×3，6×7=6×6+6×1 對比發(fā)現(xiàn)它們的異同，體會(huì)乘法計(jì)算拆分方式的多樣性與結(jié)果的一致性。由此，學(xué)生直觀感知到乘法中的分配思想。

模型建構(gòu)階段：從實(shí)物到圖形的多元表征

模型建構(gòu)階段指學(xué)生在三、四年級理解了乘法的意義之后，正式學(xué)習(xí)乘法分配律之前的階段。這個(gè)階段，學(xué)生對乘法分配律的認(rèn)識應(yīng)是“用而不述”[劉加霞，《教學(xué)月刊（小學(xué)版）》2023年第12期]，即學(xué)生可以通過直觀操作解釋計(jì)算的道理，但不必言明計(jì)算用到的是乘法分配律。史寧中教授曾指出，豎式表達(dá)的是算法，橫式表達(dá)的才是算理，算法是通過算理得到的。因此，在這個(gè)階段的教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生借助點(diǎn)子圖、面積模型等多樣化模型解釋乘法分配律的算理，用橫式表達(dá)相應(yīng)的計(jì)算過程，并在說理中體會(huì)乘法如何通過“分與合\"實(shí)現(xiàn)等值變形，從而建立乘法分配律模型表象，為正式學(xué)習(xí)乘法分配律積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

在三年級上冊《需要多少錢》教學(xué)中，教師先呈現(xiàn)問題：“一個(gè)游泳圈12元，3個(gè)游泳圈多少元？”有的學(xué)生根據(jù)加法的意義列出算式 12+12+12 ，有的學(xué)生根據(jù)乘法的意義列出算式 12×3 。如何計(jì)算 12×3 呢？教師引導(dǎo)學(xué)生依托生活經(jīng)驗(yàn)，用人民幣模型將12元拆分為10元和2元，分別計(jì)算出3個(gè)10是多少和3個(gè)2是多少，再把兩個(gè)得數(shù)相加得到最終結(jié)果，從而直觀感知“整體拆分為部分，部分之和等于整體”。然后，教師要求學(xué)生把操作人民幣模型計(jì)算的過程用橫式表達(dá)出來。學(xué)生列出橫式“ 10×3=30，2× _{3=6，30+6=36} 后，教師讓他們對比橫式計(jì)算結(jié)果和12+12+12 的結(jié)果，感知結(jié)果的一致性。最后，教師用等號連接學(xué)生所列算式，形成 12×3=10×3+2×3 ，幫助他們直觀理解乘法分配律的等值變形特征。又如，在三年級下冊《隊(duì)列表演（二）》教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用點(diǎn)子圖表征14列12行的點(diǎn)子數(shù)，用不同顏色標(biāo)記 14×2 （上2行）和 14×10 （下10行），直觀呈現(xiàn)“部分”與“整體\"的關(guān)系，并將圈畫點(diǎn)子圖計(jì)算的步驟分別與橫式計(jì)算步驟和豎式計(jì)算步驟對應(yīng)，銜接算理與算法，重點(diǎn)體會(huì)豎式中“分步乘加\"與點(diǎn)子圖中“分與合\"以及橫式中“分與合\"的一致性，明確這些做法都能實(shí)現(xiàn)等值變形，建構(gòu)對乘法分配律特征的認(rèn)知。

模式化階段：從直觀模型到抽象概括

模式化階段指學(xué)生在四年級正式學(xué)習(xí)乘法分配律的階段。由于小學(xué)階段的教學(xué)不要求對乘法分配律進(jìn)行嚴(yán)格證明，所以模式化階段的主要任務(wù)指向經(jīng)歷數(shù)學(xué)現(xiàn)象的觀察、共性規(guī)律的概括和用符號表達(dá)規(guī)律的學(xué)習(xí)過程，旨在幫助學(xué)生認(rèn)識這類計(jì)算所依據(jù)的一般規(guī)律。

在學(xué)習(xí)四年級上冊乘法分配律之初，教師創(chuàng)設(shè)問題情境：“有兩面互相垂直的墻面，工人要在靠近交接線的區(qū)域貼瓷磚，要求是在交接線左邊每行貼4塊、右邊每行貼6塊，共貼8行，其中上面3行為白色瓷磚，下面5行為藍(lán)色瓷磚。一共貼了多少塊瓷磚？\"學(xué)生讀題，提取數(shù)學(xué)信息后，教師引導(dǎo)他們將問題去背景化，抽象成面積模型，如繪制長10厘米、寬8厘米的長方形，將其分割成規(guī)格為 3×10 和 5×10 的兩個(gè)小長方形，通過面積守恒理解等式 （3+5）×10= 3×10+5×10 。然后，教師引入變量，將面積模型中的具體數(shù)字替換為字母，如將8厘米（3厘米 +5 厘米）替換為 （a+b） ），將10厘米替換為 ，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)大長方形與兩個(gè)小長方形的面積關(guān)系得出 （a+b）× c=a×c+b×c 。

從面積關(guān)系得到乘法分配律的雛形后，教師還需要引導(dǎo)學(xué)生舍棄面積背景，讓認(rèn)知水平走向一般化。為此，教師從算式入手，引導(dǎo)學(xué)生探究。例如，先通過“ （4+6）×8=4×8+6×8^9×4（3+5）×10=3×10+5×10³ 中等實(shí)例，歸納其中蘊(yùn)含的運(yùn)算規(guī)律，再用自然語言概括規(guī)律，形成“兩個(gè)數(shù)的和乘一個(gè)數(shù)，等于這兩個(gè)數(shù)分別乘這個(gè)數(shù)再相加”的認(rèn)識，最后用字母表達(dá)這個(gè)規(guī)律，得出 （a+b）×c=a×c+b×c ，并討論字母的取值范圍。教學(xué)中，教師還可以通過反向驗(yàn)證活動(dòng)鞏固學(xué)生已有認(rèn)知，如給出 a=5 ， b=3 ， c=4 ，讓學(xué)生分別計(jì)算 （a+b）×c 和 a×c+b×c 的結(jié)果，從而驗(yàn)證等式成立。此外，教師應(yīng)注意易混淆點(diǎn)的辨析，引導(dǎo)學(xué)生對比乘法分配律與結(jié)合律，通過實(shí)例說明兩者的差異。

解釋應(yīng)用階段：基于算理重述整體認(rèn)知運(yùn)算律

解釋應(yīng)用階段指學(xué)生學(xué)習(xí)乘法分配律之后至初中學(xué)習(xí)有理數(shù)運(yùn)算之前的階段。這個(gè)階段的主要任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生用乘法分配律解釋各種運(yùn)算的算理，體會(huì)乘法分配律在運(yùn)算中的普適性，為后續(xù)在更廣的范圍內(nèi)運(yùn)用乘法分配律解決問題奠基。

在六年級總復(fù)習(xí)階段，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算律的視角解釋算理。如，先用面積模型解釋計(jì)算15×13 的道理，即把 15×13 分解為 15×3+15×10 后，進(jìn)一步拆解為 （10+5）×3+（10+5）×10. ，對照豎式說明其中每一步的意義；再用橫式表示拆分的每一步，即15×13=15×3+15×10=（10+5）×3+（10+5）×10=（10×3+15）×10=（10×3+（10×3）×3） 5×3）+（10×10+5×10）=45+150=195 。教師還可以要求學(xué)生解釋計(jì)算 的道理：先依據(jù)分?jǐn)?shù)的意義（20號和分?jǐn)?shù)乘法的意義，說明 表示把3個(gè) 和2個(gè) 合起來，結(jié)果是5個(gè) ，算式為 （3+2），然后從運(yùn)算律的角度推理，得到相同的等式，從而感受同分母分?jǐn)?shù)加法計(jì)算中有乘法分配律。對于異分母分?jǐn)?shù)加法，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助異分母分?jǐn)?shù)加法要轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)加法計(jì)算的已有認(rèn)知，體會(huì)分?jǐn)?shù)加法計(jì)算中都有乘法分配律。在這個(gè)過程中，學(xué)生能體會(huì)到乘法分配律適用于分?jǐn)?shù)運(yùn)算。在此基礎(chǔ)上，教師可以讓學(xué)生解決\"一年級女生有 α_a 人，男生人數(shù)是女生的1.2倍，一年級共有多少人？”的問題，從乘法的意義和乘法分配律兩個(gè)視角解釋 a+1.2a=（1+1.2）a=2.2a 的道理，從而體會(huì)乘法分配律在含有字母的小數(shù)乘法中同樣適用。

（作者單位：潛江市田家炳實(shí)驗(yàn)小學(xué)）