本文將討論如下的具阻尼項的非線性分?jǐn)?shù)階微分方程

（20解的振動性，其中 α∈（0，1） 是一常數(shù)， D₀₊^αz（t） 是關(guān)于 z 的 α 階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)， 是正奇數(shù)之商，并且本文總假設(shè)下列條件成立：

（C₁）a（t）∈C¹（[t₀，∞），（0，∞）），b（t），p（t）∈C（[t₀，∞），[0，∞））; （C3）f∈C（R，R）且u≠0時，f（u） f（u）_u^κ?λ=const.gt;0. （204號

在過去的幾十年，經(jīng)過物理、數(shù)學(xué)、工程等領(lǐng)域?qū)＜覍W(xué)者的大量研究，分?jǐn)?shù)階微積分理論日趨完善，在聲波、電磁傳播、信號處理、交流電工學(xué)、生物遺傳等方面起著不可忽視的作用．在描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡、巖石紋路、噪聲傳播等方面，分?jǐn)?shù)階模型比整數(shù)階模型更精確，也更適宜定義新材料、生物系統(tǒng)的電傳導(dǎo)、湍流等的某些特性．在分析大腦記憶與基因遺傳、分子擴(kuò)散等方面分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)比整數(shù)階系統(tǒng)更具真實(shí)性．此外大量的研究表明，分?jǐn)?shù)階微分方程在圖像與信息處理、分形幾何、流變學(xué)、流體力學(xué)、轉(zhuǎn)子動力學(xué)、電分析化學(xué)、人口動力學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生物化學(xué)、結(jié)構(gòu)抗震等方面都有著廣泛的應(yīng)用．與此同時，對于這些領(lǐng)域的研究為分?jǐn)?shù)階微積分的應(yīng)用提供了真實(shí)的平臺，促進(jìn)了分?jǐn)?shù)微分方程理論的發(fā)展．實(shí)際上，在現(xiàn)實(shí)生活中，很多系統(tǒng)都更適宜于用分?jǐn)?shù)階來研究，因此分?jǐn)?shù)泛函微分方程的研究既有重要的理論價值，又有廣泛的實(shí)用價值.

近些年來，分?jǐn)?shù)階微分方程理論取得了很大的進(jìn)展[1-5]．而振動是宇宙普遍存在的一種現(xiàn)象，振動現(xiàn)象普遍存在于自然界和工程技術(shù)等領(lǐng)域，如橋梁的振動、汽車發(fā)動機(jī)的振動、建筑物的振動、地震的振動、海嘯的振動、航空器的結(jié)構(gòu)振動、化學(xué)反應(yīng)過程中的復(fù)雜振動，還有微觀世界的振動，如基本粒子的熱運(yùn)動、布朗運(yùn)動等，因而在分?jǐn)?shù)階微分方程的研究中，解的振動性理論也受到足夠的重視[6-20]．2016年，文獻(xiàn)［11］研究了在 a=1，ψ=1，b∈C（[t₀，∞），（-∞，0）） 和 κ=1 的情形下方程（1）解的振動性問題．2021年，文獻(xiàn)［13］研究了在 ψ=1，κ=1 的情形下方程（1）解的振動性問題.

本文將在文獻(xiàn)［11」和文獻(xiàn)［13」的基礎(chǔ)上，做進(jìn)一步的研討，得出方程（1）的一些新的振動定理，推廣和改進(jìn)文獻(xiàn)［11，13］的結(jié)論，并給出實(shí)例加以說明，

1預(yù)備知識與引理

定義1[1] 稱

為函數(shù) 的 α 階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分，如果（2）式的右端在 （0，∞） 上是逐點(diǎn)定義的，這里 αgt;0 為一常數(shù)， T 是通常的Gamma函數(shù).

定義2[1] 稱

為函數(shù) 的 α 階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，如果（3）式的右端在 （0，∞） 上是逐點(diǎn)定義的，這里 αgt;0 為一常數(shù)， n=[α]+1，[α] 是 α 的整數(shù)部分.

引理1[2] 假設(shè) 若分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) D₀₊^αx（t） 和 D₀₊^α+mx（t） 存在，則

Dⁿ（D₀₊^αx（t））=D₀₊^α+mx（t）.

引理2[18] 假設(shè) x（t） 是方程（1）的一個解且

則 E^'（t）=T（1-α）D₀₊^αx（t） 業(yè)

2 振動性定理

定理1若對某一個 t₀gt;0 有

且存在函數(shù) η（t）∈C¹（[t₀，∞），（0，∞））. 且 使得

則方程（1）的任意解都振動.

證明設(shè) z（t） 為方程（1）的一個非振動解．不妨設(shè) z（t） 為（1）的一個最終正解，則 ?t₁?t₀ ，使得 x（t）gt;0 和 E（t）gt;0，t?t₁ ：

由引理1、方程（1），條件 （C₁） 和 （C₃） ，可得

因此， 在頭 [t₁，∞） 上嚴(yán)格遞減且最終定號的，據(jù)此我們斷言

D₀₊^αz（t）gt;0，t?t₁.

否則，必存在 t₂?t₁ ，使得 D₀₊^αz（t₂）lt;0. 從而存在常數(shù) Kgt;0 有

應(yīng)用引理2，有

對式（8）從 t₂ 到 Φ_t 積分，可得

在式（9）中，令 t?∞ ，注意到條件（4），可知 lim_t∞E（t）=-∞ ，這與 E（t）gt;0 矛盾，從而式（7）成立.取黎卡提變換

則 ．利用引理1，由式（1）和（10），可得

利用不等式[19]

dXY^d-1-X^d?（d-1）Y^d，dgt;1，X?0，Y?0，

取

由式（11）和（12）有

對上式從 t₁ 到 Φ_t 積分得

令 t?∞ ，由條件（5），有 lim_t∞u（t）=-∞ ，這與 u（t）gt;0 矛盾．證畢.

下面引進(jìn)如下一類函數(shù)．令 G={（t，s）|t?s?t₀}，G₀={（t，s）|tgt;s?t₀}.

函數(shù) J（t，s）∈C（G，R） 稱為屬于 X 類[20]，記作 J∈X ，如果 J（t，t）=0，t?t₀ （204號

定理2設(shè)式（4）成立，且存在函數(shù) η（t）∈C¹（I，（0，∞）），J∈X 且 使得

其中 ，則方程（1）的任意解都振動.

證明設(shè) z（t） 為方程（1）的一個非振動解．不妨設(shè) z（t） 是方程（1）的一個最終正解．如同定理1的證明中，可以得到式（11），兩邊乘以 J（t，s） ，并從 t₁ 到t-1積分得

由分部積分法，有

將（15）代入（14）得

取

由式（16）和（12）有

由于 J^'，（t，s）?0，（t，s）∈D₀ ，于是有 0gt;H（t，t₁）?H（t，t₀），tgt;t₁?t₀. 進(jìn)而，由式（21）可得

由 00），tgt;s?t₀ 得 ，因而，由式（18）得

令 t?∞ ，有

與式（13）矛盾．證畢.

3實(shí)際例子

例考慮分?jǐn)?shù)階非線性微分方程

取 t₀gt;0，λ=1，η（t）=t ，有

和

因此，定理1的所有條件都成立，從而方程（19）的任意解都振動.

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Oscillation Theorems of Nonlinear Fractional Differential Equations with Damping Terms

LIN Wen-xian （College of Mathematics and Statistics，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong，521041）

Abstract：This paper studies the oscillation of a class of nonlinear fractional diferential equations with damping terms.By using the Riccati transformation and the techniques in mathematical analysis，several sufficient theorems for the oscillation of every solution of the equationare obtained， which generalize and improve the results in recent literature.Examples are provided to ilustrate the main results.

Key words：Riemann-Liouville fractional derivative；oscillation；Riccati transformation

責(zé)任編輯 朱本華