中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2025）21-0051-04

隨著新課程改革的不斷深人，初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域受到教師的高度重視，跨學(xué)科實(shí)踐學(xué)習(xí)在當(dāng)今社會(huì)和教育體系中占據(jù)著舉足輕重的地位.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確提出，在初中階段綜合與實(shí)踐領(lǐng)域，可采用項(xiàng)目式學(xué)習(xí)方式，以問題解決為導(dǎo)向，讓學(xué)生在真實(shí)情境中經(jīng)歷現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)化的過程[1].在項(xiàng)目式學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生能夠感悟如何從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，逐步形成“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”的核心素養(yǎng)；在分析問題和解決問題的過程中，提升數(shù)學(xué)思維能力，逐步形成“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”的核心素養(yǎng)；與此同時(shí)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷用數(shù)學(xué)的語言將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，逐步形成“會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的核心素養(yǎng)

1 項(xiàng)目情境

1.1 項(xiàng)目介紹和研究方向

本項(xiàng)自聚焦端午節(jié)的歷史文化和習(xí)俗，主要圍繞\"端午習(xí)俗中的數(shù)學(xué)知識(shí)”這一問題展開探究，嘗試用數(shù)學(xué)的眼光觀察端午習(xí)俗中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，用數(shù)學(xué)的思維思考、用語言表達(dá)端午習(xí)俗中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美.與此同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生探究端午習(xí)俗中蘊(yùn)含的其他學(xué)科知識(shí)，最終運(yùn)用研究成果進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì).

1. 2 項(xiàng)目驅(qū)動(dòng)型問題

為驅(qū)動(dòng)學(xué)生積極參與項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，設(shè)計(jì)如下項(xiàng)目驅(qū)動(dòng)型問題：端午習(xí)俗具體有哪些？如何從數(shù)學(xué)的角度去發(fā)現(xiàn)、探究、欣賞其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美？

1.3 項(xiàng)目學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)計(jì)

根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容及學(xué)生實(shí)際情況，設(shè)計(jì)如下項(xiàng)目學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解蘇州端午文化的歷史和習(xí)俗，增強(qiáng)文化自信和民族自豪感；經(jīng)歷將端午習(xí)俗中不同元素抽象成數(shù)學(xué)模型的活動(dòng)探究過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高數(shù)學(xué)抽象能力，發(fā)展“三會(huì)”素養(yǎng)；融合多學(xué)科知識(shí)，運(yùn)用信息技術(shù)，從龍舟的框架設(shè)計(jì)、漂浮原理和競(jìng)速原則等要素進(jìn)行多角度分析，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，進(jìn)一步發(fā)展“三會(huì)”素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展

2 項(xiàng)目實(shí)施

2.1 項(xiàng)目實(shí)施方案及任務(wù)結(jié)構(gòu)

本項(xiàng)目以數(shù)學(xué)知識(shí)作為核心載體，涉及物理、歷史和信息科技學(xué)科，需要學(xué)生作為項(xiàng)目的主要參與者以小組為單位開展合作學(xué)習(xí)，教師提供輔助和指導(dǎo)以確保項(xiàng)目順利進(jìn)行[2].在項(xiàng)目實(shí)施過程中，學(xué)生需完成信息收集與數(shù)據(jù)整理、獨(dú)立思考與合作探究、數(shù)學(xué)抽象與模型設(shè)計(jì)、提出猜想與驗(yàn)證實(shí)施、反思總結(jié)與成品展現(xiàn)等任務(wù)，項(xiàng)目具體方案與任務(wù)結(jié)構(gòu)如圖1所示.

2.2 子任務(wù)一：訪端午之“緣”

項(xiàng)目活動(dòng)1 了解端午節(jié)的歷史及文化.

端午節(jié)作為中國(guó)古老的傳統(tǒng)節(jié)日，其歷史可追溯至春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，至今已有兩千多年歷史，是中華傳統(tǒng)文化的重要組成部分.學(xué)生通過查閱資料了解端午節(jié)的歷史和習(xí)俗，能夠體會(huì)端午在中華傳統(tǒng)文化中的重要意義，進(jìn)而積極宣傳端午文化.

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生主動(dòng)了解端午文化，不但有助于傳承和弘揚(yáng)中華民族傳統(tǒng)美德，而且能夠深化其對(duì)中華文化的認(rèn)同，培養(yǎng)愛國(guó)情懷，同時(shí)拓展歷史與文學(xué)知識(shí)，豐富個(gè)人精神世界

2.3 子任務(wù)二：探龍舟之“形”

項(xiàng)目活動(dòng)2將龍舟的框架結(jié)構(gòu)抽象成數(shù)學(xué)圖形，探究龍舟蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)之美

學(xué)生活動(dòng)龍舟作為端午文化的主要象征之一，在項(xiàng)自學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中，學(xué)生通過閱讀書籍、查閱網(wǎng)絡(luò)和實(shí)地觀測(cè)等方式進(jìn)行信息收集和數(shù)據(jù)處理，并嘗試將各式各樣的龍舟抽象成數(shù)學(xué)圖形

活動(dòng)發(fā)現(xiàn) 通過對(duì)得到的圖形進(jìn)行觀察，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)龍舟主要蘊(yùn)含“軸對(duì)稱”這一數(shù)學(xué)特征，并借助網(wǎng)絡(luò)畫板對(duì)軸對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行深入探究

學(xué)生探究1學(xué)生在網(wǎng)絡(luò)畫板中首先構(gòu)建成軸對(duì)稱的兩個(gè)三角形，通過動(dòng)畫還原其對(duì)稱過程，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形能夠完全重合，從而得出全等三角形的概念，即能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫作全等三角形.同時(shí)得出全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角也相等

學(xué)生探究2學(xué)生類比平移的探究過程，在網(wǎng)絡(luò)畫板中連接兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)圖中的所有對(duì)應(yīng)線段均滿足：與對(duì)稱軸垂直，且被對(duì)稱軸平分.從而得出成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)：對(duì)稱軸垂直且平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段

教師指導(dǎo) 像這樣，垂直且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線

提出問題 對(duì)于線段的垂直平分線，能否借助網(wǎng)絡(luò)畫板發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)？

學(xué)生經(jīng)過探究，得出結(jié)論：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

探究圖和所得結(jié)論如圖2所示.

圖2軸對(duì)稱性質(zhì)探究示意圖

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生通過小組合作，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和抽象平面圖形并找出共同特征的過程；通過類比學(xué)習(xí)平移，借助網(wǎng)絡(luò)畫板，探究龍舟結(jié)構(gòu)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)性質(zhì)在實(shí)際操作中，學(xué)生需用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題，用數(shù)學(xué)思維分析和解決問題，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)成果，進(jìn)而發(fā)展“三會(huì)”素養(yǎng)

項(xiàng)目活動(dòng)3 設(shè)計(jì)制作龍舟模型.

學(xué)生提出新想法：既然已經(jīng)了解了龍舟的框架設(shè)計(jì)，那么能否借助工具設(shè)計(jì)一款龍舟模型呢？學(xué)生思考并著手解決問題

問題1 如何確定龍舟各部分的結(jié)構(gòu)大小搭配是否合適？設(shè)計(jì)出的龍舟又該怎樣精準(zhǔn)地制作？

解決思路 首先借助數(shù)學(xué)知識(shí) —三視圖，繪畫制作模型圖紙;然后借助數(shù)學(xué)工具一—比例尺，將圖紙打造成實(shí)物模型

現(xiàn)實(shí)困難學(xué)生首先選擇手繪的方式進(jìn)行嘗試，但發(fā)現(xiàn)三視圖的手繪誤差較大，繪制難度較高，且由于通過三視圖制作出的圖紙為平面圖紙，后期需制作出實(shí)物模型，預(yù)計(jì)模型制作將比較困難

思路改進(jìn) 借助3D繪圖軟件3DsMax，設(shè)計(jì)3D模型圖紙；然后通過3D打印的方式制作龍舟的實(shí)物模型，從而完成項(xiàng)目任務(wù).

設(shè)計(jì)意圖龍舟體現(xiàn)了我國(guó)深厚的文化內(nèi)涵學(xué)生經(jīng)歷對(duì)龍舟模型的研究和制作過程，嘗試用數(shù)學(xué)的思維去思考和解決問題，有利于發(fā)展數(shù)學(xué)“三會(huì)\"素養(yǎng).在遇到困難時(shí)，學(xué)生直面挑戰(zhàn)、勇于創(chuàng)新，更能深刻體會(huì)到中華文化的博大精深和自強(qiáng)不息的民族精神.

2.4子任務(wù)三：尋龍舟之“競(jìng)”

項(xiàng)目活動(dòng)4 實(shí)踐阿基米德原理，探究龍舟的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)對(duì)漂浮效果的影響.

前期準(zhǔn)備學(xué)生通過書籍、網(wǎng)絡(luò)等渠道收集信息，了解龍舟能夠在水中漂浮是基于阿基米德原理，知曉龍舟在水中受到的浮力大小與三個(gè)因素有關(guān)，分別是水的密度、重力加速度大小與該龍舟在水中能夠排開的水的體積，

通過小組討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)前兩個(gè)因素屬于外部影響因素.因此，學(xué)生決定以龍舟在水中能夠排開的水的體積為主要研究對(duì)象，探究龍舟的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)對(duì)漂浮效果的影響，提升龍舟的設(shè)計(jì)質(zhì)量

學(xué)生探究 龍舟的形狀設(shè)計(jì)對(duì)漂浮效果的影響

為了能夠排開更多的水，學(xué)生認(rèn)為龍舟底面積應(yīng)設(shè)計(jì)得較大，船體體積也越大越好，但這與學(xué)生印象中的龍舟形狀大相徑庭.龍舟通常呈現(xiàn)長(zhǎng)而窄、前端尖銳后部微微扁平的形狀，這引起了學(xué)生的好奇和思考.

學(xué)生通過查閱資料發(fā)現(xiàn)，單純?cè)黾育堉鄣牡酌娣e或體積，并不能排開更多的水.但將龍舟的船底設(shè)計(jì)成V型或U型后，能夠有效增加船體與水面的接觸面積，進(jìn)而排開更多的水，獲得更大的浮力，并且這種設(shè)計(jì)有助于減少水阻，提高劃行速度.

提出問題在提升浮力后，如何驗(yàn)證龍舟在水中受到的浮力能夠使得龍舟在水面漂?。咳舾×Σ蛔?，在龍舟運(yùn)動(dòng)員登船后，龍舟就會(huì)沉沒，發(fā)生溺水事故，應(yīng)怎樣避免這種情況？

通過請(qǐng)教物理教師，學(xué)生了解到龍舟總重量和浮力之間需要達(dá)到力學(xué)平衡，即總重量小于或等于所受到的浮力時(shí)，龍舟就會(huì)保持在水面上；總重量大于受到的浮力時(shí)，就會(huì)下沉

基于此，學(xué)生發(fā)現(xiàn)在設(shè)計(jì)制作龍舟時(shí)，應(yīng)選擇重量輕、結(jié)構(gòu)堅(jiān)固的材料，并提前參照運(yùn)動(dòng)員的總重量計(jì)算所需浮力，才能確保龍舟的使用安全

設(shè)計(jì)意圖 知識(shí)源于生活也將應(yīng)用于生活.在龍舟的設(shè)計(jì)制作過程中，蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)和物理的知識(shí).學(xué)生在真實(shí)情境中實(shí)踐阿基米德原理，嘗試用數(shù)學(xué)的思維去思考和解決問題，發(fā)展數(shù)學(xué)“三會(huì)”素養(yǎng).

2.5 子任務(wù)四：識(shí)香棕之“體”

項(xiàng)目活動(dòng)5 借助祖晅原理，探究體積公式.

任務(wù)1 將粽子抽象成數(shù)學(xué)圖形.

學(xué)生通過實(shí)物觀察，發(fā)現(xiàn)常見的粽子形狀能夠抽象為三棱錐、四棱錐和四棱柱.

任務(wù)2 探究柱體的體積公式.

學(xué)生類比長(zhǎng)方體體積公式，猜想柱體體積公式可表示為柱體的體積 Σ=Σ 底面積 × 高，并借助網(wǎng)絡(luò)畫板進(jìn)行驗(yàn)證.借助網(wǎng)絡(luò)畫板，學(xué)生發(fā)現(xiàn)柱體可以理解為是一個(gè)平面圖形經(jīng)過平移得到的.因平移不改變圖形的面積，柱體的體積即用這個(gè)平面圖形的面積× 柱體的高，其體積公式可表示為柱體的體積 Σ=Σ 底面積 × 高.

由此學(xué)生猜想：兩個(gè)形狀不同的柱體，如果底面積相等、高相等，那么他們的體積也相等.

學(xué)生將這一猜想分享給指導(dǎo)教師后，教師指出，這一思路和我國(guó)古代的大數(shù)學(xué)家祖晅不謀而合，也就是后來的祖晅原理：冪勢(shì)既同，則積不容異.學(xué)生查閱資料得知，祖晅原理中的“冪”是截面積，“勢(shì)”是立體的高，意思是兩個(gè)同高的立體，如果在任意等高處的截面積都相等，則體積相等

任務(wù)3 驗(yàn)證祖恒原理在柱體中的應(yīng)用.

學(xué)生在網(wǎng)絡(luò)畫板中進(jìn)行驗(yàn)證，具體驗(yàn)證過程如下：將面積相等的不同圖形平移至相同的高度以得到不同的柱體，使其滿足祖晅原理的兩個(gè)要素，一是柱體的高度相等，二是所有柱體在任意等高處的截面積都相等.根據(jù)柱體的體積公式，即柱體的體積 σ=σ 底面積 x 高，可得出這些柱體的體積相等

任務(wù)4 探究錐體的體積公式.

類比圓錐體的體積公式，猜想錐體體積公式，并借助網(wǎng)絡(luò)畫板進(jìn)行驗(yàn)證.學(xué)生發(fā)現(xiàn)錐體的體積一定小于底面積 × 高，但求證系數(shù)時(shí)遇到了難題，所以請(qǐng)求了指導(dǎo)教師的幫助.

教師指導(dǎo) 將三棱柱分割成3個(gè)三棱錐，與原三棱柱滿足底面積和高都相等.只要證明出這3個(gè)三棱錐的體積相等，就能得到三棱錐的體積是三棱柱體積的三分之一.分割方式如圖3所示

圖3三棱柱分割為三棱錐示意圖

學(xué)生發(fā)現(xiàn)分割出的3個(gè)三棱錐，兩兩組合，滿足底面積和高相等，如圖3所示，情形與之前在柱體中遇到的情景和猜想類似.

學(xué)生活動(dòng)學(xué)生經(jīng)過小組討論得出，將三棱錐兩兩組合，已經(jīng)滿足等底等高，欲運(yùn)用祖晅原理求證，只需得到它們?cè)谌我獾雀咛幍慕孛娣e也相等

任務(wù)5 驗(yàn)證等底等高的錐體在任意等高處的截面積相等.

學(xué)生在網(wǎng)絡(luò)畫板中進(jìn)行驗(yàn)證，具體驗(yàn)證過程如下：將等底等高的不同錐體底面置于同一平面，用與底面平行的平面截取錐體，測(cè)量截面積的大小，發(fā)現(xiàn)面積始終相等.運(yùn)用祖恒原理，學(xué)生得出分割出的3個(gè)三棱錐體積相等，繼而得到三棱錐的體積公式.類比運(yùn)用祖恒原理，可將任意錐體轉(zhuǎn)化為等底等高的三棱錐，由此得到錐體的體積公式.

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生面對(duì)端午節(jié)中常見的粽子元—54—

素，嘗試用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題，經(jīng)歷運(yùn)用祖晅原理探究柱體和錐體的體積公式的過程，培養(yǎng)其會(huì)用數(shù)學(xué)的思維進(jìn)行思考、會(huì)用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行表達(dá)的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)“三會(huì)”素養(yǎng).

3 項(xiàng)目反思

3.1 注重項(xiàng)目選題時(shí)學(xué)生的參與度

數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)立足于真實(shí)的現(xiàn)實(shí)生活情境，需要有明確的項(xiàng)目主題，因此項(xiàng)目選題顯得尤為重要，其將直接影響后續(xù)項(xiàng)目的實(shí)施.在選題時(shí)，教師不僅要關(guān)注和評(píng)估項(xiàng)目實(shí)施的可行性，更要注重學(xué)生的參與度.項(xiàng)目選題是學(xué)生參與項(xiàng)目學(xué)習(xí)的關(guān)鍵環(huán)節(jié).高參與度的項(xiàng)目能夠更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力，使其主動(dòng)投入時(shí)間和精力去探究和解決問題，從而助力項(xiàng)目學(xué)習(xí)的有效推進(jìn)

3.2 發(fā)揮項(xiàng)目活動(dòng)中學(xué)生的主體性

在項(xiàng)目式學(xué)習(xí)活動(dòng)中，發(fā)揮學(xué)生的主體性具有極其重要的意義.數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)要求學(xué)生能夠根據(jù)項(xiàng)目要求，積極主動(dòng)地搜集信息、分析問題、設(shè)計(jì)方案、實(shí)施項(xiàng)目并得出成果.這種學(xué)習(xí)方式為學(xué)生提供了鍛煉團(tuán)隊(duì)合作、溝通表達(dá)等綜合能力的機(jī)會(huì)，同時(shí)有助于學(xué)生增強(qiáng)自主學(xué)習(xí)能力和終身學(xué)習(xí)的意識(shí)

4 結(jié)束語

在項(xiàng)目式學(xué)習(xí)活動(dòng)中，教師應(yīng)充分尊重學(xué)生的主體地位，發(fā)揮他們的自主性、能動(dòng)性和創(chuàng)造性，不斷提高他們運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，讓他們?cè)趯?shí)踐中不斷成長(zhǎng)和發(fā)展，從而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]周青松，李明樹，王曉峰.初中數(shù)學(xué)跨學(xué)科項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的教學(xué)實(shí)踐與思考：以“土圭遇數(shù)，九畿見學(xué)”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2024（03）：46-50.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]