[中圖分類號] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1674-6058（2025）17-0019-04

一、提出問題

在當(dāng)前的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，教師通常采取“知識點(diǎn)歸納、典型例題剖析、針對性訓(xùn)練”的三環(huán)節(jié)教學(xué)方法.此方法明顯是教師在掌控課堂，學(xué)生僅作為聽眾被動(dòng)接受知識.事實(shí)上，這種教條化的復(fù)習(xí)課，本質(zhì)上就是簡單重復(fù)的練習(xí).加之，部分教師在設(shè)計(jì)題目時(shí)往往以量制勝，容易忽視試題的難易梯度，如此一來，學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)就難以把握知識的深淺，導(dǎo)致復(fù)習(xí)課高耗低效.

要實(shí)現(xiàn)高品質(zhì)的復(fù)習(xí)教學(xué)，需要教師做到心中有學(xué)生，并以新課標(biāo)為導(dǎo)向，采用適配學(xué)情的教學(xué)方法.教師只有做到“了解學(xué)生已有什么、缺什么、應(yīng)該怎么做”，才能有的放矢地實(shí)施教學(xué).復(fù)習(xí)課的重點(diǎn)不僅在于知識與方法的再現(xiàn)，還要注重知識的梳理和能力的培養(yǎng)，尤其是關(guān)鍵能力和良好思維品質(zhì)的培養(yǎng)1.因此，本文以“學(xué)為中心”作為教學(xué)立足點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從“四會\"出發(fā)，在復(fù)習(xí)課中運(yùn)用知識的同時(shí)形成新的理解，促成學(xué)生自主學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)，把發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的根本任務(wù)落實(shí)到課堂教學(xué)中.

二、高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中的“四會”策略

（一）會審視情境，激活思維

美國著名教育家杜威指出，思維的產(chǎn)生主要依賴于直接經(jīng)驗(yàn)的情境，思維的目的和結(jié)果也是由直接經(jīng)驗(yàn)的情境所決定的.科學(xué)的復(fù)習(xí)課必然是先創(chuàng)設(shè)問題情境，引領(lǐng)學(xué)生在情境中審問、思考，然后再由學(xué)生提出問題，開始探究、研析.學(xué)生通過分析，能夠洞悉情境背后的知識本質(zhì)，并將其與已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)建立有效鏈接，促成新認(rèn)知圖式的建構(gòu)，增強(qiáng)學(xué)以致用和活學(xué)活用的能力，豐富自身的認(rèn)知體驗(yàn)，拓展激活思維的途徑.這一過程有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，由此將復(fù)習(xí)課的定位由“解題\"轉(zhuǎn)向“解決問題”.

[例1]（2025年八省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷第14題）已知曲線 ，兩條直線 l₁，l₂ 均過坐標(biāo)原點(diǎn)o，l₁ 和 c 交于 M，N 兩點(diǎn)， l₂ 和 c 交于 P，Q 兩點(diǎn).若ΔOPM 的面積為 ，則 Δ MNQ的面積為

命題者以學(xué)生不熟悉的曲線作為背景，考查學(xué)生綜合分析問題的能力.若學(xué)生不假思索地直接去求這幾個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)算量必然會大幅增加.因此，教師應(yīng)以“多想少算”的理念為指引，引導(dǎo)學(xué)生審視試題情境.例如，從函數(shù)與方程的角度審視曲線，由 ΔOPM 的面積為 求 Δ MNQ的面積，必然需要分析圖形的特征.本題并未給出直線 l₁，l₂ 對應(yīng)的方程，這表明題目的解答與直線的方程無關(guān).而過原點(diǎn)的直線必然關(guān)于原點(diǎn)對稱，同時(shí)函數(shù) f（x）= 是奇函數(shù)，其圖象也關(guān)于原點(diǎn)對稱，由此可推導(dǎo)出 顯然，對本題的解答，只需要關(guān)注曲線 C 關(guān)于原點(diǎn)對稱這一特征，至于曲線的圖象形態(tài)，并不會影響解題的思路.

上述是一道以“對稱”為題眼的典型題目，考查學(xué)生是否具備極簡思維.在復(fù)習(xí)教學(xué)中，為豐富學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，教師可從多個(gè)維度激活學(xué)生的思維，并設(shè)置具有類似背景的題目.例如，設(shè)雙曲線 的左、右焦點(diǎn)為 過原點(diǎn)的直線與 T 交于 A，B 兩點(diǎn) ，求 T 的離心率.

鑒于此，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，遇到上述類似題目時(shí)，教師可從“幾何\"和“代數(shù)”兩個(gè)視角綜合審視研究對象的數(shù)學(xué)特征，將問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)和特征來研究，這有助于引導(dǎo)學(xué)生調(diào)整思維發(fā)展的整體方向，喚醒學(xué)生的問題意識，進(jìn)而疏通知識線索脈絡(luò).

（二）會變換思路，發(fā)展思維

會變換視角思考問題是一種能力，也是一種智力價(jià)值.在解題時(shí)，準(zhǔn)確把握題目中的條件和結(jié)論之間的有機(jī)聯(lián)系，挖掘其中的隱蔽關(guān)系，并巧妙地變換思路.如此，便能夠從看似毫無破解頭緒的“新面孔”問題中捕捉到有用的信息.從知識層面來看，變換問題解決思路，不僅可以重溫所學(xué)知識，還可以拓展知識寬度，強(qiáng)化知識關(guān)聯(lián)，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，加深對基礎(chǔ)知識和基本技能的理解.從思想方法層面來看，變換問題解決思路，聯(lián)系所掌握的技能并作出合理判斷，遷移過往問題解決的經(jīng)驗(yàn)，可激發(fā)學(xué)生從多角度、多層面思考問題，促進(jìn)思維的變通、流暢和靈活，推動(dòng)學(xué)生思維發(fā)展，幫助學(xué)生解題悟道、啟智增慧[2].

[例2]已知 x，y 均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足 2x+y=1 求 的最小值.

求二元函數(shù)的最值問題，是復(fù)習(xí)課中能夠有效鍛煉學(xué)生思維的一類典型題目.在課堂教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生減元”例如本題中，將所求代數(shù)式的最小值轉(zhuǎn)化為求函數(shù) 的最小值，設(shè) f（x）=t ，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為 ?_t-x=? ，兩邊同時(shí)平方得 4x²-2（2-t）x+ 1-t²=0 ，由判別式是非負(fù)的，求出 Φ_t 的范圍.或者根據(jù) 的代數(shù)特征，去掉根號，取 x=rcosθ 那么由 2x+y=1 得2rcosθ+rsinθ=1 ，所求的代數(shù)式便化為 rcosθ+r= ，整理得 φ_φ）=1 ，于是 ，解得 上述兩種思路均從代數(shù)視角出發(fā)，關(guān)鍵在于對代數(shù)形式進(jìn)行合理變換，將其轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的方程或者不等式.將函數(shù)、方程與不等式進(jìn)行有機(jī)聯(lián)系，豐富了問題解決的途徑.

若從幾何的角度研究例2，將 2x+y=1 看作一條直線，則 可以理解為該直線上一點(diǎn)P（x₀，y₀） 的橫坐標(biāo) x₀ 與點(diǎn) P 到原點(diǎn) （0，0） 的距離之和.那么，求距離的最值問題就轉(zhuǎn)換為典型的“將軍飲馬”問題.如圖1所示，作出點(diǎn) o 關(guān)于直線 2x+y=1 對稱的點(diǎn)Q ，并計(jì)算出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 ，其中橫坐標(biāo) 即為所求最小值.

圖1

復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師在引導(dǎo)學(xué)生變換問題解決思路時(shí)，無形中實(shí)現(xiàn)了從“授魚\"到“授漁”再到“學(xué)漁”的轉(zhuǎn)變.這里的“學(xué)漁”意指學(xué)生學(xué)會思考，善于從不同的角度分析問題，把原本固定的題目變成“長流活水”復(fù)習(xí)教學(xué)中不一定要提倡一題多解，可以在有限的分析思路內(nèi)豐富思維的層次性2.通過變換問題解決思路，學(xué)生可獲得高水平的思維訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)從低階思維向高階思維的進(jìn)階.

（三）會說理辨析，梳理思維

會辨析的重要價(jià)值在于遇到新問題時(shí)不盲目下結(jié)論，能透過現(xiàn)象看清本質(zhì)，思維中會有意識地追根溯源，然后通過說理，讓自身自然的思考狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)樯朴谒伎肌?yán)謹(jǐn)思考的狀態(tài)，讓整個(gè)分析與綜合過程包含質(zhì)疑、推理、論證和辨析等環(huán)節(jié)，使理性思考成為一種習(xí)慣.實(shí)際上，在說理辨析的過程中，學(xué)生能無形中將碎片化的知識進(jìn)行系統(tǒng)化梳理，完善存在缺漏的知識網(wǎng)絡(luò)，促使相關(guān)知識得到應(yīng)用.由此可見，復(fù)習(xí)課中的說理辨析關(guān)鍵在于“辨”與“析”，二者能及時(shí)糾正學(xué)生對知識點(diǎn)的理解偏差.教師可將其作為重要的教學(xué)契機(jī)，通過梳理、辨析，探尋學(xué)生的思維盲點(diǎn)，疏通學(xué)生的思維堵點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生良好的思維品質(zhì)[].

例如，在不等式性質(zhì)的專題復(fù)習(xí)時(shí)，常見如\"已知 -1 ，求出 λ，μ 即可.

由此可見，教師引導(dǎo)學(xué)生說理辨析，能夠從相似的問題情境中有效地提煉問題本質(zhì)，引發(fā)學(xué)生的思維需求，讓學(xué)生從解題的方法和規(guī)律等方面進(jìn)行反思和總結(jié)，從而促進(jìn)學(xué)生思維回溯，使其感受知識的生成過程，促使思維進(jìn)階.

（四）會遷移創(chuàng)新，升華思維

遷移是學(xué)習(xí)活動(dòng)的重要規(guī)律.復(fù)習(xí)課的重要價(jià)值之一就是將已掌握的知識、技能以及在知識建構(gòu)中蘊(yùn)含的思維方法應(yīng)用到新的問題情境中，這一過程不僅對學(xué)生探尋新知和掌握新技能產(chǎn)生影響，還能讓學(xué)生創(chuàng)造性地解決問題.遷移創(chuàng)新的內(nèi)容是多元化的，既可以是具體的概念、方法和規(guī)律，也可以是思維策略和方式.換言之，遷移創(chuàng)新的目的不僅在于解決眼前的問題，更在于鞏固和發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，讓學(xué)生綜合運(yùn)用已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，將知識重新排列、組合并建立起新的聯(lián)系，在經(jīng)歷被喚醒、提取、整合等心理過程中升華思維，進(jìn)而達(dá)成“活化\"知識應(yīng)用的目的[3].

例如，在復(fù)習(xí)解三角形中的范圍問題時(shí)，常見如“已知 ΔABC 的三個(gè)內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為a，b，c ，若 b=2，B=60^° ，求 a+c 的取值范圍\"這類題目.教師可以引導(dǎo)學(xué)生從“形\"和\"數(shù)\"兩個(gè)視角進(jìn)行關(guān)聯(lián)，促進(jìn)知識結(jié)構(gòu)化.以正弦定理為突破口，得到 ，點(diǎn) B 的運(yùn)動(dòng)軌跡是 ΔABC 外接圓的一部分;從余弦定理出發(fā)，得到cosB=α2+c2-b2，即 a²+c²-4=ac ，從而得出 a，c 的關(guān)系.

在上述例題中，若將求 a+c 的取值范圍視為求二元函數(shù)的最值問題，則學(xué)生需回顧解決二元函數(shù)范圍問題的基本方法.第一種思路是聯(lián)系基本不等式，由 a²+c²-4=ac ，得 （a+c）²=4+3ac? ，解得 a+c?4. 第二種思路是“減元”，由a+c=2R（sinA+sinC） 進(jìn)一步計(jì)算可得 至此，雖然能完成題目的解答，但是在發(fā)展學(xué)生的思維能力方面明顯欠缺.教師繼續(xù)提問：“根據(jù)所求的 a+ ∣c∣ 還能聯(lián)想到哪些幾何量？能否從幾何的角度對問題進(jìn)行變式？\"教師可以先提供一種思路，如由 a+ ∣c∣ ，聯(lián)想到周長 a+b+c ，再聯(lián)想到面積 ，即出現(xiàn)了 ac. 教師再順勢提問：“若取點(diǎn) D 為 AC 的中點(diǎn)，從向量的角度出發(fā)，你能有什么收獲？\"引導(dǎo)學(xué)生得出：由中線 BD ，聯(lián)想到將 作為一組基底表示 ，即 ，平方后得 c²+ac ，結(jié)合 a²+c²-4=ac ，消元后，可轉(zhuǎn)化為求a²+c² 或 ac 的范圍問題.再進(jìn)一步，教師也可豐富其他求解問題的視角，比如求 或 的取值范圍等.

誠然，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，若能給學(xué)生提供一個(gè)遷移創(chuàng)新的平臺，學(xué)生定會回饋令人驚喜的學(xué)習(xí)效果.教師要始終圍繞“關(guān)鍵能力提升\"這一目標(biāo)，促進(jìn)學(xué)生對知識的內(nèi)化.引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)的知識進(jìn)行回憶、整理與重構(gòu)，能使學(xué)生的\"四基、四能\"在復(fù)習(xí)課中獲得不同程度的提升.

三、教學(xué)啟示

陶行知先生曾說：“教而不做，不是教；學(xué)而不做，不是學(xué).”因此，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，教師應(yīng)將“教\"“學(xué)\"“做”相結(jié)合，通過典例呈現(xiàn)、點(diǎn)撥引領(lǐng)、誘導(dǎo)思考、總結(jié)反思等方式給學(xué)生提供審視情境、變換思路、說理辨析及遷移創(chuàng)新的機(jī)會，以促使學(xué)生深度參與課堂教學(xué)活動(dòng)，并在“學(xué)有所思、學(xué)有所問”的學(xué)習(xí)體驗(yàn)中厘清解決問題的思維脈絡(luò).如此一來，有助于學(xué)生對新獲取的知識和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行系統(tǒng)整理，使其對知識結(jié)構(gòu)形成全新的認(rèn)識，并培養(yǎng)其對研究問題所涉及的知識內(nèi)容進(jìn)行深層次加工的意識與能力，進(jìn)而發(fā)展思維能力，這才是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課理應(yīng)達(dá)到的深度.通過凝練“四會”的復(fù)習(xí)教學(xué)實(shí)踐路徑，筆者獲得如下教學(xué)啟示.

（一）以“三個(gè)理解”為根基設(shè)計(jì)教學(xué)

通過教學(xué)實(shí)現(xiàn)“知識本位”向“素養(yǎng)本位”的轉(zhuǎn)變，是新課程改革的重要關(guān)注點(diǎn)之一.因此，教師的教學(xué)設(shè)計(jì)思路尤為關(guān)鍵，在理解數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的同時(shí)，必須兼顧理解學(xué)生和理解教學(xué).從這三個(gè)理解維度展開深入思考，能更精準(zhǔn)地設(shè)置突出重點(diǎn)和突破難點(diǎn)的核心素養(yǎng)目標(biāo).對復(fù)習(xí)課而言，既要講究復(fù)習(xí)的合理性、針對性，又要注重復(fù)習(xí)的發(fā)展性、實(shí)效性.尤其是對于抽象知識的復(fù)習(xí)，要有適度取舍的理念.比如，僅快速地羅列和重復(fù)新授課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容，難以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，因?yàn)檫@種方式無法有效激發(fā)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力.基于“三個(gè)理解”來設(shè)計(jì)教學(xué)，應(yīng)將教材作為備課起點(diǎn)，合理選取典例，避免片面追求“新、奇、難”，著重夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識和強(qiáng)化學(xué)生的基本技能.通過復(fù)習(xí)教學(xué)，讓學(xué)生在梳理知識的過程中進(jìn)行知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建，在重視解題技巧的同時(shí)更加關(guān)注思維進(jìn)階，并深化對本源性知識的深層次理解.例如，在“基本不等式”的教學(xué)中，教師需要在理解“基本不等式\"的本質(zhì)、理解“基本不等式”的應(yīng)用以及理解學(xué)生當(dāng)前掌握“基本不等式”的思維層次的基礎(chǔ)上開展系列探究和變式教學(xué)，從而厚植“基本不等式\"模型素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生函數(shù)思想，促進(jìn)他們深度學(xué)習(xí).

（二）以問題為中心統(tǒng)領(lǐng)復(fù)習(xí)教學(xué)

“問題”是復(fù)習(xí)教學(xué)中串聯(lián)并鞏固知識的交織點(diǎn).貫穿在復(fù)習(xí)課中的“問題”需要承載知識回顧、激發(fā)思維、檢查診斷的功能，同時(shí)又是增進(jìn)師生之間的對話交流，啟發(fā)學(xué)生思維，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與，實(shí)現(xiàn)預(yù)期教學(xué)目標(biāo)的重要手段.由于不同層次的學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解不同，對應(yīng)的核心素養(yǎng)目標(biāo)定位也不同.因此，教師要以問題為中心統(tǒng)領(lǐng)復(fù)習(xí)教學(xué)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，讓學(xué)生學(xué)有所思，學(xué)有所悟.通過教師提出的問題，學(xué)生可厘清知識的來龍去脈，積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并對學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行深度加工，從而形成對所學(xué)知識的全新認(rèn)識，加強(qiáng)對同一研究對象有不同表征視角的能力培養(yǎng).例如，對于“隱藏圓的軌跡”這一問題，可以基于如下三種思路表征來設(shè)置問題： ① 已知 A（0，1），B（4，1） 直線 3x-4y+a=0 上存在點(diǎn) c ，滿足 求實(shí)數(shù) α_a 的取值范圍； ② 已知 A（1，1），B（3，1） ，直線3x-4y+a=0 上存在點(diǎn) C ，滿足 AC²+BC²=10 ，求實(shí)數(shù) Φ_a 的取值范圍； ③ 已知 A（3，1），B（9，1） ，直線 3x- 4y+a=0 上存在點(diǎn) c ，滿足 BC=3AC ，求實(shí)數(shù) Ψ_a 的取值范圍.將“圓\"可能出現(xiàn)的基本形式通過上述系列問題來呈現(xiàn)，能使學(xué)生充分體會到轉(zhuǎn)化與化歸思想，將知識進(jìn)行有機(jī)串聯(lián)，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

（三）以思維為核心促進(jìn)能力發(fā)展

復(fù)習(xí)教學(xué)旨在促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知的深化與思維方式的優(yōu)化.學(xué)生認(rèn)知思維的優(yōu)化有利于完善知識結(jié)構(gòu)、打破思維定式、統(tǒng)整思維策略和思想方法；有利于在延伸拓展中對比提煉相似問題的共同本質(zhì)，并能在教師的提示或自主感悟過程中展開審辨，如思考“如何解決這個(gè)問題”“這個(gè)問題為什么這么解”“這樣的問題還能怎么解”等，從而深化對知識的理解，優(yōu)化問題解決的方法.

例如，在“直線與圓的位置關(guān)系”的復(fù)習(xí)中，教師可探照學(xué)生的思維發(fā)展線路，引導(dǎo)學(xué)生概括出如圖2所示的思維導(dǎo)圖.

圖2“直線與圓的位置關(guān)系\"思維導(dǎo)圖

基于學(xué)生的思維發(fā)展，以思維導(dǎo)圖的形式提煉關(guān)鍵內(nèi)容信息，可以使原本模糊的概念變得清晰，使原本碎片化的內(nèi)容變得系統(tǒng)化、完整化.這不僅可以不斷促進(jìn)學(xué)生的理解和鞏固，為學(xué)生的學(xué)習(xí)鋪設(shè)清晰的路徑，還可以對標(biāo)新課標(biāo)，落實(shí)“四基”，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的“四能”.

[參考文獻(xiàn)］

[1」羅建宇.從幾個(gè)問題談高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)有效性[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（12）：41-44.

[2」陳麗萍.讓數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“活”起來[J].中小學(xué)教學(xué)研究，2015（2）：55-58.

[3]毋曉迪，陳輝坤，鞠騰基.凝練習(xí)題教學(xué)路徑發(fā)展過程分析能力[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2023（11）：11-16.

（責(zé)任編輯 羅艷）