中圖分類號(hào)：O175.29 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)： 1000-5013（2025）04-0470-06

Exact Traveling Wave Solutions Burgers-Huxley Equation

JIA Huilin WEN Zhenshu ZHANG Xiaoya

Abstract： Various kinds exact traveling wave solutions Burgers-Huxley equation by using （G/G） -expansion method and F -expansion method are obtained respectively. The research results show that one can only obtain the solutions Burgers-Huxley equation under the condition λ²-4μgt;0 by （G/G） -expansion method， while one can only find the solutions Burgers-Huxley equation under some special conditions by F_δ -expansion method.

Keywords： Burgers-Huxley equation; （G^′/G） -expansion method; F -expansion method;exact traveling wave solution

1預(yù)備知識(shí)

Burgers-Huxley（BH）方程是一類重要的非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程，其形式為

u_t+pu_x-u_xx+qu（u-1）（u-s）=0_o

式（1）中： ?，q，s 均為非零常數(shù)。

BH方程（1）的解及其性態(tài)研究具有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值。目前，已經(jīng)得到BH方程（1）的部分精確解。Fan[通過符號(hào)計(jì)算，得到BH方程（1）的一些精確解。Yefimova等2通過Cole-Hopf 變換，得到BH方程（1）的部分解。基于首次積分法，劉新源等[3得到 BH方程（1）的部分精確解和隱式解。從動(dòng)力系統(tǒng)的角度[4-5]，王勤龍等[6]對(duì) BH方程（1）的行波解進(jìn)行研究。基于齊次平衡法，詹雨等[7]得到BH方程（1）的幾種不同形式的行波解;夏鴻鳴等[8]嘗試選擇適當(dāng)?shù)脑囂胶瘮?shù)，得到 BH方程（1）的扭狀孤波解和奇異行波解。Kushner等[9基于BH方程（1）的動(dòng)力學(xué)，構(gòu)造其部分精確解。雖然已經(jīng)找到了BH方程（1）的部分解，但基于新的方法可能會(huì)找到新的解?；诖?，本文分別采用 （G^′/G） -展開法[10]和F. -展開法[11]，得到了BH方程（1）的各種形式的精確行波解。

為了研究 BH方程（1）的行波解，利用變換 u（x，t）=u（ξ） ， ，將BH方程（1）寫為

-cu^′+pu^′-u^′′+qu（u-1）（u-s）=0，

2利用 （G^′/G） -展開法求解BH方程（1）

假定 u（ξ） 可以展開為關(guān)于 （G^′/G） 的多項(xiàng)式，有

式（3）中： a₀…，a₁…，…，a_m 為待確定的常數(shù)，且 G=G（ξ） ，滿足

G^′′+λG^′+μG=0

式（4）中： ?λ，μ 為常數(shù)。

關(guān)于方程（4）的解，可參考文獻(xiàn)[10]的式 （18）～（20） 。利用 u^′′ 與 u（u-1）（u-s） 之間的齊次平衡，可得式（3）中的最高次冪為 m=1 。把式（3）代人式（2），并利用式（4），可得

a₁（a₁²q-2）（G^′/G）³+a₁（c-p-3λ+qa₁（3a₀-1-s））（G^′/G）²+（a₁（c-p-λ）λ-2a₁μ+2λ）（a₁（c-p-λ）λ-2a₁μ），

令式（5）中 （G^′/G）^k（k=0，1，2，3） 的系數(shù)為零，可得

方程組（6）有以下解。

i）當(dāng) q=2（λ²-4μ） 時(shí)，有

i）當(dāng) 時(shí)，有

i）當(dāng) 時(shí)，有

iv）當(dāng) 時(shí)，有

v）當(dāng) 時(shí)，有

利用式 （3），（7）～（11） ，以及文獻(xiàn)[10]中的式（19），可得定理1。

定理1i）當(dāng) q=2（λ²-4μ） 時(shí)，BH方程（1）有解

式（12）中：

i）當(dāng) q=2（λ²-4μ）/（s-1）²，sgt;1 時(shí)，BH方程（1）有解

i）當(dāng) q=2（λ²-4μ）/（s-1）²，slt;1 時(shí)，BH方程（1）有解

式（14）中：

iv）當(dāng) q=2（λ²-4μ）/s²，slt;0 時(shí)，BH方程（1）有解

式（15）中：

v）當(dāng) q=2（λ²-4μ）/s²，sgt;0 時(shí)，BH方程（1）有解

式（16）中：

u₁⁺ 和 u₁^- （式（12））的波形圖，如圖1所示。其他解的波形圖類似。

3利用 F? -展開法求解BH方程（1）

假定 u（ξ） 可以展開成關(guān)于 F（ξ） 的多項(xiàng)式，即

式（17）中： a₀…，a₁，…，a_m 為待定的常數(shù)，且 F（ξ） 滿足一階常微分方程

（F^′）²=q₀+q₂F²+q₄F⁴

式（18）中： q₀，q₂，q₄ 為常數(shù)。

根據(jù)式（18），有 F^′F^′′=q₂FF^′+2q₄F³F^′ 。進(jìn)一步有

F^′′=q₂F+2q₄F³

關(guān)于方程（14）的解，可參考文獻(xiàn)[11]的表1。利用 u^′′ 與 u（u-1）（u-s） 之間的齊次平衡，可得式（17）中的最高次冪為 m=1 。把式（17）代人式（2），并利用式（19），可得

令式（20）中 F^′（ξ），F(xiàn)^k（ξ）（k=0，1，2，3） 的系數(shù)為零，可得

方程組（21）有如下解。

1 i） ii ）

利用式（17）和方程組（21）的上述解，以及文獻(xiàn)[11]中的表1，可得 BH方程（1）的解。

定理2i）假定 q₀=1，q₂=-2，q₄=1 。當(dāng) ，c=p，q=8時(shí)，BH方程（1）有解

當(dāng) s=2，c=p，q=2 時(shí)，BH方程（1）有解

當(dāng) s=-1，c=p，q=2 時(shí)，BH方程（1）有解

i）假定 q₀=0，q₂=1，q₄=-1 。當(dāng) ，c=ρ，q=-4時(shí)，BH方程（1）有解

當(dāng) s=2，c=p，q=-1 時(shí)，BH方程（1）有解

當(dāng) s=-1，c=p，q=-1 時(shí)，BH方程（1）有解

i）假定 q₀=0，q₂=-1，q₄=1 。當(dāng) ，c=p，q=4時(shí)，BH方程（1）有解

當(dāng) s=2，c=p，q=1 時(shí)，BH方程（1）有解

當(dāng) s=-1，c=p，q=1 時(shí)，BH方程（1）有解

定理2部分解的波形圖，如圖2所示。其他解對(duì)應(yīng)的波形圖類似。

4結(jié)束語

基于 （G^′/G） -展開法和 F. -展開法，分別得到了BH方程（1）的各種形式的精確行波解。通過對(duì)解的分析，利用 （G^′/G） -展開法只能得到 BH方程（1）在 λ²-4μgt;0 時(shí)的解，而無法得到其在 λ²-4μlt;0 時(shí)的解；而利用 F. -展開法只能得到BH方程（1）在某些特殊情況下的解。這是由BH方程（1）本身的結(jié)構(gòu)造成的。近年來，奇異擾動(dòng)微分方程也受到廣泛的關(guān)注[12-16]，今后將進(jìn)一步研究奇異擾動(dòng) BH方程的解的性態(tài)。

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（責(zé)任編輯：錢筠 英文審校：黃心中）