人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材將正方體的認(rèn)識(shí)置于五年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方體和正方體”單元。傳統(tǒng)教學(xué)中，圖形特征、展開(kāi)圖、折疊等知識(shí)的教學(xué)往往孤立進(jìn)行，導(dǎo)致學(xué)生難以建立整體認(rèn)知。本文立足大單元教學(xué)視角，以點(diǎn)、線、面、體等空間要素的關(guān)聯(lián)性為核心，整合正方體的認(rèn)識(shí)相關(guān)知識(shí)，構(gòu)建“特征感知一操作探究 $$ 動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化 $$ 遷移應(yīng)用\"的結(jié)構(gòu)化教學(xué)路徑，引導(dǎo)學(xué)生理解正方體點(diǎn)、線、面、體之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，增強(qiáng)空間觀念。

一、空間要素關(guān)聯(lián)缺失的學(xué)情歸因

根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段理論，五年級(jí)學(xué)生處于從具體運(yùn)算階段向形式運(yùn)算階段過(guò)渡的關(guān)鍵時(shí)期，雖已具備初步的分類(lèi)思想和一定的歸納能力，能通過(guò)動(dòng)手操作獲取信息，但空間想象能力較弱，深入理解立體圖形要素之間的關(guān)聯(lián)存在困難，需要借助直觀載體加以理解。通過(guò)課堂觀察及前測(cè)分析，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)正方體相關(guān)內(nèi)容時(shí)常常陷入以下困境。一是圖形特征記憶碎片化，如學(xué)生知道正方體有6個(gè)面、12條棱、8個(gè)頂點(diǎn)，但難以解釋這些要素?cái)?shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，無(wú)法解釋為何頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是棱條數(shù)的 ，同時(shí)，對(duì)于“面對(duì)一個(gè)正方體，至少能看到幾個(gè)面”等實(shí)際問(wèn)題，缺乏利用圖形特征推理的意識(shí)。二是對(duì)展開(kāi)圖認(rèn)知不系統(tǒng)，如學(xué)生雖然能識(shí)別“1-4-1型\"等正方體展開(kāi)圖，但是無(wú)法理解一個(gè)正方體為何存在11種展開(kāi)方式。三是從二維到三維的轉(zhuǎn)化有障礙，如學(xué)生在根據(jù)正方體展開(kāi)圖想象其立體形態(tài)時(shí)需要依賴實(shí)物折疊驗(yàn)證，缺乏空間推理策略，經(jīng)常出現(xiàn)面的位置錯(cuò)亂或折疊方向顛倒的問(wèn)題，反映出他們對(duì)6個(gè)面之間位置關(guān)系認(rèn)知的薄弱；反之，學(xué)生將正方體轉(zhuǎn)化為展開(kāi)圖時(shí)，難以合理“剪開(kāi)\"棱來(lái)保持面的關(guān)聯(lián)性。

學(xué)生的上述表現(xiàn)對(duì)應(yīng)折射出傳統(tǒng)教學(xué)的三方面問(wèn)題。第一，知識(shí)學(xué)習(xí)鏈斷裂。如先聚焦“6個(gè)面完全相同、12條棱長(zhǎng)度相等、8個(gè)頂點(diǎn)”等要素認(rèn)識(shí)正方體，再孤立地學(xué)習(xí)正方體的展開(kāi)圖及表面積計(jì)算等，缺乏“要素關(guān)聯(lián)\"教學(xué)主線。第二，模型支撐不足。正方體展開(kāi)圖的動(dòng)態(tài)折疊過(guò)程缺乏可視化模型支撐，導(dǎo)致抽象的“面-棱”關(guān)系未能轉(zhuǎn)化為可操作的學(xué)習(xí)載體，致使學(xué)生的空間想象缺乏具象依托，無(wú)法將展開(kāi)圖與其立體結(jié)構(gòu)建立有效關(guān)聯(lián)。第三，空間思維培養(yǎng)斷層。從具體操作到抽象想象的過(guò)渡缺少腳手架，學(xué)生被困在“動(dòng)手做”層面，未發(fā)展出“腦中構(gòu)\"的能力，難以在操作中提煉展開(kāi)圖折疊還原為立體圖形（從二維到三維的轉(zhuǎn)化）的空間軌跡，無(wú)法實(shí)現(xiàn)從實(shí)物感知到心理表象形成的思維進(jìn)階。

二、以要素關(guān)聯(lián)為核心的大單元知識(shí)整合

針對(duì)上述問(wèn)題，筆者以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為立足點(diǎn)，以“理解正方體要素的內(nèi)在關(guān)聯(lián)\"為大單元主題，整合人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第三單元“正方體的認(rèn)識(shí)\"相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)建三層進(jìn)階單元目標(biāo)（如表1所示）。

表1“正方體的認(rèn)識(shí)”三層進(jìn)階單元目標(biāo)

基于以上三層進(jìn)階單元目標(biāo)，筆者以空間要素的動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)為錨點(diǎn)，提出如下教學(xué)設(shè)計(jì)思路：橫向關(guān)聯(lián)方面，將正方體的特征、展開(kāi)圖、折疊相關(guān)知識(shí)整合起來(lái)教學(xué)，視為正方體要素解構(gòu)與重組的統(tǒng)一過(guò)程；縱向進(jìn)階方面，從摸、數(shù)、剪等形式的實(shí)物操作逐步過(guò)渡到想象、繪圖、推理等形式的思維表象操作；思維載體選擇方面，借助小棒、橡皮泥、3D動(dòng)態(tài)軟件等工具，使抽象的“面-棱”關(guān)系可視可感。這樣設(shè)計(jì)，一是通過(guò)橫向關(guān)聯(lián)串聯(lián)起零散知識(shí)，解決知識(shí)學(xué)習(xí)鏈斷裂問(wèn)題；二是通過(guò)設(shè)計(jì)多樣化的思維載體，解決模型支撐不足問(wèn)題；三是通過(guò)縱向進(jìn)階設(shè)計(jì)思路，解決空間思維培養(yǎng)斷層問(wèn)題。

三、助推認(rèn)知發(fā)展的三維進(jìn)階教學(xué)設(shè)計(jì)

1.要素解構(gòu)，在操作中建立特征關(guān)聯(lián)

經(jīng)過(guò)前一課時(shí)“長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)”教學(xué)，學(xué)生對(duì)“面、棱、頂點(diǎn)\"等概念已有初步認(rèn)識(shí)?；诖?，筆者設(shè)置核心任務(wù)“解構(gòu)正方體”及其三個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)，旨在引導(dǎo)學(xué)生理解正方體點(diǎn)、線、面的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

活動(dòng)一：觀察感知。筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察生活中常見(jiàn)的正方體物品，如魔方、禮物盒、紙巾盒、骰子等，并在觀察過(guò)程中通過(guò)提問(wèn)引導(dǎo)他們逐步深入思考一一通過(guò)“正方體有幾個(gè)面？每個(gè)面是什么形狀？這些面有什么特征？”等問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生初步感知正方體面的特征；通過(guò)“這些面相交形成什么？它們有什么特征？”等問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正方體的棱，數(shù)棱的數(shù)量，感知棱的長(zhǎng)度關(guān)系；通過(guò)“棱和棱相交處形成什么？”等問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生感知正方體的頂點(diǎn)，明確頂點(diǎn)數(shù)量。

活動(dòng)二：觸摸探析。筆者引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展觸摸正方體模型的游戲，讓他們結(jié)合觸摸感受，深化對(duì)正方體面、棱、頂點(diǎn)及其關(guān)系的認(rèn)識(shí)。游戲中，學(xué)生要完成以下任務(wù)： ① 用手掌撫過(guò)正方體的面，說(shuō)一說(shuō)有什么感受； ② 用食指沿著正方體的棱緩慢滑動(dòng)，說(shuō)一說(shuō)有什么感覺(jué)； ③ 用指尖輕輕觸碰正方體的頂點(diǎn)，觀察頂點(diǎn)位置，感受它是尖尖的。隨后，筆者提問(wèn)：“一個(gè)頂點(diǎn)由幾條棱相交形成？一條棱連接幾個(gè)面？正方體的頂點(diǎn)、棱、面之間有什么內(nèi)在關(guān)聯(lián)？\"借助具體實(shí)物分析問(wèn)題后，學(xué)生明確：頂點(diǎn)是3條棱的交匯點(diǎn)，棱是面與面的交界線，面是構(gòu)成正方體的基本平面圖形，它們共同形成正方體的空間結(jié)構(gòu)。

活動(dòng)三：框架組裝。筆者提供橡皮泥小球（用于代表正方體的頂點(diǎn)）和長(zhǎng)短不同的多根小棒（用于代表正方體的棱）等學(xué)具，作為學(xué)生小組合作組裝正方體框架的“腳手架”。在操作中，筆者適時(shí)提出“ ① 你準(zhǔn)備用幾個(gè)小球、幾根小棒，為什么？ ② 如果小棒長(zhǎng)度不同，能拼成正方體嗎？ ③ 每個(gè)小球要連接幾根小棒？”等問(wèn)題，幫助學(xué)生通過(guò)具身操作鞏固正方體棱長(zhǎng)相等、每3條棱相交于1個(gè)頂點(diǎn)等特征，進(jìn)而自主發(fā)現(xiàn)各要素之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。例如，面與棱的關(guān)聯(lián)是，正方體有6個(gè)面，每個(gè)面有4條棱，每條棱被相鄰2個(gè)面共享，因此總棱數(shù)可用“ 6×4÷2 ”計(jì)算，得出12條；頂點(diǎn)與棱的關(guān)聯(lián)是，正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)連接3條棱，每條棱連通2個(gè)頂點(diǎn)（被重復(fù)計(jì)數(shù)），因此總棱數(shù)可用 8×3÷2^? 計(jì)算，同樣得出12條；面與頂點(diǎn)的關(guān)聯(lián)是，共6個(gè)面，每個(gè)面有4個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)被3個(gè)面共享，因此總頂點(diǎn)數(shù)可用 6×4÷3 計(jì)算，得出8個(gè)。

2.動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化，在展開(kāi)與折疊中理解互逆關(guān)系

本環(huán)節(jié)的核心任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生探究“如何將正方體展開(kāi)為平面圖”和“如何將平面圖折疊為正方體”，讓他們?cè)谡归_(kāi)與折疊中發(fā)現(xiàn)正方體面的位置排布規(guī)律。為此，筆者分如下步驟教學(xué)。

第一步，分類(lèi)探究展開(kāi)圖。學(xué)生分組活動(dòng)，將正方體禮物盒沿棱剪開(kāi)，讓其成為一個(gè)平面圖形。筆者巡視指導(dǎo)，收集體現(xiàn)不同剪法的作品。交流環(huán)節(jié)，筆者引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)展開(kāi)圖的特征進(jìn)行分類(lèi)。通過(guò)對(duì)比觀察，師生共同歸納出正方體展開(kāi)圖按照每層含有面的數(shù)量可以分為四類(lèi)：如圖1所示“1-4-1”型展開(kāi)圖有6種，如圖2所示“2-3-1型”展開(kāi)圖有3種，如圖3所示“2-2-2型”展開(kāi)圖有1種，“3-3”型展開(kāi)圖也有1種（圖略）。

圖1

圖2

圖3

隨后，筆者借助幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示幾種不同剪法的正方體展開(kāi)過(guò)程，讓學(xué)生在直觀感知中思考“正方體展開(kāi)成平面圖需要剪開(kāi)幾條棱”“所剪棱的位置怎樣影響展開(kāi)圖的形狀”。通過(guò)小組討論、交流分享，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：無(wú)論哪種展開(kāi)方式，必須剪開(kāi)7條棱，正方體才能展開(kāi)成平面圖形，并且展開(kāi)圖中都有5條棱來(lái)連接6個(gè)面；所剪棱的位置決定展開(kāi)圖的形狀，以“1-4-1\"型展開(kāi)圖所剪棱的位置（如圖4所示）為例，當(dāng)保留正方體前、后、左、右四個(gè)面橫向相連的3條棱、前面與上面相連的1條棱、前面與下面相連的1條棱時(shí)，展開(kāi)圖呈現(xiàn)“中間一行有4個(gè)正方形，上面一行和下面一行各有1個(gè)正方形”的樣態(tài)。

由此，學(xué)生認(rèn)識(shí)到剪開(kāi)的7條棱在正方體上的位置不同，6個(gè)面的連接順序和位置排布就不同，因此呈現(xiàn)出不同類(lèi)型、不同形態(tài)的展開(kāi)圖。

第二步，折疊還原正方體。筆者先提供11種標(biāo)準(zhǔn)展開(kāi)圖卡片，讓學(xué)生小組合作探究其折疊復(fù)原的過(guò)程。在動(dòng)手操作中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)正方體相對(duì)的面在展開(kāi)圖中位置不相鄰，而是相間排列、“Z\"字兩端排列。教師小結(jié)：相對(duì)的面不相鄰是正方體展開(kāi)圖的典型特征。然后，筆者借助GeoGebra3D動(dòng)態(tài)軟件對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)展開(kāi)圖進(jìn)行虛擬折疊演示，并提出前置問(wèn)題：① 如果兩個(gè)面折疊后相鄰，展開(kāi)圖中它們的位置需要滿足什么條件？（共享棱） ② 非標(biāo)準(zhǔn)展開(kāi)圖折疊時(shí)為何會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)面重疊的情況？（原有面的位置排布錯(cuò)誤）學(xué)生在問(wèn)題引領(lǐng)下觀察與思考，提煉出二維展開(kāi)圖轉(zhuǎn)化為三維正方體的核心邏輯：一是明確“展開(kāi)”的本質(zhì)，即棱的剪開(kāi)路徑?jīng)Q定展開(kāi)圖的連通方式；二是明確折疊的關(guān)鍵，即相鄰面在展開(kāi)圖中共享棱且折痕方向一致。

以上教學(xué)，筆者通過(guò)對(duì)正方體不同展開(kāi)圖分類(lèi)，培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)性思考的能力；借助軟件動(dòng)態(tài)演示破解學(xué)生想象的難點(diǎn)，逐步引導(dǎo)他們理解正方體如何展開(kāi)、展開(kāi)圖如何折疊為正方體，并從中抽象出展開(kāi)與折疊的規(guī)則。

3.遷移推演，在想象中實(shí)現(xiàn)空間定位

本環(huán)節(jié)的核心任務(wù)是脫離實(shí)物操作，在腦海中建構(gòu)正方體的面、棱的空間位置，解決復(fù)雜情境問(wèn)題?；诖?，筆者設(shè)置如下兩道練習(xí)題。

第一題：展開(kāi)圖推理。筆者出示如圖5所示正方體及問(wèn)題\"若沿棱 AD、DC、CB、AD^′、DC^′、CB^′、AA^′ 剪開(kāi)，從 ①②③ 中選出剪開(kāi)后的展開(kāi)圖”，引導(dǎo)學(xué)生聚焦棱與面的連接關(guān)系，通過(guò)分析未剪開(kāi)的棱的位置，構(gòu)想展開(kāi)圖中面的排布邏輯，強(qiáng)化“從剪開(kāi)到展開(kāi)”的空間想象力。

第二題：視圖逆向推演。筆者呈現(xiàn)從三個(gè)方向觀察小正方體堆疊的視圖（如圖6），引導(dǎo)學(xué)生反推其立體形態(tài)。

圖6

圖7

學(xué)生需基于主視圖（正面）左視圖（左面）俯視圖（上面）的投影規(guī)律，推理出立體圖形不同位置的小正方體個(gè)數(shù)，分析位置上小正方體“必須存在\"和\"可能不存在”的情況，最終明確滿足三視圖的最少小正方體個(gè)數(shù)及其堆疊形態(tài)（如圖7）。由此，學(xué)生增強(qiáng)了思維的綜合性和靈活性，發(fā)展了空間觀念。

“正方體的認(rèn)識(shí)\"教學(xué)不應(yīng)止步于特征記憶與展開(kāi)圖識(shí)別，而應(yīng)成為發(fā)展學(xué)生空間觀念、幾何直觀、推理意識(shí)等核心素養(yǎng)的載體。通過(guò)以大單元視角整合知識(shí)點(diǎn)，以圖形空間要素關(guān)聯(lián)為核心構(gòu)建學(xué)習(xí)路徑，學(xué)生得以在操作、觀察、推演的循環(huán)中理解二維平面圖與三維立體圖相互變換的邏輯。這種結(jié)構(gòu)化認(rèn)知不僅能為學(xué)生后續(xù)探究圓柱展開(kāi)圖、三視圖問(wèn)題等奠定基礎(chǔ)，還有助于培養(yǎng)學(xué)生用系統(tǒng)思維分析復(fù)雜問(wèn)題的能力。

[作者單位：武漢市光谷第十小學(xué)（武漢小學(xué)光谷分校）]

文字編輯劉佳