中圖分類(lèi)號(hào)：O212 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1671-5489（2025）04-1059-09

Estimation of Accelerated Failure Trace Regression Model Based on Right Censored Data

FAN Yifan，XU Ping，XIAO Nannan，WANG Chunjie （School of Mathematics and Statistics，Changchun University of Technology， Changchun 130ol2，China）

Abstract： Aiming at the challenges of high-dimensional medical image data in survival analysis，we proposed an accelerated failure trace regression model. The regression parameters were estimated by using Kaplan-Meier weighting and the Peaceman-Rachford algorithm. The numerical simulation results show that the estimation performance of the accelerated failure trace regression model is better than that of the traditional Lasso regression model. We apply the model to Alzheimer's disease image data to further verify its effectiveness and practical value.

Keywords：accelerated failure trace regression model； high-dimensional right censored data； Kaplan-Meier weighting; Peaceman-Rachford spliting algorithm； Alzheimer's disease image data

隨著信息采集技術(shù)的進(jìn)步和大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，醫(yī)療圖像數(shù)據(jù)在生存分析中應(yīng)用日益廣泛.然而，與常規(guī)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)不同，醫(yī)療圖像數(shù)據(jù)具有高維特性，并反映了像素點(diǎn)之間的復(fù)雜關(guān)系，為數(shù)據(jù)分析提出了新挑戰(zhàn)．近年來(lái)，針對(duì)高維數(shù)據(jù)背景下的生存分析模型研究備受關(guān)注，其中較常見(jiàn)的是加速失效時(shí)間（accelerated failure time，AFT）模型．Huang 等[1]提出了一種穩(wěn)健的加權(quán)最小絕對(duì)偏差法估計(jì)高維AFT模型；Liu等2提出了一種快速預(yù)測(cè)高維變量AFT模型的變量選擇和收縮估計(jì)的方法，并使用乳腺癌研究的基因表達(dá)條形碼數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬和驗(yàn)證；Schmid等[3]在高維非參AFT模型中，利用 Hilbert 范數(shù)懲罰進(jìn)行估計(jì)，提出了一種新的增強(qiáng)算法；Khan等[4在具有高維預(yù)測(cè)變量的 AFT模型中提出了變量選擇方法．盡管這些研究為高維數(shù)據(jù)的生存分析提供了有效的方法，但傳統(tǒng)線(xiàn)性模型很難有效處理圖像數(shù)據(jù)中的像素關(guān)系，可能導(dǎo)致偏差，因此，有必要對(duì)基于高維圖像數(shù)據(jù)的生存分析模型開(kāi)展進(jìn)一步研究.

圖像數(shù)據(jù)是很多模型研究的核心對(duì)象，其中跡回歸（trace regresson）模型因其能有效處理高維數(shù)據(jù)而備受關(guān)注，該模型主要用于建立圖像數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)變量與響應(yīng)變量之間的關(guān)系．Koltchinskii等[5]研究了跡回歸模型，并將其應(yīng)用到矩陣補(bǔ)全中；Negahban 等[6]對(duì)高維度有噪聲的低秩矩陣進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，提出了一種基于矩陣核范數(shù)或跡范數(shù)正則化的M-估計(jì)量，為跡回歸模型的參數(shù)估計(jì)奠定了基礎(chǔ)．在跡回歸模型研究中，許多研究者考慮在高維數(shù)據(jù)背景下研究稀疏約束或低秩約束的矩陣回歸問(wèn)題，例如：Zhou等[7提出了低秩矩陣回歸模型，建立了一種高效且可擴(kuò)展的估計(jì)算法；Elsener等[8]考慮到系數(shù)矩陣的低秩性，提出了帶有核范數(shù)懲罰的正則化Huber 矩陣回歸方法；此外，為研究COVID-19 疾病產(chǎn)生的二維圖像，Zhang 等[9提出了一種協(xié)變量為高維的情況下新的潛在矩陣因子回歸模型.

在完整數(shù)據(jù)條件下，跡回歸模型已得到廣泛研究，但在刪失數(shù)據(jù)條件下的跡回歸模型研究相對(duì)較少．因此，本文基于高維右刪失數(shù)據(jù)，考慮帶有圖像矩陣結(jié)構(gòu)變量的加速失效時(shí)間模型的建模問(wèn)題，不僅擴(kuò)展了跡回歸模型在刪失數(shù)據(jù)條件下的應(yīng)用范圍，還為高維數(shù)據(jù)分析提供了一種新方法.

1 數(shù)據(jù)與模型

假設(shè)試驗(yàn)中有 n 個(gè)個(gè)體，對(duì)第 i 個(gè)個(gè)體，記感興趣的事件失效時(shí)間為 T_i ，刪失時(shí)間為 C_i ，存在可觀測(cè)的協(xié)變量 X_i ，當(dāng)數(shù)據(jù)為右刪失時(shí)，得到的觀測(cè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為

O={O_i=（Y_i^*，X_i，δ_i），i=1，2，…，n}，

其中： Y_i^*=min{T_i，C_i} ; δ_i=I（T_i?C_i） ， i=1，2，…，n ， I（?） 為示性變量.

失效時(shí)間 T_i 滿(mǎn)足如下加速失效跡回歸（accelerated failure time trace regression）模型：

log（T_i）=?X_i，Θ^*?+ε_i，

其中 為 d₁×d₂ 維協(xié)變量矩陣， 是系數(shù)矩陣， 表示 d₁×d₂ 的實(shí)矩陣空間， ε_i∈R 是誤差項(xiàng)．對(duì)任意兩個(gè)矩陣 ，定義內(nèi)積 ?A，B?：=tr（A^TB） ，其中 tr（?） 表示跡.

本文對(duì)系數(shù)矩陣 θ^* 施加秩約束，矩陣的秩被其奇異值的 l_q 范數(shù)控制，所以 θ^* 應(yīng)滿(mǎn)足：

其中： d₁∧d₂=min{d₁，d₂} ; σ_i（θ^?） 是 θ^* 的第 j 個(gè)最大奇異值； ρ 是一個(gè)非負(fù)常數(shù)， ρ 隨維數(shù)和樣本量增長(zhǎng)而變化．注意 0?q?1 ，當(dāng) q=0 時(shí)，約束式（2）是一個(gè)精確秩約束．對(duì) B_q（θ^?） 的限制保證了奇異值衰減足夠快，且比精確的低階假設(shè)更普遍[10].

2參數(shù)估計(jì)

定義失效時(shí)間 T 的分布函數(shù)為 F ，其Kaplan-Meier 估計(jì)量[1]為 ： 可寫(xiě)成如下形式： ，其中 ω_i 是 Kaplan-Meier 估計(jì)量中的跳躍值，可表示為

ω_i 也稱(chēng)為Kaplan-Meier權(quán)重， Y_?（1）?…?Y_?（n） 是 Y 的次序統(tǒng)計(jì)量， X_（1）?…?X_（n） 是 X 的次序統(tǒng)計(jì)量，（20 δ_（1）?…?δ_（n） 是示性變量.

根據(jù)文獻(xiàn)[12]的思想，本文提出加權(quán)最小二乘估計(jì)方法，通過(guò)最小化以下目標(biāo)函數(shù)，估計(jì)回歸系數(shù) θ^* ：

通過(guò) ω_i 權(quán)重均值分別中心化 X_（i） 和 Y_?（i） ，定義

令 ， ．所以，加權(quán)最小二乘目標(biāo)函數(shù)（5）可改寫(xiě)為

對(duì)式（6）求期望，有

Π_ω（i）-?Θ，X_ω（i）?）²=EY_ω（i）²-2?Θ，EY_ω（i）X_ω（i）?+vec（Θ）^?E（vec（X_ω（i））vec（X_ω（i））^?）vec（X_ω（i）），

由于 Y_ω（i）² 與 Θ 無(wú)關(guān)，所以可忽略 EY_ω（i）² ，并用樣本協(xié)方差代替 Σ_Yω（i）X_ω（i） 和 Σ_Xω（i）X_ω（i） ，得到以下公式：

其中 和 分別是 EY_ω（i）X_ω（i） 和 E（vec（X_ω（i））vec（X_ω（i））^T） 的估計(jì)量.

為估計(jì) θ^* ，將跡回歸模型與正則化相結(jié)合，通過(guò)核范數(shù)懲罰加強(qiáng)稀疏和低秩結(jié)構(gòu)，得到以下廣義l₂ 損失的M-估計(jì)量方法：

其中 是一凸集， λ_N 表示懲罰系數(shù)，是 Θ 的核范數(shù)．類(lèi)似 l₁ 范數(shù)正則化產(chǎn)生稀疏估計(jì)，對(duì)核范數(shù)正則化使得解具有稀疏奇異值．對(duì)于響應(yīng)變量是單變量的加速失效跡回歸模型， 和 采用如下形式：

3 PRSM算法

利用 Peaceman-Rachford 分裂算法（PRSM）[13]在線(xiàn)性約束下最小化兩個(gè)凸函數(shù)的和：

min{f₁（θ_x）+f₂（θ_y）}，

將 C₂=-I ， c=0 ， ， 代入式（11），得到加速失效跡回歸模型的PRSM算法．vec （X）= ， X_j 是 X 的第 j 列．對(duì)于向量 ，用 mat（x） 表示由 x 構(gòu)造的 d₁×d₂ 矩陣，其中 （x_{（j-1）d1+1}，…，x_jd1）^T 是 mat（x） 的第 j 列， 表示 d₁d₂ 維的實(shí)向量空間.

利用Peaceman-Rachford分裂算法，通過(guò)算法中定義的交叉驗(yàn)證方法，選取最優(yōu)懲罰系數(shù)，從而得到參數(shù) θ^* 的估計(jì)值．設(shè) X 是一個(gè) n×d₁d₂ 矩陣，其行為相互獨(dú)立的向量 {vec（X_i）}_i=1ⁿ ， Y 是 n 維響應(yīng)向量，加速失效跡回歸模型的PRSM算法如下：

其中 是Lagrange乘子， β 是懲罰參數(shù)， α 是松弛因子，并根據(jù)Eckstein等[14]和He等[15]的研究結(jié)果，取 α∈{0.1，0.2，…，0.9，1}，β∈{0.2，0.3，…，0.9，1，2，4，8，16}， 再通過(guò)BIC準(zhǔn)則對(duì)其進(jìn)行選取，當(dāng)右刪失數(shù)據(jù)刪失率為 20% 時(shí)， α=0，1 ， β=0.2 ；當(dāng)右刪失數(shù)據(jù)刪失率為 40% 時(shí)， α=0，3 ，

（2 β=0.2 ： S （z）是矩陣 的奇異值軟閾值函數(shù)，設(shè) ， Z=UAV^T= Udiag（λ₁，…，λ_r）V^T 為其奇異值分解， S（z）=vec（Udiag（（λ₁）₊，（λ₂）₊，…，（λ_r）₊）V^T），（λ_r）₊ （x）₊= max{x，0} .當(dāng) |θ_x-θ_y| 小于某個(gè)預(yù)定的閾值時(shí)，返回的 mat（θ_s） 作為 θ^* 的最終估計(jì)量.

4數(shù)值模擬

下面進(jìn)行數(shù)值模擬以驗(yàn)證本文方法的有效性．考慮維度 d₁=d₂=d=20，40，60 ，回歸系數(shù)矩陣的Frobenius 范數(shù) ，回歸系數(shù)矩陣的秩 rank（Θ^*）=5 ，構(gòu)造 ，其中 ν_i 是100個(gè)獨(dú)立同分布且中心化的高斯隨機(jī)向量的樣本協(xié)方差矩陣的第 i 個(gè)特征向量，這些向量的協(xié)方差為 I_d ．對(duì)于式（1），協(xié)變量矩陣 X_i 服從標(biāo)準(zhǔn)多元正態(tài)分布，刪失時(shí)間 C_i 服從均勻分布 U（0，u） ，其中常數(shù) u 控制刪失率為 20% 和 40% ，失效時(shí)間 T_i 由式（1）生成，參考文獻(xiàn)[10]，對(duì)隨機(jī)誤差 ε_i 設(shè)置如下3種分布類(lèi)型

1）隨機(jī)誤差服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布： s_i=（Z-EZ）/50 ，其中 ， σ²=6.25 ：

2）隨機(jī)誤差服從Cauchy分布： ε_i=min{∣Z∣，10³}/10， Z 服從Cauchy分布；

3）隨機(jī)誤差服從高斯分布： ，其中 σ²=0.25

模擬計(jì)算分別產(chǎn)生 300×k 個(gè)樣本 （k=1，2，…，7） ，為檢驗(yàn)參數(shù) θ^* 的估計(jì)效果，參考文獻(xiàn)[10]，選取" 統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行評(píng)估， 統(tǒng)計(jì)量的值越小，估計(jì)效果越好．此外，還引入Lasso 回歸，與本文的加速失效跡回歸進(jìn)行比較．表1～表3分別列出了不同模型、不同維度和不同刪失率下回歸系數(shù) θ^* 的 統(tǒng)計(jì)誤差.

由表 1～ 表3可見(jiàn)：加速失效跡回歸模型對(duì)參數(shù)估計(jì)的效果較好；在同一維度下，隨著樣本的增大，3種誤差分布下的 統(tǒng)計(jì)誤差逐漸減小；在不同刪失率下，3種誤差分布下的 F統(tǒng)計(jì)誤差結(jié)果相似，說(shuō)明模型不依賴(lài)于刪失率的變化；而在不同誤差分布下， F統(tǒng)計(jì)誤差結(jié)果有差異，當(dāng)誤差分布為高斯分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)，模型的估計(jì)效果較好.

在不同刪失率及不同誤差分布下 ：與對(duì)數(shù)樣本量 的統(tǒng)計(jì)誤差分別如圖 1～ 圖6所示，其中實(shí)線(xiàn)表示加速失效跡回歸模型下的估計(jì)效果，虛線(xiàn)表示Lasso回歸下的估計(jì)效果．由圖 1～

圖6可見(jiàn)：在不同的刪失率下，3種誤差分布的 F統(tǒng)計(jì)誤差隨樣本量的增大而減?。徊煌S度下，3種誤差分布的 ：統(tǒng)計(jì)誤差隨樣本增大均出現(xiàn)下降趨勢(shì)；加速失效跡回歸模型下的估計(jì)效果較好.

5 實(shí)例分析

阿爾茲海默病神經(jīng)影像研究（the Alzheimer's disease neuroimaging initiative，ADNI）是一個(gè)多中心、縱向隨訪(fǎng)的研究項(xiàng)目，通過(guò)深人分析臨床數(shù)據(jù)、影像學(xué)資料、遺傳信息以及生化標(biāo)志物等多維度信息[16-17]，可實(shí)現(xiàn)阿爾茲海默?。ˋD）的早期檢測(cè)與持續(xù)追蹤．在 ADNI中，受試者會(huì)按一定時(shí)間間隔接受定期的隨訪(fǎng)觀察和健康狀態(tài)評(píng)估．研究人員會(huì)基于他們的認(rèn)知能力，將受試者分為3個(gè)不同群體：認(rèn)知功能正常（CN）、輕度認(rèn)知障礙（MCI）和阿爾茲海默病（AD）．MCI受試者中的一部分個(gè)體可能會(huì)逐漸發(fā)展到AD階段，而另一部分則可能保持穩(wěn)定或恢復(fù)到CN狀態(tài)，其中需特別關(guān)注的一個(gè)變量是受試者確切患上AD的時(shí)間．將AD轉(zhuǎn)化的時(shí)間視為失效時(shí)間，而最后一次監(jiān)測(cè)時(shí)間視為刪失時(shí)間，該數(shù)據(jù)集可視為右刪失數(shù)據(jù).

本文將加速失效跡回歸模型應(yīng)用于阿爾茲海默病神經(jīng)影像數(shù)據(jù)中進(jìn)行實(shí)證分析．采用的實(shí)例數(shù)據(jù)集調(diào)查時(shí)間為2014年5月至2022年5月，包含了120名受試者及其對(duì)應(yīng)的磁共振圖像（magneticresonanceimaging，MRI，該數(shù)據(jù)集中有59名受試者為右刪失，占比約 49.2% ．磁共振圖像采集自通用電氣醫(yī)療系統(tǒng)（GEMedicalSystems） 1.5T 的 MRI掃描儀的標(biāo)準(zhǔn)T1加權(quán)像，圖像數(shù)據(jù)參數(shù)包括：TR=8.9ms ： TI=1000.0ms ： FA=8. 0 ；三維采集矩陣為 256×256×166 ；體素大小為 （0.9×0.9×

1.2）mm³ ．MRI圖像數(shù)據(jù)遵循Rician分布[18]．然而，在MRI進(jìn)行預(yù)處理過(guò)程中，降采樣過(guò)程會(huì)改變誤差特性，使誤差分布可能更趨近于高斯分布[19-20]．MRI通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)步驟進(jìn)行預(yù)處理，涵蓋了前聯(lián)合與后聯(lián)合（AC-PC）線(xiàn)的校正、顱骨及小腦組織的去除以及圖像的空間歸一化與配準(zhǔn)等關(guān)鍵環(huán)節(jié).

對(duì)MRI圖像進(jìn)行預(yù)處理，流程概述如下：

1）將原始的DICOM格式數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成NIFTI格式，以便于后續(xù)處理；2）對(duì)每個(gè)受試者的T1加權(quán)結(jié)構(gòu)圖像進(jìn)行手動(dòng)AC-PC校正[21]；3）進(jìn)行頭骨剝離和小腦切除操作，并進(jìn)一步分割出白質(zhì)、灰質(zhì)和腦脊液區(qū)域[22]；4）將分割出的灰質(zhì)圖像與Montreal神經(jīng)學(xué)研究所（Montreal neurological institute，MNI）的標(biāo)準(zhǔn)

空間進(jìn)行配準(zhǔn)[23]；5）應(yīng)用放射變換和非線(xiàn)性扭曲調(diào)制，保持空間配準(zhǔn)前的組織體積[24」；6）使用 8mm 半高全寬（full width at half maxima，F(xiàn)WHM）的高斯核對(duì)圖像進(jìn)行空間平滑處理，

以減少誤差；7）對(duì)圖像降采樣處理，降至 100×100×100

預(yù)處理步驟如圖7所示．經(jīng)過(guò)圖像預(yù)處理，選擇每個(gè)受試者切片中像素點(diǎn)之和最大的腦結(jié)構(gòu)冠狀面 100×100 大小的MRI圖像，如圖8所示．基于加速失效跡回歸模型，對(duì)MRI圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行系數(shù)估計(jì)，結(jié)合MRI圖像數(shù)據(jù)和估計(jì)的回歸系數(shù)，生成熱力圖，結(jié)果如圖9和圖10所示.

圖9和圖10分別為高維圖像加速失效跡回歸模型和高維圖像Lasso回歸模型的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，其中紅色深淺表示不同像素對(duì)AD發(fā)病時(shí)間的影響程度，顏色越深表示影響越大．腦島在阿爾茲海默病發(fā)展過(guò)程中具有重要作用，這主要?dú)w因于其與感知能力、自我意識(shí)以及認(rèn)知功能的緊密聯(lián)系，與Hu等[25]的研究結(jié)果，腦島是阿爾茲海默病生物標(biāo)志物的核心價(jià)值，結(jié)論相似．此外，阿爾茲海默病同樣受顳葉區(qū)域的顯著影響，該區(qū)域涵蓋了杏仁核、海馬體等重要結(jié)構(gòu)．另一個(gè)重要影響位置是海馬體，它負(fù)責(zé)將短期記憶轉(zhuǎn)化為皮層長(zhǎng)期記憶進(jìn)行存儲(chǔ)，該區(qū)域在學(xué)習(xí)與鞏固過(guò)程中起重要作用，特別易受阿爾茲海默病病理的影響，且在臨床出現(xiàn)阿爾茲海默病癥狀時(shí)，該區(qū)域會(huì)受相當(dāng)大的損傷[26]．本文提出的加速失效跡回歸模型，找到的海馬體和腦島等區(qū)域?qū)Π柶澓Ｄ∮酗@著影響；而在Lasso 回歸模型中，只找到了腦島區(qū)域，估計(jì)效果較差.同時(shí)兩種模型也找到了一些未驗(yàn)證的腦部區(qū)域作為影響因素.

綜上所述，跡回歸模型能有效處理高維圖像數(shù)據(jù)，并在完整數(shù)據(jù)條件下已得到廣泛研究，但在刪失數(shù)據(jù)條件下的跡回歸模型研究相對(duì)有限．本文考慮帶有圖像矩陣結(jié)構(gòu)的高維右刪失數(shù)據(jù)下加速失效跡回歸模型的估計(jì)建模問(wèn)題，采用Kaplan-Meier 加權(quán)的方法對(duì)高維右刪失數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，使用Peaceman-Rachford分裂算法對(duì)回歸參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并與Lasso 回歸進(jìn)行了對(duì)比研究．模擬研究結(jié)果表明：在同一維度條件下，隨樣本數(shù)量的增加，3種誤差分布的 統(tǒng)計(jì)誤差呈現(xiàn)出逐漸降低的趨勢(shì)；在不同刪失率下，3種誤差分布的 統(tǒng)計(jì)誤差結(jié)果具有相似性，模型不依賴(lài)于刪失率的變化；即使誤差分布各異， F統(tǒng)計(jì)誤差的結(jié)果也相近，當(dāng)誤差分布為高斯分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)，模型的估計(jì)效果較好；對(duì)比不同模型的處理結(jié)果可見(jiàn)，加速失效跡回歸模型的估計(jì)效果比Lasso 回歸估計(jì)效果更好．將該模型應(yīng)用于阿爾茲海默病圖像數(shù)據(jù)，進(jìn)一步驗(yàn)證了其有效性和實(shí)用價(jià)值.

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（責(zé)任編輯：李琦）