1數(shù)學(xué)思想方法類單元教學(xué)的研究背景

當(dāng)前，基礎(chǔ)教育領(lǐng)域的課程改革圍繞“立德樹人”教育根本任務(wù)，發(fā)布新的課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)[1-3]，倡導(dǎo)“單元教學(xué)”“跨學(xué)科教學(xué)”“項目式學(xué)習(xí)\"等新型教學(xué)方式[47]，旨在培養(yǎng)學(xué)生的綜合實踐能力與核心素養(yǎng)[8-I].其中，單元教學(xué)在短期內(nèi)即取得了大量研究，查詢中國知網(wǎng)可知：僅2019—2023這五年《數(shù)學(xué)通報》就發(fā)表單元教學(xué)的文章30多篇，而此前數(shù)十年《數(shù)學(xué)通報》發(fā)表相關(guān)文章不過10余篇.這些研究既包括理論層面的一般探討（如單元教學(xué)的概念特征、發(fā)展歷程、理論依據(jù)、實施策略等），也包括實踐層面的具體操作（如單元教學(xué)的單元分類、設(shè)計實施、評價反饋等）[12].當(dāng)然，也不乏研究者對單元教學(xué)的冷靜思考與辯證分析[4].

筆者發(fā)現(xiàn)，已有研究側(cè)重教材某一章節(jié)教學(xué)內(nèi)容的重組、側(cè)重數(shù)學(xué)知識技能類的單元教學(xué)，較少關(guān)注跨年級、跨學(xué)段教材的重組，較少關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法類的單元教學(xué).這就窄化了單元教學(xué)的功能和意義，削弱了數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)地位和育人價值.數(shù)學(xué)思想方法類單元教學(xué)需要研究與實踐.

事實上，已有研究者借鑒課程的分類法（階梯型課程、項目型課程），將學(xué)習(xí)單元分為階梯型、項目型（問題解決型）兩大類，并將階梯型劃分為知識技能類、思想方法類，如圖1所示[13].這種分類契合了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所提出的數(shù)學(xué)“四基”：基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經(jīng)驗.圖1還顯示，知識技能類的學(xué)習(xí)單元可以較多地依據(jù)教科書的章節(jié)自然劃分成單元，而思想方法類的學(xué)習(xí)單元則需要教師較多地進行跨章節(jié)的創(chuàng)造性重組.

2數(shù)學(xué)思想方法類單元教學(xué)的實施流程

不同類型的學(xué)習(xí)單元所對應(yīng)的單元教學(xué)流程有較大差異，這里給出數(shù)學(xué)思想方法的含義及其單元教學(xué)的實施流程.

數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識內(nèi)容及其所使用方法的本質(zhì)認(rèn)識.它蘊涵于具體的內(nèi)容與方法之中，又經(jīng)過了提煉與概括，成為理性認(rèn)識.它直接支配數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐活動，數(shù)學(xué)概念的掌握、數(shù)學(xué)理論的建立、解題方法的運用、具體問題的解決，無一不是數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn)和應(yīng)用[14].

重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是我國數(shù)學(xué)教育的特色與傳統(tǒng).數(shù)學(xué)思想方法既可以在數(shù)學(xué)知識技能的教學(xué)中進行滲透，也可以通過專題式教學(xué)進行系統(tǒng)學(xué)習(xí)，也就是思想方法類單元教學(xué).南京師范大學(xué)喻平教授給出了數(shù)學(xué)思想方法類單元教學(xué)的一般流程，如圖2所示[12]

（1）首先是確定數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法本身也是極為系統(tǒng)的一門學(xué)科，其層次各異、種類繁多.教師要結(jié)合具體的數(shù)學(xué)知識與技能、待解決的大量數(shù)學(xué)問題，精選相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法.因為數(shù)學(xué)思想方法不可能脫離知識技能而單獨存在，它的適用對象也不可能只是少數(shù)問題（否則就不稱其為思想、方法了）.

（2）然后圍繞確定的數(shù)學(xué)思想方法設(shè)計或配置相應(yīng)的題組（或稱問題串、問題鏈），開展變式教學(xué).要注意題組的典型性與層次性，既要以一當(dāng)十又要拉開梯度，防止題海戰(zhàn)術(shù)與機械重復(fù)訓(xùn)練.

（3）接下來是師生共同解決問題的環(huán)節(jié).與其他數(shù)學(xué)課相比，思想方法類單元教學(xué)的這一環(huán)節(jié)有其獨特優(yōu)勢，因為解決問題的“金鑰匙”已經(jīng)明確了，就是所講的數(shù)學(xué)思想方法；解決問題的“腳手架”已經(jīng)搭好了，就是所選的題組（問題串、問題鏈）.因此，這一環(huán)節(jié)可充分發(fā)揮學(xué)生的主體性與創(chuàng)造性，教師作適當(dāng)引導(dǎo)與點撥，讓學(xué)生充分感受“勢如破竹”“攻城奪地”的學(xué)習(xí)成就，感悟數(shù)學(xué)思想方法的威力與魅力.

（4）最后的回顧總結(jié)環(huán)節(jié)必不可少，教師要引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)發(fā)展和數(shù)學(xué)問題解決的根本力量，獲得對數(shù)學(xué)思想方法的整體理解，既包括其普適性也包括其局限性（沒有萬能的思想、方法）.

3數(shù)學(xué)思想方法類單元教學(xué)的設(shè)計案例

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓.根據(jù)廣大教師教學(xué)經(jīng)驗，中學(xué)數(shù)學(xué)最常見的思想方法包括分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等.下面以“數(shù)形結(jié)合”為例，開展數(shù)學(xué)思想方法類單元教學(xué)的實踐與思考.

3.1 確定數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，笛卡兒通過直角坐標(biāo)系把平面上的點與數(shù)對應(yīng)起來，創(chuàng)立了解析幾何，這是數(shù)學(xué)上的一個重大突破.華羅庚的名言“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，其實就是數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的使用指南.

鑒于數(shù)形結(jié)合的重要價值及其工具（橋梁）的多樣性，以及對數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的獨特作用，筆者在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考階段利用2課時開展“數(shù)形結(jié)合”思想方法類單元教學(xué)的實踐

3.1.1 內(nèi)容分析

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)，數(shù)與形是中學(xué)數(shù)學(xué)中被研究得最多的兩個側(cè)面.數(shù)形結(jié)合是一種極富數(shù)學(xué)特點的信息轉(zhuǎn)換，它把代數(shù)方法與幾何方法中的精華都集中了起來，既發(fā)揮代數(shù)方法的一般性、解題過程的程序化與機械化優(yōu)勢，又發(fā)揮幾何方法的形象直觀特征，形成一柄雙刃的解題利劍.數(shù)軸和坐標(biāo)系，函數(shù)及其圖象，曲線及其方程，復(fù)數(shù)及其復(fù)平面，向量，以及坐標(biāo)法、三角法、構(gòu)造圖形法等都是數(shù)形結(jié)合的輝煌成果.具體解題中的數(shù)形結(jié)合，是指對問題既進行幾何直觀的呈現(xiàn)，又進行代數(shù)抽象的揭示，兩方面相輔相成，而不是簡單地代數(shù)問題用幾何方法或幾何問題用代數(shù)方法（這兩方面都只是單流向的信息溝通），只有雙流向的信息溝通才是完整的數(shù)形結(jié)合[14].

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確指出，“數(shù)形結(jié)合”是“直觀想象”核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)[1]6；“幾何與代數(shù)”是高中數(shù)學(xué)課程的主線之一，要突出幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合，即通過形與數(shù)的結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，加強對數(shù)學(xué)整體性的理解[1]25.這就確立了“數(shù)形結(jié)合”的課程意義.

3.1.2 學(xué)情分析

學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想方法并不陌生，從小學(xué)數(shù)學(xué)的畫格子、畫線段圖解決問題，到初中數(shù)學(xué)的用幾何圖形驗證代數(shù)中的乘法公式以及設(shè)未知數(shù)求解平面幾何中的線段、角度問題，再到高中數(shù)學(xué)的函數(shù)（解析式與圖象）解析幾何（曲線與方程）等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生都接受了數(shù)形結(jié)合思想方法的熏陶.但學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想方法的具體含義還不明了，對數(shù)形結(jié)合的常用工具（或橋梁）還不清晰，更沒有形成系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知.

3.1.3 教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)上述內(nèi)容分析及學(xué)情分析，將本次“數(shù)形結(jié)合”單元教學(xué)的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為：

① 理解數(shù)形結(jié)合的基本含義、基本形式（以形釋數(shù)、以數(shù)解形）、常用工具，能應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解決一些典型的問題;

② 經(jīng)歷數(shù)形結(jié)合解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題的一般過程，積累數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)、研究與應(yīng)用經(jīng)驗；

③ 感悟代數(shù)與幾何的聯(lián)系，認(rèn)識數(shù)學(xué)的整體性，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

3.2 圍繞方法設(shè)計題組

數(shù)形結(jié)合不但可以溝通數(shù)學(xué)的不同分支，而且聯(lián)想豐富、構(gòu)思巧妙，對思維能力要求較高.數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，數(shù)形結(jié)合往往藏于無形.為降低思維難度、增加思維附著點，筆者按“代數(shù)問題幾何化”“幾何問題代數(shù)化”兩個方向進行題組設(shè)計.題組素材貫穿初高中兩個學(xué)段，主要來自教材例題習(xí)題、中高考題.從題組素材來看，“數(shù)形結(jié)合”是貫穿初高中數(shù)學(xué)的一個大概念、大觀念，是初高中數(shù)學(xué)銜接教學(xué)的重要工具，是促進學(xué)生形成初等數(shù)學(xué)深度理解與整體認(rèn)知的有效途徑.

3.2.1 代數(shù)問題幾何化

一些代數(shù)問題，通過幾何圖形、數(shù)軸、坐標(biāo)系、函數(shù)圖象等工具，可以轉(zhuǎn)化為幾何問題，從而通過幾何直觀或幾何推理獲解，即所謂的“以形釋數(shù)”.

（1）等式、方程、函數(shù)問題

問題1-1與同桌一起合作學(xué)習(xí)，回憶初中以來用幾何圖形解釋數(shù)學(xué)公式（等式）的案例（不少于3個）.

問題1-2（蘇教版必修一第14頁例2）學(xué)校舉辦了排球賽，高一（1）班45名同學(xué)中有12名同學(xué)參賽.后來又舉辦了田徑賽，班上有20名同學(xué)參賽.已知兩項都參賽的有6名同學(xué).兩項比賽中，高一（1）班共有多少名同學(xué)沒有參加過比賽？

問題1-3 （蘇教版必修一第253、254頁第4、15題改編）

（i）函數(shù) f（x）=log₂x-x+1 的零點是（ii）若關(guān)于 x 的方程 x-a∣=ax 有兩個解，則實數(shù) α_a 的取值范圍是

問題1-4 歐幾里得《幾何原本》記載，形如 x²+ ax=b²（agt;0，bgt;0） 的方程的圖解法是：如圖3，作RtΔABC ，使 ∠ACB=90^° ， ，再在斜邊

圖3

AB 上截取 ，則該方程的一個正根是）.

A. CD 的長 B.AC的長C.AD 的長 D.BC 的長

設(shè)計意圖這組題首先通過合作學(xué)習(xí)激活學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與認(rèn)知經(jīng)驗，然后引導(dǎo)學(xué)生通過“以形釋數(shù)”解決等式、方程、函數(shù)問題，涉及的“數(shù)形結(jié)合”工具包括文恩圖、函數(shù)圖象、直角三角形等.

（2）不等式問題.

問題2-1 （蘇教版必修一第75頁第16題改編）對任意兩個正數(shù) ^a，b ，求證

問題2-2（蘇教版必修一第193頁第21題）已知銳角 x （單位是弧度），比較 的大小關(guān)系.

設(shè)計意圖 這組題引導(dǎo)學(xué)生通過“以形釋數(shù)”解決不等式問題，涉及的“數(shù)形結(jié)合”工具包括幾何圖形（梯形或圓）、三角函數(shù)線等.

（3）最值問題.

問題3-1（滬教版必修一第43頁例17改編）已知 x 為實數(shù)，則 |x-3∣+|x-5∣ 的最小值是

問題3-2 如果直線 是實數(shù)）與定直線 y=2x-4 的交點在第三象限，則 m 的取值范圍是

問題3-3 ① 如果正實數(shù) ^a，b 滿足 a+b=3 ，則 的最小值是

② 代數(shù)式 的最小值是

設(shè)計意圖 這組題引導(dǎo)學(xué)生通過“以形釋數(shù)”解決最值（取值范圍）問題，涉及的“數(shù)形結(jié)合”工具包括數(shù)軸、直角坐標(biāo)系、勾股定理等.

3.2.2 幾何問題代數(shù)化

有些幾何問題，通過坐標(biāo)法、三角法、向量法、復(fù)數(shù)法、方程法等，可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，從而通過代數(shù)運算或推理求解，即所謂的“以數(shù)解形”.

（4）坐標(biāo)法.

問題4（2022年北京市高考題）在 ΔABC 中，AC=3，BC=4 ， ∠C=90^°. （204號 P 為 ΔABC 所在平面內(nèi)的動點，且 PC=1 ，則 的取值范圍是（ ）.

A.[-5，3] B.[-3，5] C.[-6，4] D.[-4，6]

（5）三角法.

問題5 如圖4，等腰直角三角形 ABC 中， AB= AC=1 ，點 P，Q 分別在線段_AC，BC 上移動，且 PQ⊥ BP ，則 BQ 的最小值是

圖4

（6）向量法.

問題6 （人教版必修

二第39頁例2）已知平行四邊形ABCD，你能發(fā)現(xiàn)對角線 AC 和 BD 的長度與兩條鄰邊 AB 和 AD 的長度之間存在的數(shù)量關(guān)系嗎？

（7）復(fù)數(shù)法.

問題7 （2022年黃岡市中考題）如圖5，已知點 A 的坐標(biāo)為（3，0），點 B 在 y 軸的正半軸上，將線段_AB 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 120^° 到線段AC，若點 C 的坐標(biāo)為 ^{（7，h）} ，則 h=

圖5

圖6

（8）方程法.

問題8 如圖6，已知 _?o 是正方形ABCD的外接圓， P 是弧 ADC 上任意一點，求證： （1）PA+PC= （20號

設(shè)計意圖這組題引導(dǎo)學(xué)生通過“以數(shù)解形”解決幾何問題，涉及的“數(shù)形結(jié)合”工具包括坐標(biāo)法、三角法、向量法、復(fù)數(shù)法、方程法等.

3.3 師生共同解決問題

由于本次單元教學(xué)解決問題的思想方法已經(jīng)聚焦在“數(shù)形結(jié)合”，思考問題的方向比較明確（“以形釋數(shù)”或“以數(shù)解形”），學(xué)生在教師的引導(dǎo)下開展合作學(xué)習(xí)，能“跳一跳”完成以上題組的全部解答.受文章篇幅限制，這里略去所有問題的解答過程.

3.4 回顧反思總結(jié)規(guī)律

本次單元教學(xué)設(shè)計的題組覆蓋了中學(xué)數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，無論是傳統(tǒng)的代數(shù)內(nèi)容還是兼具代數(shù)與幾何雙重特征的向量、復(fù)數(shù)等近現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容，都展現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值、審美價值[1]8.當(dāng)然，其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的問題也有數(shù)形結(jié)合思想方法的用武之地，限于篇幅，不再舉例題組的解決讓學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想方法有了更加深刻的認(rèn)識.在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想方法的問題情境（問題類型）、實現(xiàn)路徑、工具（橋梁）進行了梳理，獲得了整體性和結(jié)構(gòu)化的思維認(rèn)知（如表1）.

評價與反思是教學(xué)工作中的重要一環(huán)，其主要目的是促進學(xué)生發(fā)展、改進教師教學(xué).新課標(biāo)背景下的單元教學(xué)，更應(yīng)發(fā)揮評價的功能.單元教學(xué)評價不僅包含單元作業(yè)以及單元測試的評價，還應(yīng)關(guān)注課堂過程性評價、項目成果評價等維度.評價主體不應(yīng)局限于傳統(tǒng)的教師評價，也應(yīng)有學(xué)生自評、生生互評等多元主體.對于課堂過程性評價，應(yīng)制定具體、明確、可測的評價指標(biāo)，關(guān)注學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解、對學(xué)習(xí)結(jié)果的呈現(xiàn)、學(xué)習(xí)中的思維與行為表現(xiàn)等維度.為實施本次“數(shù)形結(jié)合”單元教學(xué)的課堂評價，筆者編制了評價表（如表2）.

表1數(shù)形結(jié)合的整體性和結(jié)構(gòu)化認(rèn)知

表2單元教學(xué)課堂評價表

表2能幫助教師獲得超越常規(guī)教學(xué)經(jīng)驗的評價結(jié)果，從而客觀地評價學(xué)生的學(xué)業(yè)質(zhì)量、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)情感；還能幫助教師主動地發(fā)現(xiàn)教學(xué)設(shè)計及教學(xué)過程的優(yōu)勢與不足并積極改進，比如通過單元作業(yè)及其評價鞏固教學(xué)、升華教學(xué)（限于篇幅，略去本次單元教學(xué)的作業(yè)設(shè)計環(huán)節(jié)）.

4數(shù)學(xué)思想方法類單元教學(xué)的實踐啟示

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體.反思本次“數(shù)形結(jié)合”單元教學(xué)實踐，我們可以獲得以下幾點啟示：

4.1數(shù)學(xué)思想方法的顯隱結(jié)合是單元教學(xué)的基本模式

關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，歷來有兩種模式：一是將數(shù)學(xué)思想方法融入具體數(shù)學(xué)知識與技能的教學(xué)當(dāng)中去，教師適時點撥，潤物細無聲；二是將若干種數(shù)學(xué)思想方法進行對照，旗幟鮮明地引導(dǎo)學(xué)生識別與應(yīng)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法類單元教學(xué)是對這兩種模式的綜合：既隱性滲透，又顯性應(yīng)用（顯隱結(jié)合）.具體來說就是單元教學(xué)問題（形式為題組、問題串、問題鏈等）是數(shù)學(xué)思想方法的載體，數(shù)學(xué)思想方法滲透其中，需要教師點撥、學(xué)生領(lǐng)悟；單元教學(xué)問題也是數(shù)學(xué)思想方法的表演舞臺，數(shù)學(xué)思想方法在解決問題的過程中往往勢如破竹、大放異彩.

4.2 數(shù)學(xué)思想方法的基本屬性是單元教學(xué)的設(shè)計基礎(chǔ)

只有認(rèn)識數(shù)學(xué)思想方法的基本屬性，才能將數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進行關(guān)聯(lián)，進而設(shè)計適切的單元教學(xué)問題（題組），讓學(xué)生體驗深刻、思維留痕.比如，數(shù)形結(jié)合思想方法的基本屬性包括：“數(shù)式性與圖形性的統(tǒng)一”，這是其信息類別屬性；“直覺性與邏輯性的統(tǒng)一”，這是其思維品質(zhì)屬性；“單向性與雙向性的辯證”，這是其信息流向?qū)傩?；“漸進性與躍遷性的辯證”，這是其信息跨度屬性；“單次性與多次性的辯證”，這是其使用頻次屬性；等等[15].本次“數(shù)形結(jié)合”單元教學(xué)的每一個問題都暗合了其中若干個基本屬性.

4.3 數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略是單元教學(xué)的實施依據(jù)

作為特殊的教學(xué)對象，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略與數(shù)學(xué)“雙基\"（基礎(chǔ)知識、基本技能）的教學(xué)策略有所差異.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)活動實踐經(jīng)驗的概括，是一種文化傳承和發(fā)展.實踐是產(chǎn)生思想方法的源泉，概括是產(chǎn)生數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)思想方法的概括是對具體方法的一般化、程序化和模式化加工過程.數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷模仿體驗、提煉總結(jié)、運用鞏固和聯(lián)系發(fā)展等四個基本階段.因此，其教學(xué)策略包括在數(shù)學(xué)活動中滲透、在反思總結(jié)中概括、在運用訓(xùn)練中鞏固、在相互聯(lián)系中發(fā)展等四種[16].本次“數(shù)形結(jié)合”單元教學(xué)的實施流程正是這些教學(xué)策略的具體應(yīng)用.

數(shù)學(xué)思想方法來源于數(shù)學(xué)知識又高于數(shù)學(xué)知識，與之相應(yīng)的單元教學(xué)理應(yīng)受到重視，期待有更多的數(shù)學(xué)思想方法類單元教學(xué)案例誕生.夯實數(shù)學(xué)“四基”教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)發(fā)展和數(shù)學(xué)問題解決的決定性力量，加強學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的整體理解和辯證思考（既包括其普適性，也包括其局限性），從而真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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作者簡介李建新（1979—），男，江蘇泰興人，中學(xué)高級教師，泰州市學(xué)科帶頭人，江蘇省教學(xué)名師，江蘇省333工程高層次人才培養(yǎng)對象；研究方向為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)；有多篇論文發(fā)表.