Topology optimization for 3D metamaterials with negative Poisson's ratio

HU Tiannan1， GUO Honghu2 （1. DepartmentofechanicalEngneeringandience，Kyoto UnversityKyoto6553o，Jan;2.Facultyofied Engineering， Waseda University， Kyoto l69-8555， Japan）

Abstract： Negative Poisson's ratio metamaterials have significant application potential in aerospace， biomedical engineering， and flexible electronics due to their anomalous mechanical behavior of expanding laterally under tension and contracting laterally under compression. However， existing research predominantly focuses on 2D or 3D isotropic designs， which struggle to meet practical engineering demands for direction-dependent material properties. This paper proposed a density-based topology optimization method for designing 3D orthotropic negative Poisson's ratio metamaterials. By constructing a novel multi-objective optimization function combined with homogenization theory， negative Poisson's ratio characteristics in three orthogonal directions for unit cell structures was achieved. First， based on the SIMP （solid isotropic material with penalization） material interpolation model， geometric constraints were introduced to ensure unit cell symmetry while eectively reducing computational scale. Second， a new objective function and optimization model were established through penalty functions. Finally， the equivalent mechanical properties were calculated using finite element homogenization under periodic boundary conditions， with design variables updated through sensitivity analysis. Numerical examples demonstrate that the optimized unit cells exhibit negative Poisson's ratio behavior in all three principal directions. This study provides a theoretical foundation for the controllable fabrication of 3D orthotropic auxetic metamaterials and expands the design and application scope of mechanical metamaterials.

Keywords： topology optimization; negative Poisson's ratio; metamaterial; homogenization method; density method

負(fù)泊松比材料作為一種力學(xué)超材料，因其在單軸載荷下呈現(xiàn)反常的橫向變形行為（拉伸時(shí)橫向膨脹，壓縮時(shí)橫向收縮），近年來(lái)在航空航天、生物醫(yī)學(xué)、防護(hù)裝備及智能傳感器等領(lǐng)域展現(xiàn)出廣闊的應(yīng)用前景[1]。與傳統(tǒng)材料相比，負(fù)泊松比材料在抗剪切性、抗斷裂性和能量吸收率等方面更有優(yōu)勢(shì)[2]。然而，現(xiàn)有研究多集中于二維結(jié)構(gòu)或基于經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)的周期性胞元，三維負(fù)泊松比超材料的設(shè)計(jì)仍面臨幾何自由度受限、力學(xué)性能可調(diào)性不足及制造成本高昂等挑戰(zhàn)[3]。針對(duì)這些問(wèn)題，提出結(jié)合拓?fù)鋬?yōu)化方法與均勻化理論，系統(tǒng)研究三維負(fù)泊松比超材料的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，旨在突破傳統(tǒng)設(shè)計(jì)框架，實(shí)現(xiàn)高性能、可定制化的負(fù)泊松比超材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

拓?fù)鋬?yōu)化作為一種基于數(shù)學(xué)模型的材料分布優(yōu)化方法，能夠通過(guò)目標(biāo)函數(shù)與約束條件的靈活配置，高效探索材料與結(jié)構(gòu)的最優(yōu)構(gòu)型[4]。均勻化法通過(guò)表征微觀結(jié)構(gòu)與宏觀等效性能的關(guān)系，為超材料的多尺度設(shè)計(jì)提供了理論框架。Sigmund 等[5]系統(tǒng)總結(jié)了拓?fù)鋬?yōu)化在多物理場(chǎng)超材料設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，指出其在實(shí)現(xiàn)負(fù)泊松比、負(fù)熱膨脹等多功能耦合方面的潛力。Anaya-Jaimes等提出了基于雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化的無(wú)約束設(shè)計(jì)框架，結(jié)合鄰近材料相間插值、靈敏度穩(wěn)定化策略及動(dòng)態(tài)添加比率調(diào)控，實(shí)現(xiàn)了二維正交各向異性超材料的熱膨脹系數(shù)精準(zhǔn)定制。Murai等運(yùn)用拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)實(shí)現(xiàn)了可捕捉局部共振效應(yīng)，并精準(zhǔn)調(diào)控多頻電磁波行為的超材料設(shè)計(jì)。Paulino等構(gòu)建了針對(duì)功能梯度材料的多尺度架構(gòu)設(shè)計(jì)框架，并在一維、二維梯度及極端性能（近零剪切模量、負(fù)泊松比）材料中驗(yàn)證了方法的普適性與有效性。Ha等[9]提出了一種基于手性負(fù)泊松比晶格（內(nèi)凹六邊形或手性三角形結(jié)構(gòu)）的材料設(shè)計(jì)方法，通過(guò)采用兩種具有不同熱膨脹系數(shù)的材料，構(gòu)建雙材料梁?jiǎn)卧?，在宏觀尺度上實(shí)現(xiàn)了對(duì)材料整體熱膨脹系數(shù)的主動(dòng)調(diào)控。Ai等[1基于參數(shù)化水平集方法和緊支徑向基函數(shù)無(wú)網(wǎng)格方法，提出了一種二維微結(jié)構(gòu)機(jī)械超材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)制，實(shí)現(xiàn)了負(fù)泊松比拉脹超材料設(shè)計(jì)，并可擴(kuò)展至設(shè)計(jì)具有負(fù)熱膨脹系數(shù)或頻率帶隙的超材料。Qin 等[1]以最大化初始機(jī)械阻抗水平為目標(biāo)，提出了一種用于提升減振性能的超材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。Ye等[12]設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)漸進(jìn)變硬機(jī)械超材料，克服了傳統(tǒng)均勻負(fù)泊松比材料常存在的剛度突變或應(yīng)力局限性，為開(kāi)發(fā)具有定制化非線性力學(xué)響應(yīng)的超材料提供了設(shè)計(jì)理論與方法。Jebellat等[13]研究提出了一種由智能材料構(gòu)成的超結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，該結(jié)構(gòu)不僅具有形狀記憶效應(yīng)，還具備負(fù)泊松比性能，可應(yīng)用于新型傳感器、執(zhí)行器及生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域。Agrawal等[14]基于密度法，提出了一種魯棒拓?fù)鋬?yōu)化（robust topologyoptimization，RTO）設(shè)計(jì)方法，以應(yīng)對(duì)材料不確定性對(duì)負(fù)泊松比超材料性能的影響。

雖然運(yùn)用拓?fù)鋬?yōu)化實(shí)現(xiàn)負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)已十分成熟，三維負(fù)泊松比超材料的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究卻相對(duì)較少，限制了超材料的工程應(yīng)用。Evans等[15]提出了三維正交內(nèi)凹蜂窩負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)?；诶慌ゑ詈闲?yīng)，Duan 等[提出了一種新型三維負(fù)泊松比材料設(shè)計(jì)方法，通過(guò)將多層二維負(fù)泊松比材料與三維手性鏈結(jié)構(gòu)耦合連接，構(gòu)建出兼具負(fù)泊松比和正泊松比性能的三維材料體系。然而，這些三維超材料設(shè)計(jì)都并非基于拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，難以通過(guò)合理的材料分布實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的機(jī)械性能。Clausen等[17]運(yùn)用幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)，首次實(shí)現(xiàn)了泊松比在 -0.8～0.8 范圍內(nèi)可編程調(diào)控的三維超材料設(shè)計(jì)，并通過(guò)參數(shù)化超級(jí)橢圓結(jié)構(gòu)優(yōu)化與多噴嘴連續(xù)打印策略，解決了傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化超材料結(jié)構(gòu)難以規(guī)?；圃斓碾y題。Zhang等[18]利用GPU并行計(jì)算優(yōu)化設(shè)計(jì)了高分辨率的三維負(fù)泊松比微結(jié)構(gòu)。Vogiatzis等[9]采用調(diào)和水平集方法實(shí)現(xiàn)了多材料負(fù)泊松比超材料的優(yōu)化設(shè)計(jì)，顯著提升了結(jié)構(gòu)的剛度與能量吸收性能。雖然基于拓?fù)鋬?yōu)化的三維負(fù)泊松比超材料設(shè)計(jì)已逐漸獲得關(guān)注，如何便捷有效地實(shí)現(xiàn)三維正交異性負(fù)泊松比性能仍然需要進(jìn)一步研究。

針對(duì)上述挑戰(zhàn)，本文提出一種基于拓?fù)鋬?yōu)化與均勻化理論的三維負(fù)泊松比超材料設(shè)計(jì)方法。首先，通過(guò)密度法構(gòu)建參數(shù)化設(shè)計(jì)空間，結(jié)合均勻化理論計(jì)算等效力學(xué)性能；其次，引入調(diào)節(jié)因子調(diào)控結(jié)構(gòu)的負(fù)泊松比行為，實(shí)現(xiàn)拉壓載荷下力學(xué)響應(yīng)的對(duì)稱(chēng)性?xún)?yōu)化；最后，通過(guò)光固化（stereolithography，SLA）技術(shù)驗(yàn)證設(shè)計(jì)方案的可行性。本文的創(chuàng)新點(diǎn)包括：a.提出了一種兼顧幾何自由度與計(jì)算效率的三維拓?fù)鋬?yōu)化框架；b.構(gòu)建了新的三維負(fù)泊松比拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)；c.通過(guò)增材制造驗(yàn)證了優(yōu)化結(jié)構(gòu)的可制造性。研究結(jié)果將為高性能負(fù)泊松比超材料的定制化設(shè)計(jì)提供理論支撐與技術(shù)路徑。

1 三維負(fù)泊松比超材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法

1.1 均勻化法

利用均勻化法計(jì)算超材料單胞的等效彈性矩陣，通過(guò)施加周期性邊界條件對(duì)微結(jié)構(gòu)單胞進(jìn)行有限元分析，結(jié)構(gòu)平衡方程為

KU=f

式中： K 為單胞的整體剛度矩陣； U 為單胞的位移場(chǎng)； f 為由均勻應(yīng)變場(chǎng)引起的外力，可以表示為

式中： B 為應(yīng)變-位移矩陣； Y 為單胞； Y_e 為單胞中第 e 個(gè)單元的體積； D_e 為單元 e 的彈性矩陣；m 為單元總個(gè)數(shù)。針對(duì)三維問(wèn)題，應(yīng)變 ε=[ε₁，ε₂，ε₃ ε₄， ε₅ ， ε₆] ， ε₁=[1，0，0，0，0，0]^T ， ε₂=[0，1，0，0，0，0]^T ，ε₃=[0，0，1，0，0，0]^T ， ε₄=[0，0，0，1，0，0]^T ， ε₅=[0，0，0，0，1，0]^T ，ε₆=[0，0，0，0，0，1]^T 。

得到位移場(chǎng)后，利用均勻化法，超材料的等效彈性矩陣 D^H 可以表示為

式中： |Y| 為單胞的總體積； u_e⁰ 為通過(guò)施加單位應(yīng)變計(jì)算得到的節(jié)點(diǎn)位移場(chǎng)； U_e 為通過(guò)施加全局單位應(yīng)變計(jì)算得到的位移場(chǎng)[20]； k_e 為單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

k_eu_e⁰=f_e

矩陣 D^H 中的彈性張量 D_rs 可以表示為

式中： r 對(duì)應(yīng)應(yīng)力分量， r=1，2，3，4，5，6 s 對(duì)應(yīng)應(yīng)變分量， s=1，2，3，4，5，6

D^H=

式中： c 為彈性系數(shù)。對(duì)于施加對(duì)稱(chēng)性約束后的三維正交各向異性材料而言， C₁₁₂₂^H=C₂₂₁₁^H ，C₁₁₃₃^H=C₃₃₁₁^H ， C₂₂₃₃^H=C₃₃₂₂^H°

通過(guò)對(duì)彈性矩陣中相關(guān)項(xiàng)的計(jì)算，可得到3個(gè)方向的泊松比的計(jì)算公式為

1.2 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

實(shí)現(xiàn)正交各向異性負(fù)泊松比超材料設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是彈性矩陣中 為負(fù)數(shù)，理論上，通過(guò)最小化 C₁₁₂₂^H+C₁₁₃₃^H+C₂₂₃₃^H 可實(shí)現(xiàn)負(fù)泊松比設(shè)計(jì)。因此，負(fù)泊松比超材料設(shè)計(jì)的核心轉(zhuǎn)變?yōu)槿绾瓮ㄟ^(guò)迭代，實(shí)現(xiàn) C₁₁₂₂ ！ C₁₁₃₃ 和 C₂₂₃₃ 的最小化設(shè)計(jì)。為了改善迭代過(guò)程的收斂性，基于文獻(xiàn)[14]和[21]，引人松弛項(xiàng) wβ^l（C₁₁₁₁^H+C₂₂₂₂^H+C₃₃₃₃^H） ，構(gòu)建新的目標(biāo)函數(shù)。最終，通過(guò)引入松弛函數(shù)構(gòu)造的新目標(biāo)函數(shù)為

式中： β 為常數(shù)，取值范圍為（0，1）；指數(shù) l 為迭代次數(shù)； w 為調(diào)節(jié)參數(shù)。

為了調(diào)節(jié)3個(gè)正交方向上的泊松比數(shù)值，引入額外的3個(gè)調(diào)節(jié)參數(shù) w₁，w₂ 及 w₃ ，將式（8）修改為

將固體材料體積設(shè)定為上限值，其作為不等式約束，具體上限值可根據(jù)實(shí)際應(yīng)用需求進(jìn)行靈活調(diào)整。因此，最終的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為

式中： u 是實(shí)體材料的體積； u_f 是體積分?jǐn)?shù)； u₀ 是微結(jié)構(gòu)的總體積； x 是設(shè)計(jì)變量； x_min 是為了避免數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象設(shè)置的1個(gè)小的正值。體積分?jǐn)?shù)約束定義了微觀結(jié)構(gòu)中材料的最大體積?；赟IMP法，單元?jiǎng)偠染仃?k_e 可以表示為

k_e=x_e^p（k_s-k₀）+k₀

式中： k_s 為實(shí)體單元的剛度矩陣； k₀ 為空材料單元對(duì)應(yīng)的剛度矩陣； p 為懲罰因子。

此外，為了保證最終設(shè)計(jì)結(jié)果的正交各向異性，在 xy 、yz、 zx 面對(duì)單胞結(jié)構(gòu)施加幾何對(duì)稱(chēng)約束，如圖1所示。由于結(jié)構(gòu)是對(duì)稱(chēng)的，因此，拓?fù)鋬?yōu)化對(duì)應(yīng)的獨(dú)立設(shè)計(jì)變量為圖1藍(lán)色部分所示的單胞微結(jié)構(gòu)1/8部分。對(duì)稱(chēng)約束的施加，不僅保證了設(shè)計(jì)結(jié)果的正交性，也減小了設(shè)計(jì)變量，提高了計(jì)算效率。

1.3 并行計(jì)算

三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化相較于二維結(jié)構(gòu)，其計(jì)算規(guī)模呈指數(shù)增加。為了實(shí)現(xiàn)三維負(fù)泊松比超材料的高分辨率設(shè)計(jì)，采用開(kāi)源并行框架對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行求解。使用開(kāi)源軟件FreeFEM ⁺⁺ 對(duì)均勻化問(wèn)題進(jìn)行離散，采用PETSc并行求解線性方程組。并行求解算法邏輯如下：首先，使用圖分割包，如METIS，對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行分解，并指派給CPU各核心；隨后，由FreeFEM執(zhí)行偏微分方程離散，并將離散后的線性代數(shù)方程組傳遞給PETSc進(jìn)行并行求解；最后，將分別求解得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行回傳處理，得到最終分析結(jié)果。本文所有數(shù)值算例均在DELL桌面級(jí)工作站Precision3660上完成，其主要配置如下：中央處理器為Inteli913900K，基頻為 3.0GHz ；內(nèi)存為128GB；顯卡為NVIDIAGeForceRTX4080。

1.4 優(yōu)化算法及流程

優(yōu)化算法的流程如圖2所示。其中，有限元離散和線性方程求解通過(guò)并行計(jì)算處理，兩者均基于MPI（message passing interface）實(shí)現(xiàn)。

優(yōu)化算法的描述如下：

a.建立設(shè)計(jì)域和參數(shù)初始化

b.對(duì)設(shè)計(jì)域進(jìn)行離散，并網(wǎng)格進(jìn)行分解。

c.有限元法求解控制方程。

d.計(jì)算目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行收斂判斷。如果目標(biāo)

函數(shù)收斂，則優(yōu)化結(jié)束，否則跳轉(zhuǎn)至步驟e進(jìn)行迭代直至收斂。收斂條件：優(yōu)化迭代的目標(biāo)函數(shù)連續(xù)兩次的差值小于收斂容差，或者迭代次數(shù)到達(dá)設(shè)定的最大值 N_c

e.計(jì)算靈敏度。

f.基于移動(dòng)漸近線算法（methodofmovingasymptotes，MMA）更新設(shè)計(jì)變量，并跳轉(zhuǎn)至步驟c。

2 數(shù)值算例

2.1 算例設(shè)置與優(yōu)化過(guò)程

為了驗(yàn)證所提設(shè)計(jì)方法的有效性，選取邊長(zhǎng)為1的三維單胞微結(jié)構(gòu)作為設(shè)計(jì)域，采用結(jié)構(gòu)化的四面體網(wǎng)格進(jìn)行離散，單邊網(wǎng)格數(shù)為30，網(wǎng)格總數(shù)為 32.4×10⁴ 。為了實(shí)現(xiàn)結(jié)果的對(duì)稱(chēng)性，在單胞構(gòu)型上施加三向?qū)ΨQ(chēng)面 （xy，yz，zx） 約束并構(gòu)建網(wǎng)格，如圖3所示。優(yōu)化數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)設(shè)定為：松弛因子 β=0.8 ，調(diào)節(jié)參數(shù) w=1000 ， w₁= 3， w₂=1 ， w₃=4 ，體積分?jǐn)?shù) u_f=0.5 。材料屬性為：彈性模量 E₀=0.91 ，泊松比 μ=0.3 。

迭代歷程及優(yōu)化結(jié)果如圖4所示。在初始階段，迭代步 llt;50 時(shí)，設(shè)計(jì)域內(nèi)材料呈均勻分布，3 個(gè)正交方向的泊松比 μ_xy，μ_yz 和 μ_zx 相等，為材料本身的泊松比0.3。隨著迭代推進(jìn)，迭代步 l 為50～200 時(shí)，目標(biāo)函數(shù)通過(guò)懲罰項(xiàng)動(dòng)態(tài)調(diào)整彈性矩陣項(xiàng) C₁₁₁₁^H+C₂₂₂₂^H+C₃₃₃₃^H ，驅(qū)動(dòng)泊松比向負(fù)值演變。

如圖5所示，至迭代步 l=200 時(shí)， μ_zx 率先下降到 -0.5 ，表明 zx 方向上率先形成穩(wěn)定的拉脹結(jié)構(gòu)。最終，迭代步 lgt;300 時(shí)，目標(biāo)函數(shù)趨于穩(wěn)定，3個(gè)方向上的泊松比分別達(dá)到 μ_xy=-0.558 ，μyz=-0.161，μzx=-0.801，實(shí)現(xiàn)三維正交各向異性負(fù)泊松比超材料結(jié)構(gòu)逆向設(shè)計(jì)?？梢钥吹?，最終獲得的3個(gè)方向的負(fù)泊松比數(shù)值間的比值關(guān)系基本滿足設(shè)計(jì)要求 w₁=3 ， w₂=1 ， w₃=4 。

2.2 優(yōu)化構(gòu)型與力學(xué)機(jī)理

圖6為優(yōu)化后的單胞結(jié)構(gòu)及其與經(jīng)典二維手性超材料的對(duì)比。圖 6（a）～（b） 所示的優(yōu)化結(jié)果呈現(xiàn)出獨(dú)特的空間螺旋拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)： z 軸方向通過(guò)交叉肋條形成類(lèi)似二維手性結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)耦合效應(yīng)，而x、 y 軸方向通過(guò)弧形空腔實(shí)現(xiàn)橫向膨脹抑制。這種三維耦合機(jī)制使得單軸拉伸時(shí)，交叉肋條的彈性變形引發(fā)多向收縮響應(yīng)。值得注意的是，優(yōu)化結(jié)構(gòu)的材料分布與二維手性超材料具有幾何相似性，如圖6（c所示，驗(yàn)證了目標(biāo)函數(shù)對(duì)負(fù)泊松性能的捕捉能力。

由于優(yōu)化是基于密度法進(jìn)行的，從圖6（b）可以看到，優(yōu)化后的單胞有較為明顯的鋸齒形邊界面，這一現(xiàn)象可以通過(guò)引入額外的技術(shù)來(lái)消除，如貼體網(wǎng)格技術(shù)。然而，考慮到單胞的幾何尺寸，圖6（b）所示的鋸齒形邊界面在實(shí)際制造中并不會(huì)變得明顯，且對(duì)結(jié)構(gòu)的性能影響較小，因此，在本文中不作額外的處理

進(jìn)一步將優(yōu)化單胞進(jìn)行 3×3 周期擴(kuò)展，如圖7所示，宏觀等效泊松比呈現(xiàn)顯著方向依賴(lài)性：沿主對(duì)角線方向（ μ_zx=-0.801 ）的拉脹效應(yīng)最強(qiáng)，而yz方向 μ_yz=-0.161 ）受對(duì)稱(chēng)約束影響較弱。這種各向異性可通過(guò)調(diào)整體積分?jǐn)?shù)和幾何約束進(jìn)行定制，為多軸載荷場(chǎng)景提供設(shè)計(jì)靈活性。

3 超材料增材制造

為了驗(yàn)證三維負(fù)泊松比超材料的可制造性，使用3D技術(shù)對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行增材制造。首先，將文中的優(yōu)化結(jié)果導(dǎo)出為STL文件；然后，將STL文件導(dǎo)入切片軟件以生成G代碼；最后，將G代碼導(dǎo)入3D打印機(jī)打印結(jié)構(gòu)。3D打印機(jī)的打印最高分辨率為 16μm ，打印精度為： 20～85μm （尺寸小于 50mm 零件）； 200μm （全尺寸模型， 260mm 零件），成型材料為光敏樹(shù)脂。3D打印的結(jié)果如圖8所示。從圖中可以看出，打印的結(jié)構(gòu)具有很高的分辨率，與優(yōu)化結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了優(yōu)化結(jié)果的可制造性。

4結(jié)論

本文提出了一種基于密度法的三維正交各向異性負(fù)泊松比超材料并行拓?fù)鋬?yōu)化框架，通過(guò)理論推導(dǎo)、數(shù)值仿真與增材制造驗(yàn)證，得出以下結(jié)論：a.通過(guò)融合幾何對(duì)稱(chēng)約束與動(dòng)態(tài)懲罰函數(shù)，成功實(shí)現(xiàn)了三維單胞在3個(gè)正交方向的負(fù)泊松比各向異性調(diào)控 'μ_xy=-0.558 ， μ_yz=-0.161 ， μ_zx=-0.801 。優(yōu)化結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)空間螺旋拓?fù)?，其力學(xué)行為與二維手性超材料具有機(jī)理一致性，驗(yàn)證了目標(biāo)函數(shù)的物理合理性。

b.采用PETSc并行求解器與MPI任務(wù)分配策略，有效縮短了計(jì)算時(shí)間，相較傳統(tǒng)串行算法效率提升8倍，為高分辨率設(shè)計(jì)提供技術(shù)支撐。

c.增材制造樣件證實(shí)了優(yōu)化結(jié)構(gòu)的可制造性，其多向拉脹特性可應(yīng)用于定制化緩沖材料、柔性傳感器及航空航天輕量化結(jié)構(gòu)。通過(guò)調(diào)節(jié)體積分?jǐn)?shù)與對(duì)稱(chēng)約束，可進(jìn)一步擴(kuò)展至負(fù)熱膨脹、能量吸收等多功能耦合設(shè)計(jì)。

未來(lái)工作將聚焦于非線性大變形超材料拓?fù)鋬?yōu)化算法開(kāi)發(fā)，并探索金屬基超材料的SLA成形工藝，以提升結(jié)構(gòu)的承載能力與耐久性。

參考文獻(xiàn)：

[1]LAKES R. Foam structures with a negative Poisson's ratio[J]. Science， 1987， 235（4792）： 1038-1040.

[2]RENX，DASR， TRANP， et al. Auxetic metamaterials and structures： a review[J]. Smart Materials and Structures， 2018，27（2）： 023001.

[3]楊智春，鄧慶田.負(fù)泊松比材料與結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能研究 及應(yīng)用[J].力學(xué)進(jìn)展，2011，41（3）：335-350.

[4]BENDSOE M P， KIKUCHI N. Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 1988， 71（2）： 197-224.

[5]SIGMUND O， MAUTEK. Topologyoptimization approaches：a comparative review[J]. Structuraland Multidisciplinary Optimization， 2013， 48（6）： 1031-1055.

[6]ANAYA-JAIMES L M， VICENTE W M， PAVANELLO R.Metamaterials design with a desired thermal expansion using a multi-material BESO method[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2022， 65（12）： 355.

[7]MURAI N， NOGUCHI Y， MATSUSHIMA K， et al. Multiscale topology optimizationofelectromagnetic metamaterialsusingahigh-contrast homogenization method[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2023， 403： 115728.

[8]PAULINO GH， SILVA ECN，LE CH. Optimal design of periodic functionally graded composites with prescribed properties[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization，2009， 38（5）： 469-489.

[9]HA C S， HESTEKINE，LI J H， et al. Controllable thermal expansion of large magnitude in chiral negative Poisson's ratio latices[J]. Physica Status Solidi （B）， 2015， 252（7）： 1431-1434.

[10] AI L， GAO X L. Topology optimization of 2-D mechanical metamaterials using a parametric level set method combined with a meshfree algorithm[J]. Composite Structures， 2019， 229： 111318.

[11] QIN H X， YANG D Q. Vibration reduction design method of metamaterials with negative Poisson's ratio[J]. Journal of Materials Science， 2019， 54（22）： 14038-14054.

[12] YE ML， GAO L， LI H. A design framework for gradually stiffer mechanical metamaterial induced by negative Poisson's ratio property[J].Materials amp; Design，2020，192： 108751.

[13] JEBELLAT E，BANIASSADI M， MOSHKI A， et al. Numerical investigation of smart auxetic three-dimensional meta-structures based on shape memory polymers via topology optimization[J]. Journal of Intelligent Material Systems and Structures， 2020，31（15）： 1838-1852.

[14] AGRAWAL G， GUPTA A， CHOWDHURY R，et al. Robust topology optimization of negative Poisson’ s ratio metamaterialsundermaterialuncertainty[J].Finite Elements in Analysis and Design， 2022， 198： 103649.

[15]EVANS K E， NKANSAH M A， HUTCHINSON I J. Auxetic foams： modelling negative Poisson’ s ratios[J]. Acta Metallurgica et Materialia， 1994， 42（4）： 1289-1294

[16] DUAN S Y，XI L，WEN W B，et al. A novel design method for 3D positive and negative Poisson's ratio material based on tension-twist couplingeffects[J]. Composite Structures， 2020，236： 111899.

[17] CLAUSEN A， WANG F W， JENSEN J S， et al. Topology optimized architectures with programmable Poisson's ratio over large deformations[J]. Advanced Materials， 2015， 27（37）： 5523-5527.

[18] ZHANG D， ZHAI X Y， LIU L G， et al. An optimized， easy-to-use， open-source GPU solver for large-scale inversehomogenizationproblems[J]. Structuraland Multidisciplinary Optimization， 2023， 66（9）： 207.

[19] VOGIATZIS P， CHEN S K， WANG X， et al. Topology optimization of multi-material negative Poisson’ sratio metamaterials using a reconciled level set method[J]. Computer-Aided Design，2017， 83： 15-32.

[20] ZHANG H， DING X H， WANG Q， et al. Topology optimization of composite material with high broadband damping[J]. Computers amp; Structures， 2020，239： 106331.

[21] ZHANG H K， LUO Y J， KANG Z. Bi-material microstructural design of chiral auxetic metamaterials using topology optimization[J]. Composite Structures， 2018，195： 232-248.

（編輯：董偉）