學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的生長需要依托結(jié)構(gòu)性的知識形成過程來獲得。教師在組織教學(xué)時，要通過解讀數(shù)學(xué)知識體系，抓住結(jié)構(gòu)性教學(xué)設(shè)計的核心元素，尋找有效方法，引導(dǎo)學(xué)生在開展結(jié)構(gòu)性學(xué)習(xí)活動中，培養(yǎng)結(jié)構(gòu)性思維，發(fā)展核心素養(yǎng)。

一、多側(cè)面理解，建構(gòu)概念，在助力結(jié)構(gòu)形成中讓結(jié)構(gòu)性思維得到沉淀

面積概念的建立，是發(fā)展平面圖形面積知識的源頭。關(guān)于面積的意義教學(xué)，張奠宙認(rèn)為，我們要對同一類的平面圖形指定一個合適的數(shù)，并使之滿足以下這些特性：有限相加性、運(yùn)動不變性和正則性?；诖耍處熆山柚嘣笜?biāo)，即六個側(cè)面一一解釋、闡明、應(yīng)用、洞察、深入及自知，結(jié)合這六個側(cè)面幫助學(xué)生展開結(jié)構(gòu)性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生通過建立完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，沉淀結(jié)構(gòu)性思維。

（一）抽象出面積是一個數(shù)，初步感知面積的本質(zhì)和特性

例如，在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)三年級下冊“長方形和正方形的面積”中的例2時，教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)方格比較面積大小轉(zhuǎn)換到用數(shù)進(jìn)行比較，逐步推進(jìn)用數(shù)表達(dá)面積，促進(jìn)學(xué)生對面積大小的感知。教師首先讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，從而發(fā)現(xiàn)用觀察、重疊法沒辦法進(jìn)行比較，嘗試用剪拼后重疊的方法，又發(fā)現(xiàn)其太煩瑣；其次，運(yùn)用類比，讓學(xué)生回顧測繩子的長度、比較物體的輕重的學(xué)習(xí)過程，進(jìn)而找到用一個小正方形作為測量標(biāo)準(zhǔn)是合適的辦法；再次，讓學(xué)生經(jīng)歷用單位正方形進(jìn)行平鋪（不重復(fù)）的過程；最后，根據(jù)操作結(jié)果，由數(shù)出兩個長方形分別包含小正方形的個數(shù)來比較面積大小，轉(zhuǎn)換到用抽象的數(shù)來比較，使學(xué)生初步獲得對面積可抽象成數(shù)的認(rèn)識和對面積的可測性、有限相加性等的感知。

（二）給圖形面積找到一個對應(yīng)的數(shù)，理解面積的本質(zhì)和特性

問題一：下列不同圖形（圖1）的面積可用哪些數(shù)來表示？

圖1

教學(xué)中，教師首先要啟發(fā)學(xué)生思考，探究出每個圖形面積數(shù)的獲得方法，最重要的是要引導(dǎo)學(xué)生利用割補(bǔ)法求得梯形和右邊兩個圖形所包含的單位正方形的個數(shù)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解面積的概念。

問題二：是不是所有圖形的面積都能用相應(yīng)的數(shù)來表示？

第一，教師出示圖2中的 ① 圖，并且提問：這幅圖中包含多少個完整的小方格？你知道這個長方形的面積是多少嗎？思考一下，能不能用整數(shù)個小方格來表示呢？學(xué)生經(jīng)過討論，并且根據(jù)圖形的特點(diǎn)，想到了把原來的1個小方格等分成4個小正方形，然后用其中的一個去平鋪。最后教師利用課件演示、驗證（圖2中的 ② 圖）

圖2

第二，教師出示圖2中的 ③ 圖，質(zhì)疑：用剛才的小方格去鋪，但是鋪不滿，怎么辦呢？同上面一樣，教師引導(dǎo)學(xué)生選擇更小一點(diǎn)的小正方形去鋪滿圖2中的 ④ 圖。

第三，教師繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生想象與思考：按照這樣的規(guī)律，還會出現(xiàn)鋪不滿的長方形嗎？照這樣分下去，小正方形的面積會越來越接近什么呢？

面積的本質(zhì)和特性是平面圖形面積學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，尤其是本質(zhì)意義的抽象和特性的理解兩者的整合。教師結(jié)合多元表征的方式，讓學(xué)生經(jīng)歷動手操作、用圖說明、語言表達(dá)、用數(shù)符號表示面積大小，以及具體實(shí)例、割補(bǔ)轉(zhuǎn)化、單位面積動態(tài)變換等，實(shí)現(xiàn)了用數(shù)符號與面積大小的對應(yīng)表達(dá)，以及需要滿足的一些特性之間的來回溝通與轉(zhuǎn)化過程。學(xué)生經(jīng)歷這樣的結(jié)構(gòu)性學(xué)習(xí)過程，逐步理解了面積的本質(zhì)和特性的內(nèi)涵，建立了關(guān)于面積概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。由此，學(xué)生的結(jié)構(gòu)性思維得到培育，這為他們后續(xù)學(xué)習(xí)平面圖形面積計算知識奠定了良好的基礎(chǔ)。

二、多維度聯(lián)結(jié)，有序拓展，在助力結(jié)構(gòu)完善中讓結(jié)構(gòu)性思維得到提升

布魯納指出，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣關(guān)聯(lián)的。數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系是非常緊密的，而其在教材中的呈現(xiàn)是點(diǎn)狀的、跳躍式的。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過溝通、轉(zhuǎn)換和融合，打開“壓縮化”的知識，將有聯(lián)系的知識聯(lián)結(jié)起來，助力組建完善的知識結(jié)構(gòu)，使學(xué)生的結(jié)構(gòu)性思維有生長力。

例如，在教學(xué)“直線平面圖形的面積計算公式”時，教師基于圖形面積相互轉(zhuǎn)化的視角，應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，引導(dǎo)學(xué)生尋找聯(lián)結(jié)關(guān)系，拓展知識結(jié)構(gòu)，從而形成完整的知識結(jié)構(gòu)體系。

一是建構(gòu)圖形之間元素關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，如在學(xué)習(xí)“長方形和正方形的面積”時，從學(xué)生已有的面積認(rèn)知經(jīng)驗出發(fā)，用單位面積小正方形拼擺等方法，推導(dǎo)出長方形（正方形）面積公式后，又引導(dǎo)學(xué)生觀察長方形（正方形）兩條邊之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)長方形（正方形）之所以可以用作為單位面積的小正方形進(jìn)行拼擺、度量，是因為長方形（正方形）兩條邊互相垂直。在學(xué)習(xí)平行四邊形的面積公式時，教師可以結(jié)合把平行四邊形分割并拼成面積相等的長方形圖，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較后得出“原來平行四邊形的底和高，相當(dāng)于拼成的長方形的長和寬”。這樣，學(xué)生就清晰地理解了平行四邊形面積、底和高與長方形面積、長和寬之間的元素關(guān)聯(lián)，為后面平行四邊形面積公式的推導(dǎo)做了很好的鋪墊。用同樣的方法，把三角形、梯形割拼成長方形，引導(dǎo)學(xué)生了解三角形（梯形）的面積、底和高與拼成的長方形的面積、長和寬（底和高）之間的關(guān)聯(lián)。如此，學(xué)生在直線平面圖形之間建構(gòu)起關(guān)于面積計算核心元素的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，即“都是在相互垂直的一組線段的乘積基礎(chǔ)上進(jìn)行的一種關(guān)聯(lián)變化”。

二是建構(gòu)圖形之間轉(zhuǎn)化的方法結(jié)構(gòu)。如在學(xué)習(xí)平行四邊形面積時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從反思、推導(dǎo)其面積公式的過程中發(fā)現(xiàn)割補(bǔ)的方法，這樣在不改變圖形面積的情況下，就可以通過改變圖形的形狀，建立起平行四邊形與長方形的元素聯(lián)結(jié)，推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式，用同樣的圖形轉(zhuǎn)化方法引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)三角形、梯形與平行四邊形的面積計算核心元素關(guān)聯(lián)，推導(dǎo)出它們的面積計算公式。在學(xué)習(xí)完上述系列圖形面積公式的推導(dǎo)方法后，教師從轉(zhuǎn)化的方法視角統(tǒng)整，按知識發(fā)展的邏輯關(guān)聯(lián)，從長方形出發(fā)，構(gòu)筑成塊，以便學(xué)生突破知識結(jié)構(gòu)的局限性，從知識結(jié)構(gòu)走向方法結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)一次認(rèn)知的飛躍，從而促進(jìn)學(xué)生的知識建構(gòu)。

上述教學(xué)中，比較、觀察、反思、轉(zhuǎn)化等方法的運(yùn)用過程，實(shí)質(zhì)上是將要發(fā)展的新知識與面積本質(zhì)特性等已有知識聯(lián)結(jié)的過程。學(xué)生在溝通、轉(zhuǎn)換、融合中建立整體性的結(jié)構(gòu)體系，從而提升結(jié)構(gòu)性思維。

三、在多層次應(yīng)用中解決問題，助力結(jié)構(gòu)遷移，讓結(jié)構(gòu)性思維得到深化

學(xué)生將自己所學(xué)知識遷移到新情境的能力為適應(yīng)性和靈活性學(xué)習(xí)提供了一個重要的標(biāo)志。應(yīng)用與解決問題是從“學(xué)結(jié)構(gòu)”到“用結(jié)構(gòu)”的遷移過程，在全新情境下，學(xué)生能識別儲備知識，并進(jìn)行有效應(yīng)用。這樣，學(xué)生就把學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)的經(jīng)驗快速遷移到了新的情境中，類比學(xué)習(xí)新知，解決新的問題，再建立新結(jié)構(gòu)。

例如，在教學(xué)“釘子板上的多邊形”時，當(dāng)學(xué)生看到探究問題因為“多邊形邊上的釘子數(shù)”和“釘子板內(nèi)部的釘子數(shù)”同時變化，無法看出釘子板上的多邊形面積與邊上釘子數(shù)以及內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系時，教師可相機(jī)引導(dǎo)學(xué)生回憶研究“積的變化規(guī)律”時采用的方法，即固定一個因數(shù)不變，看另一個因數(shù)與積的變化規(guī)律。由此學(xué)習(xí)方法遷移得出，研究釘子板上的多邊形面積問題時，也可以固定多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)，來研究多邊形邊上釘子數(shù)與面積之間的關(guān)系。教師引導(dǎo)學(xué)生從內(nèi)部釘子數(shù)為1的情況入手研究，在不同的多邊形中找到相同點(diǎn)，通過對比觀察、舉例驗證，得出規(guī)律。在這樣解決問題的過程中，學(xué)生學(xué)會了把新知納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的方法，形成了新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

綜上所述，學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中，借助已有知識結(jié)構(gòu)經(jīng)驗、思維結(jié)構(gòu)經(jīng)驗以及數(shù)學(xué)思想方法基礎(chǔ)，運(yùn)用類比學(xué)習(xí)新知的數(shù)學(xué)方法，在經(jīng)歷用結(jié)構(gòu)化思維解決問題的過程中，在更高的層面上實(shí)現(xiàn)了理解與遷移，發(fā)展了結(jié)構(gòu)化思維。

【參考文獻(xiàn)】

中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022