“圓柱與圓錐”是小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何\"領(lǐng)域的重要內(nèi)容。本文以“圖紙”為教學(xué)主線，通過(guò)“設(shè)計(jì)平面圖紙 $$ 制作立體圖形”和“變換平面圖形 $$ 構(gòu)建立體圖形\"兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生深度探究圓柱與圓錐的表面積及體積，發(fā)展空間觀念，提高實(shí)踐能力。

一、設(shè)計(jì)平面圖紙，制作立體圖形

教學(xué)中，教師通過(guò)設(shè)計(jì)平面圖紙、制作立體圖形，把學(xué)生腦海中的圓柱與圓錐一步步變成有形的、真實(shí)的立體圖形，讓學(xué)生真切地觸摸到圓柱與圓錐的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

1.分解、繪圖、合成，再認(rèn)圓柱

課堂中，教師讓每名學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備的同樣的紙質(zhì)圓柱模型，并引導(dǎo)：“沿不同路徑剪裁圓柱側(cè)面，其側(cè)面展開(kāi)圖形狀如何？\"學(xué)生動(dòng)手操作，有的沿高剪，得到矩形；有的斜著剪，得到平行四邊形；還有的沿曲線剪，得到不規(guī)則圖形。隨后，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比不同展開(kāi)方式所得圖形，通過(guò)進(jìn)一步剪拼發(fā)現(xiàn)三種形狀的側(cè)面展開(kāi)圖均可轉(zhuǎn)化成矩形，從而直觀感知“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想。

從立體圖形到平面圖形的分解是訓(xùn)練學(xué)生的順向思維，通過(guò)平面圖形重構(gòu)立體圖形則是培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維?；诖?，教師組織學(xué)生嘗試?yán)L制圓柱設(shè)計(jì)圖，組面成體。教學(xué)中，教師先以核心問(wèn)題“任意兩個(gè)圓與矩形能否組合成圓柱？\"驅(qū)動(dòng)探究，引發(fā)學(xué)生積極討論。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，畫(huà)設(shè)計(jì)圖時(shí)只有當(dāng)?shù)酌鎴A的周長(zhǎng)等于矩形的一條邊長(zhǎng)時(shí)，才能組合成圓柱。繼而，教師提出問(wèn)題“當(dāng)圓柱側(cè)面展開(kāi)圖為正方形時(shí)如何設(shè)計(jì)？”深化學(xué)生思考。學(xué)生類(lèi)比推理得出：設(shè)計(jì)這類(lèi)圓柱時(shí)，必須保證底面圓的周長(zhǎng)等于側(cè)面正方形的邊長(zhǎng)。

在制作圓柱模型即合成環(huán)節(jié)，學(xué)生根據(jù)圓柱設(shè)計(jì)圖，把對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓形紙片和一張長(zhǎng)方形（或正方形）紙片剪下來(lái)，將長(zhǎng)方形（或正方形）紙片卷成一個(gè)圓筒，確保其一條邊的兩端精確對(duì)齊并粘貼牢固（這條邊的長(zhǎng)度決定了圓柱的高），再將兩個(gè)圓形紙片分別粘貼到卷好的圓筒兩端，確保圓形邊緣與圓筒邊緣完美對(duì)接且粘貼牢固（圓形的半徑?jīng)Q定了圓柱的底面大?。?。學(xué)生通過(guò)觀察和討論多個(gè)圓柱作品“高矮胖瘦”的差異總結(jié)規(guī)律：底面圓半徑的長(zhǎng)短決定圓柱截面大小即圓柱的“胖瘦”；側(cè)面邊的長(zhǎng)短決定圓柱的“高矮”。這一教學(xué)過(guò)程不僅直觀呈現(xiàn)了圓柱表面積計(jì)算原理，還讓學(xué)生在具象操作中建立了平面圖形與相應(yīng)立體圖形的空間對(duì)應(yīng)關(guān)系。

2.猜測(cè)、驗(yàn)證、發(fā)現(xiàn)，續(xù)學(xué)圓錐

學(xué)生在積累了關(guān)于圓柱展開(kāi)圖的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)后，研究圓錐展開(kāi)圖便水到渠成。教師引導(dǎo)：“一個(gè)圓錐由哪幾部分組成？\"學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)圓錐由一個(gè)圓形底面和一個(gè)側(cè)面組成，并基于已有操作經(jīng)驗(yàn)，想象出圓錐側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，還通過(guò)小組討論得出扇形弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)的猜想。

為引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證猜想，教師基于“圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是扇形”和“扇形弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)\"兩個(gè)假設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生小組討論以下問(wèn)題：如何設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是扇形？如何比較圓錐展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)與底面圓的周長(zhǎng)？學(xué)生初步探究并小組討論后，提出按照假設(shè)繪制圓錐平面圖并嘗試將其圍合成圓錐的驗(yàn)證辦法。教師引導(dǎo)學(xué)生共同確定繪制步驟： ① 確定扇形的半徑（如4厘米）和圓心角（如 90^° ），繪制扇形； ② 計(jì)算扇形弧長(zhǎng)（即底面圓的周長(zhǎng)）； ③ 根據(jù)底面圓的周長(zhǎng)計(jì)算其半徑，繪制底面圓形。隨后，學(xué)生剪拼圖形，制成圓錐，驗(yàn)證了假設(shè)的正確性。

為進(jìn)一步探究圓錐特性，教師用細(xì)線穿過(guò)圓錐的頂點(diǎn)與底面圓心，幫助學(xué)生明確拉直細(xì)線后頂點(diǎn)與圓心間線段的長(zhǎng)度即為圓錐的高。通過(guò)對(duì)比高與扇形的半徑，學(xué)生發(fā)現(xiàn)高短于扇形的半徑，由此引出“扇形的半徑稱(chēng)為圓錐的母線”的概念。

二、變換平面圖形，構(gòu)建立體圖形

教學(xué)中，教師可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)、疊加等操作將平面圖形轉(zhuǎn)化為立體圖形，引導(dǎo)學(xué)生觀察并描繪其形態(tài)與生成過(guò)程，進(jìn)而理解立體圖形與平面圖形的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化與能力的提升。

1.洞悉本質(zhì)，體會(huì)一個(gè)面的運(yùn)動(dòng)

教師可以組織學(xué)生動(dòng)手操作，通過(guò)快速旋轉(zhuǎn)長(zhǎng)方形、三角形硬紙板的操作活動(dòng)，結(jié)合空間想象，理解立體圖形的形成過(guò)程，感知立體圖形的體積。在探究圓柱的生成方式時(shí)，教師指導(dǎo)學(xué)生將長(zhǎng)方形紙板貼于木棍上，引導(dǎo)他們想象以長(zhǎng)或?qū)挒檩S旋轉(zhuǎn)的過(guò)程，嘗試兩種不同的貼法，進(jìn)而提出問(wèn)題：“以長(zhǎng)或?qū)挒檩S，形成的圓柱有什么不同？\"學(xué)生發(fā)現(xiàn)，以長(zhǎng)為軸旋轉(zhuǎn)形成的圓柱“高且瘦”，以寬為軸旋轉(zhuǎn)形成的圓柱“矮且胖”。隨后，教師改換視角，借助動(dòng)畫(huà)演示圓垂直平移形成圓柱的過(guò)程，揭示“同一立體圖形可由不同平面圖形通過(guò)不同運(yùn)動(dòng)方式生成”。在探究圓錐的生成方式時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生操作直角三角形紙板，觀察以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)形成圓錐的過(guò)程，通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)以不同直角邊為軸旋轉(zhuǎn)形成的圓錐形態(tài)的差異。在此基礎(chǔ)上，教師演示以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)生成“雙圓錐組合體”的過(guò)程，以拓展學(xué)生認(rèn)知。

學(xué)生理解面的運(yùn)動(dòng)能生成立體圖形后，教師可以設(shè)置透視圖繪制任務(wù)，幫助他們直觀、深入地把握平面圖形與立體圖形的關(guān)聯(lián)。教材中的立體圖形多以透視圖呈現(xiàn)，基于此，教師在教學(xué)中先展示實(shí)物，如出示一個(gè)圓柱形水杯，再出示相應(yīng)的透視圖，引導(dǎo)學(xué)生觀察，幫助他們理解實(shí)際的圓形底面在透視圖中要轉(zhuǎn)化為橢圓來(lái)呈現(xiàn)的視覺(jué)現(xiàn)象，進(jìn)而指導(dǎo)其繪制以長(zhǎng)方形不同邊為軸旋轉(zhuǎn)形成的圓柱透視圖，在透視圖中標(biāo)注原長(zhǎng)方形位置并總結(jié)關(guān)聯(lián)量之間的關(guān)系。隨后，教師提出遷移性任務(wù)一—嘗試畫(huà)出圓錐的透視圖。在學(xué)生小組合作繪制圓錐透視圖的過(guò)程中，教師重點(diǎn)引導(dǎo)他們明確旋轉(zhuǎn)軸對(duì)應(yīng)高，另一條直角邊對(duì)應(yīng)底面圓的半徑。

2.打破常規(guī)，想象多個(gè)面的疊加

教學(xué)中，教師以圓片疊加為例，引導(dǎo)學(xué)生理解“體由面累積而成”的數(shù)學(xué)本質(zhì)。教師創(chuàng)設(shè)情境：“聰聰想做一個(gè)圓柱，就用卡紙剪出很多圓片，他能做出一個(gè)圓柱嗎？\"這個(gè)問(wèn)題引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，一部分學(xué)生認(rèn)為不能，因?yàn)樽鰣A柱還需要一個(gè)長(zhǎng)方形；另一部分想象力豐富的學(xué)生認(rèn)為可以，因?yàn)楹芏鄨A片疊起來(lái)就能得到圓柱。教師及時(shí)肯定后者的想法并提問(wèn)：“如果要疊起來(lái)形成圓柱，對(duì)這些圓片有什么要求？\"學(xué)生得出圓片大小要一樣。教師進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生想象將100個(gè)、200個(gè)，甚至更多的圓片疊起來(lái)會(huì)形成什么，學(xué)生認(rèn)識(shí)到會(huì)形成更高的圓柱。

教師順勢(shì)把問(wèn)題引向圓錐：“圓錐可以由圓片疊加形成嗎？”一名學(xué)生基于剛剛獲得的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移，提出假設(shè)：“我覺(jué)得每次疊加上去的圓片比上一張小一點(diǎn)點(diǎn)，慢慢疊加，直至圓片小成一個(gè)點(diǎn)，就能形成圓錐。\"教師引導(dǎo)學(xué)生閉上眼睛想象：先放第一張圓片，再放比第一張小一點(diǎn)的第二張圓片，再放比第二張小一點(diǎn)的第三張圓片放的圓片越來(lái)越小，最后小到近似一個(gè)點(diǎn)，便形成圓錐。

最后，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)比表系統(tǒng)歸納圓柱與圓錐的異同，辨析它們的特征，強(qiáng)化知識(shí)關(guān)聯(lián)（見(jiàn)表1）。

表1圓柱與圓錐基本特征對(duì)比表

學(xué)生系統(tǒng)梳理知識(shí)脈絡(luò)，在對(duì)比圓柱與圓錐特征差異的過(guò)程中，經(jīng)歷了“觀察 $$ 比較 $$ 抽象”的完整認(rèn)知過(guò)程，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的結(jié)構(gòu)化。

（作者單位：襄陽(yáng)市東津新區(qū)漢水小學(xué)）