《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“空間觀念主要是指對(duì)空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)。\"空間觀念的形成與發(fā)展不是一蹴而就的，而是漸進(jìn)且隱性發(fā)展的過程。在教學(xué)中，教師經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，一些學(xué)生對(duì)空間的感知往往停留于現(xiàn)實(shí)世界的直觀事物或直接經(jīng)驗(yàn)，不能在生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上提升空間意識(shí)，形成空間表象。為此，教師可以結(jié)合相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生解構(gòu)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過對(duì)這些經(jīng)驗(yàn)的不斷調(diào)整、修正和補(bǔ)充，自主進(jìn)行新圖式的建構(gòu)與表達(dá)，逐步豐富空間表象。下面以“用方向和距離確定位置\"為例，探討如何促進(jìn)學(xué)生以數(shù)學(xué)的方式重構(gòu)物體間的位置關(guān)系，從而發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

一、解構(gòu)：基于經(jīng)驗(yàn)的回顧

學(xué)生形成空間知覺的基礎(chǔ)是豐富多彩的現(xiàn)實(shí)世界。學(xué)生在真實(shí)的現(xiàn)實(shí)空間生活、學(xué)習(xí)，可觸可感的方物在他們頭腦中是具象的。具象的物體、真實(shí)的空間，使得學(xué)生對(duì)物體之間的位置關(guān)系積累了一定的生活經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生的這些生活經(jīng)驗(yàn)及其認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，就是他們學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)。教師需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自我認(rèn)知進(jìn)行客觀的分解剖析，明確對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活中的問題，哪些是利用已有認(rèn)知能夠解決的，哪些是目前不能解決的，其繼續(xù)探究的方向是什么。

在學(xué)習(xí)“用方向和距離確定位置\"之前，學(xué)生已經(jīng)能熟練運(yùn)用前后、左右、上下以及東、南、西、北、東南、西南等方位詞描述生活中的位置。課始，教師出示圖1，讓學(xué)生描述物體間的相互位置：小牛在小雞的前面，牛奶和青菜在西紅柿下面，人民橋在學(xué)校的西北面激活學(xué)生的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)。接著引導(dǎo)學(xué)生回憶：生活中有哪些情境也是像這樣描述位置的？學(xué)生由此聯(lián)想到超市排隊(duì)結(jié)賬、在書架上找書以及陌生人問路等情境。通過實(shí)際場(chǎng)景的回顧，學(xué)生感受到這樣只能描述物體的大致方位，或者是知道物體的位置范圍，要確定物體的具體位置還需要沿著方位繼續(xù)尋找。如果不需要表示物體的精確位置，那使用方位詞描述會(huì)比較方便。

然而，在生活中，人們經(jīng)常需要表示物體的準(zhǔn)確位置。怎樣可以表示物體的準(zhǔn)確位置呢？學(xué)生聯(lián)想到“數(shù)對(duì)”。教師可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考：在哪些情境中可以用數(shù)對(duì)表示位置？生活中需要表示精確位置時(shí)都可以用數(shù)對(duì)嗎？學(xué)生列舉了棋盤上棋子的位置、演員在團(tuán)體表演方陣中的位置、教室中同學(xué)的座位等情境，但同時(shí)也意識(shí)到，生活中用數(shù)對(duì)表示位置的情況非常有限，只有當(dāng)許多物體排成整齊的行與列時(shí)，才可以用數(shù)對(duì)來表示位置。如果物體沒有按照行與列排列，就無法用數(shù)對(duì)表示。用數(shù)對(duì)表示位置的局限性顯而易見。

通過對(duì)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的解構(gòu)，學(xué)生更加明晰已有確定位置的方式只能在特定情境中運(yùn)用，不能滿足其他情境中問題的解決。表示物體位置應(yīng)該由模糊走向精確，由精確表示特定位置發(fā)展為精確表示任意位置。由此，學(xué)生的認(rèn)知有了明確的生長(zhǎng)方向：怎樣確定平面上物體的任意位置？空間意識(shí)得到覺醒，從而喚起了突破經(jīng)驗(yàn)制約的內(nèi)在需求，即由物體間的特殊位置關(guān)系向自然狀態(tài)下的一般位置關(guān)系延展，由一維位置關(guān)系向二維位置關(guān)系延伸。

二、建構(gòu)：基于問題的指引

面對(duì)新情境、新問題，學(xué)習(xí)者需要調(diào)節(jié)自己的內(nèi)部結(jié)構(gòu)以適應(yīng)特定刺激。當(dāng)學(xué)習(xí)者遇到不能用原有的圖式來同化的新刺激時(shí)，便要對(duì)原有圖式加以修改或重建，以適應(yīng)新環(huán)境。如此，通過自我調(diào)節(jié)機(jī)制，使認(rèn)知發(fā)展從一個(gè)平衡狀態(tài)向另一個(gè)平衡狀態(tài)過渡。2]教師可以創(chuàng)設(shè)具有挑戰(zhàn)性的問題情境，通過核心問題，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)知發(fā)展由“平衡一不平衡一新平衡\"的變化與突破，實(shí)現(xiàn)有意義的建構(gòu)。

教學(xué)“用方向和距離確定位置”時(shí)，教師可以創(chuàng)設(shè)海上遇險(xiǎn)求救的情境：在蒼茫的大海上有一艘輪船出故障了，船長(zhǎng)發(fā)出求救信號(hào)等待救援。海上援助中心收到求救信號(hào)后安排一艘救援艦前去救援。援助中心通過雷達(dá)掃描，發(fā)現(xiàn)了輪船與救援艦的位置（如圖2）。

教師提問：“為了讓救援艦盡快進(jìn)行救援，應(yīng)怎樣向艦長(zhǎng)描述輪船位置？”各小組據(jù)此展開合作探究學(xué)習(xí)。經(jīng)過認(rèn)真討論和動(dòng)手測(cè)量，他們呈現(xiàn)了不同的描述： ① 輪船在救援艦東北方向30千米處； ② 輪船在救援艦東北 30^° 方向30干米處； ③ 輪船在救援艦東北 60^° 方向30千米處； ④ 輪船在救援艦北偏東 30^° 方向30千米處； ⑤ 輪船在救援艦東偏北 60^° 方向30干來處。通過交流不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生因準(zhǔn)確描述位置的內(nèi)在需求，既描述了輪船方向，也描述了輪船與救援艦的距離。學(xué)生對(duì)輪船與救援艦的距離沒有異議，根據(jù)測(cè)量出的圖上距離和比例尺就可以直接計(jì)算出來。但是對(duì)輪船的方向有不同的表達(dá)。哪一種表達(dá)是清晰而沒有歧義的呢？學(xué)生經(jīng)歷比較、分析，甄別出不同表達(dá)的優(yōu)勢(shì)與不足：描述 ① 表示的方向是一片區(qū)域，方向不明確；描述 ②③ 表示的角度因基準(zhǔn)不明容易引起歧義；描述 ④⑤ 表示的方向明確且沒有歧義，但基準(zhǔn)方向不同導(dǎo)致兩種說法有差別，如果統(tǒng)一基準(zhǔn)，方向表達(dá)就能達(dá)成一致。那么，以南北為基準(zhǔn)與以東西為基準(zhǔn)，哪種更加合理呢？教師又引導(dǎo)學(xué)生跨越學(xué)科尋找依據(jù)與支持。經(jīng)過分享交流，學(xué)生結(jié)合地球磁場(chǎng)方向與相關(guān)歷史文化進(jìn)行綜合分析，一致認(rèn)為以南北為基準(zhǔn)更加科學(xué)合理。由此，學(xué)生對(duì)輪船的位置描述達(dá)成了共識(shí)：輪船在救援艦北偏東 30^° 方向30干米處。

由以上過程可以著出，確定輪船位置經(jīng)歷了曲折而復(fù)雜的過程。為便于救援艦實(shí)施救援，需確定輪船的準(zhǔn)確位置。在這樣的問題情境下，學(xué)生基于已有認(rèn)知展開了合作探究。雖然他們展現(xiàn)出的探究結(jié)論多種多樣，但是從方向和距離兩個(gè)維度描述輪船位置是每個(gè)小組共同的做法。這是學(xué)生在問題情境中調(diào)用認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)尋求問題解決，由認(rèn)知不平衡邁向新的平衡所做的努力。學(xué)生的同向努力表現(xiàn)出明顯的個(gè)性化特征及學(xué)習(xí)水平的差異。這是每個(gè)學(xué)生參與的結(jié)果，也是真實(shí)鮮活的課堂呈現(xiàn)。經(jīng)過生生對(duì)話，在比較與接納中去異存同、去劣存優(yōu)，學(xué)生建構(gòu)了用角度表示方向的方法。但基準(zhǔn)的不同造成了表達(dá)的不統(tǒng)一。新的認(rèn)知平衡狀態(tài)又一次被打破，學(xué)生又投入到新問題（即基準(zhǔn)如何統(tǒng)一）的辨析中。問題指引著學(xué)生的探索逐步深人。他們?cè)谕閱l(fā)與思維碰撞下，在否定之否定中經(jīng)歷了思維的螺旋上升，切身感受到角度與方向內(nèi)在的聯(lián)系一一正是角度的運(yùn)用使任意方向的表達(dá)得以實(shí)現(xiàn)，從而真正體會(huì)到規(guī)定的合理性，完成了在平面上用方向和距離確定物體任意位置的自主建構(gòu)。

三、重構(gòu)：基于反思的體悟

為解決現(xiàn)實(shí)問題，學(xué)生將原有的認(rèn)知進(jìn)行重組或改造，建構(gòu)了新的認(rèn)識(shí)。但新的平衡狀態(tài)不夠穩(wěn)固，還需要變換不同情境對(duì)其加以靈活應(yīng)用，在不同問題的解決中觸及隱含的本質(zhì)。直至剝離具體情境抽象成一般化的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)化的內(nèi)核才會(huì)逐步清晰明朗。

在\"用方向和距離確定位置”的教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生在探索與交流中建構(gòu)了用方向和距離描述物體的位置后，教師可以設(shè)計(jì)對(duì)比的應(yīng)用情境，讓學(xué)生在應(yīng)用中比較，在比較中深化認(rèn)識(shí)，逐步發(fā)展空間觀念。教師設(shè)計(jì)了這樣的練習(xí)情境：揚(yáng)州的大運(yùn)河博物館聞名全國(guó)，許多游客慕名而來。游客們坐高鐵來揚(yáng)州，可以到達(dá)揚(yáng)州站，也可以到達(dá)揚(yáng)州東站。揚(yáng)州站、揚(yáng)州東站與大運(yùn)河博物館的位置如圖3所示。根據(jù)這張圖，你能分別向到達(dá)揚(yáng)州站和揚(yáng)州東站的游客描述大運(yùn)河博物館的準(zhǔn)確位置嗎？

學(xué)生通過度量角度，發(fā)現(xiàn)大運(yùn)河博物館在揚(yáng)州站南偏東 65^° 方向8千米處，在揚(yáng)州東站南偏西 50^° 方向6干來處。大運(yùn)河博物館的位置不變，為什么兩次描述不同？由此，觀測(cè)點(diǎn)在描述物體位置中的作用被凸顯：觀測(cè)點(diǎn)不同，對(duì)同一物體位置的描述就不同。學(xué)生通過比較，對(duì)位置的相對(duì)性有了直觀的感受。在此基礎(chǔ)上，教師還可以讓學(xué)生以大運(yùn)河博物館為觀測(cè)點(diǎn)，分別描述揚(yáng)州站和揚(yáng)州東站的位置，再對(duì)比這三個(gè)地點(diǎn)的位置描述，說說能發(fā)現(xiàn)什么。以揚(yáng)州站和大運(yùn)河博物館為例，揚(yáng)州站在大運(yùn)河博物館北偏西 65^° 方向8千米處，大運(yùn)河博物館在揚(yáng)州站南偏東 65^° 方向8干來處。學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：在這兩個(gè)地點(diǎn)的位置描述中，距離相同，以南北為基準(zhǔn)偏的角度也相同，但方向是相反的。由此，學(xué)生對(duì)兩點(diǎn)之間位置的相對(duì)性有了深刻的感受，空間觀念也在此過程中悄然生長(zhǎng)。

在“用方向和距離確定位置\"課尾，教師進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生反思：方向和距離相結(jié)合能確定物體的準(zhǔn)確位置，那如果只知道物體的方向，能確定物體位置的范圍嗎？如果只知道距離呢？學(xué)生通過畫圖發(fā)現(xiàn)：如果已知方向，只能確定物體的位置在一條射線上。如果已知距離，只能確定物體的位置在一個(gè)圓上。而當(dāng)方向和距離同時(shí)確定，表示方向的射線和表示距離的圓就能形成一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)所在的位置就是物體的準(zhǔn)確位置。通過這一過程，學(xué)生將思維從具體情境中抽離出來，把方向和距離兩個(gè)要素抽象成圖式，從而在頭腦中形成一般化的認(rèn)識(shí)。

新知如果能和舊知建立起聯(lián)系，往往能促進(jìn)學(xué)生完善或重構(gòu)自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在學(xué)習(xí)了“用方向和距離確定位置\"后，教師組織學(xué)生討論：用數(shù)對(duì)可以確定物體的準(zhǔn)確位置，用方向和距離也能確定物體的準(zhǔn)確位置，這兩種確定位置的方式有什么不同？在學(xué)生回答前者是用列和行確定位置，后者是用方向和距離確定位置后，教師再引導(dǎo)學(xué)生觀察圖4，提煉出這兩種確定位置方式的共性。

對(duì)兩種確定位置方式的比較與反思已經(jīng)舍棄了現(xiàn)實(shí)情境，使學(xué)生聚焦數(shù)學(xué)化的圖式。通過課件動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：用數(shù)對(duì)確定位置時(shí)，根據(jù)列可以確定一條直線，根據(jù)行可以確定另一條直線，兩條直線相交的點(diǎn)就是目標(biāo)位置。用方向和距離確定位置時(shí)，從觀測(cè)點(diǎn)出發(fā)，根據(jù)精確的方向可以確定一條射線，根據(jù)距離可以確定一個(gè)圓，射線和圓相交的點(diǎn)即目標(biāo)位置。兩種確定位置的方法都是通過兩條線相交確定一個(gè)點(diǎn)。3原本迥異的兩種確定位置的方式，其隱含的本質(zhì)通過圖式表達(dá)凸顯出來，便于學(xué)生挖掘出二者的共性，在更深層次實(shí)現(xiàn)二者的同化。由此，學(xué)生可以初步體悟平面上確定位置的共同方式一般都是通過兩條線相交確定一個(gè)點(diǎn)，兩條線分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)數(shù)，即兩個(gè)數(shù)據(jù)可以確定平面上的位置，為以后學(xué)習(xí)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)奠定基礎(chǔ)。教師還可以進(jìn)一步帶領(lǐng)學(xué)生展開想象和猜想：如果在一個(gè)空間中確定一個(gè)位置，用兩個(gè)數(shù)據(jù)夠嗎？可能會(huì)用幾個(gè)數(shù)據(jù)呢？這樣由平面向空間的想象，既為知識(shí)結(jié)構(gòu)的擴(kuò)展作了鋪墊，也增強(qiáng)了學(xué)生的空間意識(shí)，為他們空間想象的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

總之，教師引領(lǐng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)歷認(rèn)知的主動(dòng)解構(gòu)、積極建構(gòu)與反復(fù)重構(gòu)過程，能不斷提升學(xué)生的空間知覺，豐富學(xué)生的空間表象，激發(fā)學(xué)生的空間想象，從而真正促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展。

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（江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)）