中圖分類號：TU45 文獻標志碼：A

Abstract：At present， most constitutive models are difficult to simultaneously reflect the creep behavior of soft and hard rocks，and their applicability is limited. To construct a more widely applicable rock creep model，based on the generalized Kelvin-Voigt model，the theory of fractional calculus operators and damage mechanics theory were introduced to construct a new rock fractional creep model considering time-dependent damage， which is extended to three-dimensional stress space. Model validation analysis is found that：1） Simulating uniaxial compression creep tests on marble and triaxial compression creep tests on sandstone using newly constructed one-dimensional and three-dimensional models，the average R² （goodness of fit） was of O.994 4 and O.994 2 respectively，proving the feasibility of the newly constructed models；2）At the same time，the newly established model and the fractionalorder creep modelin related literature were used to simulate the triaxial creep data of sandstone，and the average R² was O.994 2 and O.992 7，respectively，and the average R² of the newly established model was 0.001 5 higher than that of the previous model; 3） The simulation of triaxial compression creep test data for four types of rock hardness， namely granite，slate，mudstone，and fully weathered granite，showed an average R² of 0.989 9，demonstrating the applicability of the new model.

Key words：time damage; rock; fractional order;creep; susceptibility

0 引言

巖石蠕變是巖石力學中的重要研究內容，與巖體工程長期穩(wěn)定性密切相關[1-4]。礦井巷道、地下隧洞、核廢料儲室失穩(wěn)往往與巖體蠕變有關，本構模型是反映巖石蠕變的核心手段，由此開展的巖石蠕變本構模型研究具有重要意義[5]

目前巖石蠕變模型大致有四類[4：一是經驗模型，即針對特定種類巖石，擬合蠕變試驗數據得到的函數表達式。陳文玲等6、袁靖周」、蔡美峰8通過冪函數、指數函數等建立了蠕變經驗模型，但模型具有局限性，且模型參數無物理意義。二是組合元件模型，通過對Hooke體、牛頓體、塑性體等基本元件進行組合，得到諸如Kelvin、Kelvin-Voigt、Burgers和Cvisc 模型等。云瑞俊等[9]、 w_u 等[10]、Yin等[11]等對此類模型已有較多應用，盡管該類模型物理意義明確，應用較簡便，但存在蠕變狀態(tài)方程是線性的缺陷，而巖石蠕變往往具有非線性特征;Zhao[12]、黃建雨[13、李寧等[14]通過引入非線性元件來替換組合元件模型，但模型狀態(tài)方程仍是線性的。三是內時理論模型，基于熱力學通過內變量反映材料內部不可逆變形發(fā)展而來。張瀧等[15]、Liu等[16]、Qiao等[17構建了內時理論模型，模型模擬效果較好，但形式復雜，內蘊時間的定義待商榷，推廣適用性不強。四是損傷與流變耦合模型，基于損傷力學理論而建立。Li等[18]、Wu等[19]、何簫等[20]、Wang等[21]、Souley等[22]、趙越等[23]等引入損傷變量，分析損傷對蠕變特性的影響，構建了損傷模型。該類模型優(yōu)點是物理意義清晰，可量化損傷，模擬效果較好，缺點是計算較復雜。除此之外，Tang等[24]、Zhou等[25]、肖書文等[26]基于Cvisc 模型、Nishihara模型建立了分數階蠕變模型。

以上研究拓寬了巖石蠕變模型的研究視野，盡管已有眾多模型，但多數模型難以同時反映軟巖和硬巖蠕變行為，適用范圍較窄。鑒于此，本文以廣義Kelvin-Voigt模型為基礎，首先引入分數階微積分算子及損傷力學理論，構建新的考慮時效損傷的巖石分數階蠕變模型，并拓展至三維應力空間；然后基于大理巖單軸、砂巖三軸蠕變試驗數據，分別驗證對比新建一維和三維模型，求解模型參數并分析關鍵參數敏感性；最后采用四種不同硬度巖石蠕變數據進行模擬對比，驗證新建模型的適用性。

1模型建立

1.1 基礎模型的選擇

巖石材料具有非均質非線性特性，蠕變力學行為具有彈性、黏性、黏彈性和黏塑性特征，在元件模型理論中某單一元件無法描述巖石蠕變特性，因此學者們自由組合各元件得到組合模型。傳統Kelvin-Voigt模型由一個Hooke體和Kelvin模型串聯，結構形式簡單，常用于描述巖石衰減和穩(wěn)定蠕變，部分學者[3，11]在使用時發(fā)現Kelvin-Voigt模型難以描述硬巖蠕變行為，于是將該模型進行拓展，再串聯一個Kelvin模型得到適用面更廣的廣義Kelvin-Voigt模型。廣義Kelvin-Voigt蠕變模型示意圖如圖1所示。

圖1廣義Kelvin-Voigt蠕變模型 Fig.1 Generalized Kelvin-Voigt creep model

σ 為模型應力； E_x 和 η_x 分別為彈性模量和黏滯系數，其中編號 x（x=1 ，2，3）與模型三部分相對應。

廣義Kelvin-Voigt模型蠕變狀態(tài)方程為：

其中，

式中： σ_x 為應力， x=1，2，3;ε 為模型總應變； ε_x 為應變；上標圓點表示變量對時間 Ψ_t 的一階導數。求解式（1）得到

式（2）即為廣義Kelvin-Voigt模型的一維本構方程。

基于文獻[1，4]中的花崗巖、橄欖巖三軸壓縮蠕變試驗數據，采用三維廣義Kelvin-Voigt模型[7-8]進行辨識。利用數學軟件1stOpt及其BFGS（準牛頓）算法，得到對比曲線如圖2所示。

圖2蠕變模擬對比曲線

Fig.2 Comparison curves of creep simulation

由圖2可知：傳統Kelvin-Voigt模型模擬穩(wěn)定蠕變階段時，模擬曲線始終與時間軸平行，無法反映衰減蠕變特征，模擬曲線與試驗數據存在偏差；該模型對花崗巖和橄欖巖蠕變的辨識效果欠佳，經lstOpt計算，花崗巖和橄欖巖的 R² （擬合優(yōu)度）分別為0.9214和O.9326。廣義Kelvin-Voigt模型辨識曲線與試驗數據吻合較好，辨識效果明顯優(yōu)于傳統模型，經1stOpt計算， R² 分別為0.9875和0.9908。考慮到廣義Kelvin-Voigt模型反映硬巖衰減、穩(wěn)定蠕變階段的優(yōu)勢，而構建蠕變本構模型也需具備適應于不同巖石種類的特性，因此將廣義Kelvin-Voigt模型作為基礎模型。

1.2 分數階微積分的引入

分數階微積分與傳統微積分的不同之處在于階數的差異，分數階微積分在解決非線性力學行為方面具有較強優(yōu)勢[24]。分數階微積分因時域定義不同，主要有Grünwald-Letnikov 型、Caputo 型和Riemann-Liouville型（簡稱R-L型）[27]。其中R-L 型應用較廣。函數 f（t） 在區(qū)間 [0，t] 的 α（αgt;0） 階R-L型積分定義為

式中： α 為階數； s 為Laplace變換的變量； Γ（α） 為Gamma函數[24]，定義為

式中， Re（?） 表示復數的實部。則 f（t） 的 α 階 R- L 型微分定義為

式中， n 為不大于 α 的最大整數。

當 f（t） 在 t=0 附近可積，且 α∈（0，1] 時，將f（t） 的Laplace變換記為 ，則R-L型積分的拉普拉斯變換公式為

1.3 分數階軟體元件

Blair[28]提出一種可描述介于理想固體、流體之間某種狀態(tài)的軟體元件，其狀態(tài)方程為

式中： ε（t） 為該軟體元件的應變； η_α 為黏滯系數。

當 σ 保持恒定時，依據R-L型微積分理論對式（7）積分可得

式中， E_α 為該分數階軟體元件的應變。

取 σ=30MPa ， η_α=20GPa?h ，依據式（8）得到不同 α 取值對應的蠕變曲線，結果見圖3。

圖3分數階軟體元件蠕變曲線

由圖3可看出： α 在區(qū)間[0，1]內的不同取值會影響蠕變曲線形態(tài)，而巖石的非線性蠕變特征也通過曲線形態(tài)上得以體現；隨著 α 減小，非線性特征更加明顯。

1.4考慮時效損傷的黏塑性體

廣義Kelvin-Voigt蠕變模型結構為 H-H|N- H|N ，均為彈性體和牛頓體元件組合而來，無法反映材料黏塑性變形行為。引入狀態(tài)方程如下的黏塑性體[7-8]：

式中， ε_Δvp 和 η_vp 分別為軟體元件應變和黏滯系數。

當加載應力超過損傷應力閾值（即長期強度σ_S ）時，巖石材料黏塑性應變開始累積，材料內部微裂紋、微裂隙不斷發(fā)育，損傷持續(xù)累積。巖石材料在達到長期強度前產生的損傷較少，為方便模型建立忽略該部分損傷[20-23]。因此基于損傷力學理論，依據Lemaitre等效應力原理[29]，將式（9）改寫為

式中， D（t） 為損傷變量。

Kachanov[30]提出一維應力條件下蠕變損傷發(fā)展方程為

式中， A 和 u 為材料參數。

對式（11）積分可得蠕變破壞時間 t_e 為

t_e=[A（ν+1）σ^ν]^-1

結合式（11）和式（12）可得 D（t） 的演化規(guī)律：

D（t）=1-（1-t/t_e）^1/（ν+1）_c

將式（13）代入式（10）得

對式（14）積分可得

式中， B 為積分常數。

當 t=0 時， ε_vp=0 ，于是由（15）可得

將式（16）代入式（15）變形可得

式（17）即為考慮時效損傷的黏塑性體的本構方 程。

1.5一維條件下考慮時效損傷的分數階蠕變模型

為建立可反映巖石黏彈塑性蠕變特征的本構模型，將廣義Kelvin-Voigt模型與考慮時效損傷的黏塑性體串聯，同時用分數階軟體元件替代廣義Kelvin-Voigt模型中兩個Kelvin模型的牛頓體，得到一個新的蠕變模型，如圖4所示。

圖4蠕變損傷模型

Fig.4Creep damage model

結合式（1）（2）和（17）得到一維條件下的蠕變狀態(tài)方程，當 σlt;σ_S 時，模型第 ④ 部分失效，模型狀態(tài)方程為：

其中，

求解式（18）可得

當 σ?σ_S 時，模型第 ④ 部分生效，由于模型第 ④ 部分中采用一個開關（以長期強度作為閾值）與黏塑性體并聯，式（17）中 σ 需改寫為 （σ-σ_S） 作為開關觸發(fā)條件，于是有模型狀態(tài)方程為：

求解式（20）可得

式（19）（21）即為所建一維本構方程。

1.6 三維蠕變損傷本構模型

工程應用中，巖體所處應力環(huán)境是三維的，鮮有一維情形，還需將式（19）（21）拓展至三維應力空間。假定材料各向同性，根據廣義Hooke定律有

式中： σ_m 為平均應力； S_ij 為偏應力張量； ε_m 為平均應變； e_ij 為偏應變張量；下標 ij 表示不同應力方向； K 和 G 分別為體積模量和剪切模量。對材料內部應力張量進行分解可得

σ_ij=S_ij+δ_ijσ_m.

式中： σ_ij 為應力張量； δ_ij 為Kronecker（克羅內克）張量。

忽略材料在三維狀態(tài)下的體積蠕變[8，13]，引入

屈服函數 F 來反映材料屈服。將式（19）和式（21）合寫，并拓展至三維應力空間：

式中： （S_ij）_s 為與長期強度對應的偏應力張量； G₁ 、G₂ 和 G₃ 分別為三維蠕變損傷本構模型第 ①②③ 部分的剪切模量，與 E₁，E₂ 和 E₃ 相對應； H₂…H₃ 和 H_vp 分別為新建模型第 ②③④ 部分的三維黏滯系數，與ηa2、ηa3和ηvp相對應;F。為屈服函數F的初始值。

屈服函數[8，13]可取如下形式

式中， J₂ 為應力偏量第二不變量。

在常規(guī)的三軸壓縮應力狀態(tài)中，

將式（26）代人式（24）可得

式中， （σ₁-σ₃）_： s為長期強度。式（27）即為本文新建考慮時效損傷的巖石分數階三維蠕變模型。

2 模型驗證及分析

2.1 巖石蠕變試驗

本文所建一維、三維蠕變模型可分別用于一維和三維應力狀態(tài)下的巖石材料。為驗證模型可行性，采用文獻[31中的大理巖單軸壓縮蠕變試驗對一維模型進行模擬驗證，采用文獻［32]中的砂巖三軸壓縮蠕變試驗對三維模型進行模擬驗證，這里不再描述試驗過程。大理巖、砂巖蠕變試驗結果如圖5所示。

a.大理巖，酸性溶液環(huán)境，凍融循環(huán)50次，文獻[31]；b.砂巖，天然狀態(tài)，圍壓2 MPa ，文獻[32]。a圖為加載應力；b圖為偏應力。

圖5大理巖和砂巖逐級加載蠕變曲線

Fig.5 Gradual loading creep curves of marble and sandstone

由圖5可看出，巖石蠕變三階段特征明顯，且在最后一級加載下發(fā)生加速蠕變。式（19）（21）（27）均針對分級加載，模擬驗證時，需將圖5中的逐級加載曲線經Boltzmann線性處理[20-23]后轉化為分別加載形式。

2.2 參數求解

1）一維模型

參數 E₁ 根據Hooke定律確定； σ_S 根據等時應力-應變曲線法取拐點確定，文獻[31]中已給出，取38.34MPa;參數E2、E3、α2、α3、ηα2、ηa3、ηvp、te和 2 均通過數學軟件1stOpt基于BGFS算法計算得到。

2）三維模型

參數 G₁ 和 K 根據廣義Hooke定律確定

式中， μ 為泊松比，取 μ 為 0.24^[8，32] （2

（σ₁-σ₃）_S 根據等時應力-應變曲線法取拐點確定，文獻[32]中已給出，取 28.12MPa ;參數 G₂、G₃ 、α₂、α₃、H₂、H₃、H_vp、t_e 和 u 通過數學軟件1stOpt基于BGFS算法計算得到。

2.3 蠕變模擬

通過式（19）（21）對大理巖單軸蠕變曲線進行模擬，并與常用的Cvisc一維模型9]對比；對砂巖三軸蠕變曲線進行模擬，與Cvisc三維模型9對比。以上驗證對比曲線分別如圖6、圖7所示，模型參數分別如表1、表2所列。

結合圖6、圖7和表1、表2可見，新建一維、三維模型對大理巖單軸和砂巖三軸蠕變試驗數據模擬效果較好，平均 R² 分別為 0.994 4.0.994 2 。相比之下，Cvisc一維、三維模型模擬值略低于試驗值，經計算，平均 R² 分別為 0.943 8.0.952 7 ，尤其在最后一級加載階段，模擬值與試驗數據偏差顯著，無法準確表征大理巖和砂巖的加速蠕變行為。新建一維、三維模型的模擬效果較好，驗證了本文模型的可行性。

3參數分析及適用性驗證

3.1 參數敏感性分析

加速蠕變是巖石蠕變力學的重點，參數 H_vp，te 和 u 作為考慮時效損傷的黏塑性體中的關鍵參數，直接影響巖石加速蠕變的發(fā)展進程。為研究三個參數對砂巖最后一級加載下蠕變曲線的敏感性影響，分別將不同 H_vp 值和表2中偏應力 40MPa 條件下的其他固定參數代入式（27）繪制敏感性曲線，不同t_e 和 2 的敏感性曲線繪制參照同樣方法繪制，結果如圖8所示。

圖6大理巖蠕變模擬對比曲線 Fig.6Comparison curves of simulated creep of marble

由圖8a可看出：隨著 H_vp 增大，應變值遞減；H_vp 不僅影響曲線形態(tài)，也關系到蠕變速率和應變值；當 H_vp 從 100GPa?h 增至 500GPa?h （增幅 400% 時，極限應變值從 6.52% 減小至 2.79% （降幅 57.21%） 。定量分析表明， H_vp 平均每 1% 的增長引起了極限應變 0.14% 的減小，二者呈顯著負相關。

由圖8b可看出：不同 t_e 對應的蠕變曲線形態(tài)基本一致，極限應變值隨著 t_e 的增大而遞減；當 t_e 從5h 增至 25h （增幅 400% ）時，極限應變值從 3.72% 減小至 3.10% （降幅 16.7%） 。定量分析表明， t_e 平均每 1% 的增長引起了極限應變 0.04% 的減小，二者呈顯著負相關。

由圖8c可看出：隨著v增大，應變遞減； u 不僅影響曲線形態(tài)，取值大小也關系到蠕變速率和應變值；當 2 從0.2增至0.6（增幅 200% ）時，極限應變從4.19% 減小至 3.14% （降幅 25.06% ）。定量分析表明， u 平均每 1% 的增長引起了極限應變 0.13% 的減小，二者呈顯著負相關。

綜合分析，根據參數 H_vp?t_e 和 u 對極限應變的影響，判斷這三個參數的敏感性由強到弱依次為 和 t_e 。

3.2 分數階蠕變模型對比

本文基于廣義Kelvin-Voigt模型，建立了考慮時效損傷的巖石分數階蠕變模型。文獻[24-26」基于Cvisc模型、Nishihara模型建立了分數階蠕變模型。三者均采用R-L型分數階微積分算子理論，主要差異在于基礎模型的不同。其中，文獻［26]在R-L型分數階微積分的基礎上采用了Laplace雙重變換，該方法雖更容易達到收斂，但計算過程較復雜。廣義Kelvin-Voigt模型相比Cvisc模型和Nishihara模型要多出 1～2 個元件，導致本文新建模型參數較多且表達式較長；但本文模型結構簡單，沒有復雜的多項式或求和項，計算相對簡便，便于工程應用。采用本文新建模型與文獻26模型對砂巖進行同步蠕變模擬對比，結果如圖9所示。

由圖9可看出，本文三維模型和文獻[26]模型對砂巖蠕變試驗數據的模擬效果均較好，經計算，本a.不同 H_vp 值；b.不同 t_e 值；c.不同 u 值?；谏皫r最后一級加載下蠕變試驗曲線。

圖7砂巖蠕變模擬對比曲線

Fig.7Comparison curves of simulated creep of sandstone

表1新建一維模型參數（大理巖）

Table1New one-dimensional model parameters（marble）

表2新建三維模型參數（砂巖）

Table2New three-dimensional model parameters （sandstone）

圖8不同參數值的蠕變曲線

Fig.8Creep curves with different parameter values

文模型的平均 R² 為0.9942，文獻［26]模型的平均R² 為0.9927，本文模型平均 R² 較文獻［26]模型高0.001 5。

3.3 模型適用性驗證

巖石硬度可分為堅硬、較硬、較軟、軟和極軟[8]以文獻[2，33-35]中花崗巖（堅硬）、板巖（較硬）、泥巖（軟）和全風化花崗巖（極軟）為驗證對象，采用新建、Cvisc三維模型模擬對比，結果如圖10所示。

經計算，采用本文新建三維模型模擬四種巖石的 R² 分別為 ，平均R² 為0.9899，Cvisc三維模型的 R² 分別為0.9487、0.9397.0.9513.0.9356 。本文新建三維模型對全風化花崗巖模擬的 R² 為0.9864，略低于0.99，這是由于全風化花崗巖蠕變曲線在約 350h 時呈直線形態(tài)劇增，曲線突變較快。綜合分析圖10可知，不同硬度巖石在不同應力條件下表現出不同的蠕變曲線形態(tài)。總體來看，本文新建三維模型與不同巖石蠕

圖10 四種巖石的蠕變模擬對比曲線

Fig.10 Comparison curves of creep simulation for four types of rocks變曲線吻合較好，擬合精度較高，能較為準確地描述巖石蠕變特征，驗證了新建三維模型的適用性。

4結論

1）以廣義Kelvin-Voigt模型為基礎，引入分數階微積分算子理論和損傷力學理論，構建分數階軟體元件和考慮時效損傷的黏塑性體。根據廣義Kelvin-Voigt模型架構，組合得到新的考慮時效損傷的巖石分數階蠕變模型，并拓展至三維狀態(tài)。

2）利用新建一維、三維蠕變模型分別模擬巖石單軸、三軸壓縮蠕變試驗數據，驗證新建模型的可行性。加速蠕變關鍵參數的敏感性由強到弱依次為 和 t_e 。

3）采用本文新建模型對花崗巖、板巖、泥巖和全風化花崗巖這四種硬度的巖石三軸壓縮蠕變試驗數據進行模擬，平均 R² 達0.9899，證明本文新建模型具有一定的適用性。

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