1考題分析

（2019全國高考 I 卷第4題）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是 618，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是 （20.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為 105cm ，頭頂至脖子下端的長度為 26cm ，則其身高可能是.

A. 165cm B. 175cm （204號 C. 185cm D. 190cm

最近周練，筆者就把這道題讓所教班級學(xué)生做，全班52名學(xué)生，有21名學(xué)生選擇正確，其中學(xué)號1-10 號有5人正確，學(xué)號 11-20 號有6人正確，學(xué)號21一30號有5人正確，學(xué)號 31-40 號有3人正確，學(xué)號41一52號有2人正確，正確率雖與學(xué)生能力有關(guān)聯(lián)，但關(guān)聯(lián)度不高.通過對這些選擇正確的學(xué)生進行調(diào)查了解到，只有10名學(xué)生的解題思路正確，另有11名學(xué)生表示是“蒙的”，認為蒙對的正確率近似 25% .就筆者的調(diào)查了解以及個人的認知，這道題的考查信度不高.

2信度分析

作為標準化考試的單項選擇題，其設(shè)計應(yīng)當確保不同能力水平考生的得分呈現(xiàn)合理的區(qū)分度：優(yōu)秀考生正確率應(yīng)保持較高水平，即使存在知識盲區(qū)，其隨機猜測的正確概率也相對較高；中等考生正確率需呈現(xiàn)適度梯度；基礎(chǔ)薄弱考生雖難以完全規(guī)避隨機猜對可能，但其正確率應(yīng)顯著低于前兩類考生.這種符合能力遞進規(guī)律的區(qū)分效度，既是保證試題信度的關(guān)鍵指標，也是滿足高考人才選拔功能的基本要求.

這道考題能把死記硬背的考生“打蒙”，他們只能根據(jù)腿長 105cm 隨便選個答案.對于能夠理解題意并能轉(zhuǎn)化為線段比例關(guān)系的考生，他們可能會遇到以下困難：首先，在用條件“頭頂至脖子下端的長度為 26cm^′′ 求身高時，存在條件表述相對復(fù)雜且界定模糊的問題，特別是容易與“頭頂至咽喉的長度”的概念產(chǎn)生混淆；其次，雖然“腿長為 105cm ”這一條件的運用相對直觀，但考生仍可能對“腿長”與解剖學(xué)標準“肚臍至足底的長度”的對應(yīng)關(guān)系產(chǎn)生認知偏差

通過查閱相關(guān)資料可知，腿長有狹義的腿長和廣義的腿長之分.解剖學(xué)、人體測量學(xué)上嚴格定義的腿長學(xué)名全腿長，是狹義的腿長.真正的腿長包括股骨與脛骨的長度，是指下肢除去足以外的長度…實際工作中通常使用一些更易測量的數(shù)據(jù)表示腿長，即廣義的腿長，從大到小依次為髂嵴高、臍高、髂后上棘高、髂前上棘點高、大轉(zhuǎn)子點高、恥骨聯(lián)合高、會陰高、身高減坐高、臀溝高筆者認為，該試題設(shè)計存在顯著缺陷：要求考生依據(jù)“腿長 105cm^? 準確推算“肚臍至足底的長度\"的測量學(xué)轉(zhuǎn)化過程具有較高難度閾值.實測數(shù)據(jù)表明，當推算誤差在超過5cm 時，將導(dǎo)致最終身高估算值產(chǎn)生 8cm 以上的偏差，從而造成正確選項的誤判.這種考查方式可能產(chǎn)生嚴重的效度問題一完全不具備相關(guān)能力的考生可能通過隨機猜測獲得正確答案，而真正掌握解題方法的考生卻可能因細微誤差而失分.作為選拔考試，高考命題必須杜絕此類有損測試信度與效度的現(xiàn)象發(fā)生.

從命題專業(yè)角度考量，本題可進行如下優(yōu)化改進：直接采用解剖學(xué)標準數(shù)據(jù)，明確給出“肚臍至足底長度\"和“頭頂至咽喉長度”的精確測量值，并將選項設(shè)置控制在更接近的數(shù)值區(qū)間.這種設(shè)計能有效提升試題的區(qū)分效度一一既增加隨機猜測的難度，又能確保真正掌握數(shù)量關(guān)系分析能力的考生準確作答.若確實難以選取符合“運用高中數(shù)學(xué)知識解決歷史文化或現(xiàn)實問題”要求的素材，建議將試題改編為以下考查形式.

古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是 .618，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯\"便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的且 （20長度與咽喉至肚臍的長度之比也是 .若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且肚臍至足底的長度為 105cm ，頭頂至咽喉的長度為 25cm ，則其身高最接近.

A. 170cm （204號 B. 175cm

C. 180cm （204 D. 185cm

改編能過優(yōu)化設(shè)計有效避免了原題的爭議性：能理解題意并能轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系的考生，則能準確得到答案A；而那些不能理解題意或不能將問題轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系的考生，只能靠“蒙”.由于選項中的身高值很接近，僅憑“肚臍至足底的長度為 105cm^′ 的直觀感受容易產(chǎn)生判斷誤差，這種設(shè)計顯著提高了考查的區(qū)分效度.這道改編題，難度有所降低，可作為選擇題的第4、5題.如果把這道改編題為中考題，可能比高考題更有意義.

3案例分析

基于上述分析，該選擇題的考查形式并非不可采用，但必須嚴格遵循以下命題原則：首先，應(yīng)充分考慮全體考生的認知水平和解題能力分布，確保試題具有良好的信度指標；其次，必須杜絕“高能力考生易錯而低能力考生可能猜對\"的反?，F(xiàn)象.特別需要強調(diào)的是，由于選擇題的正確答案包含在選項中，命題者更需著重關(guān)注試題的以下信度要素： ① 選項設(shè)置的干擾性強度； ② 解題過程的確定性程度； ③ 能力考查的區(qū)分效度.接下來將再列舉一些具體的實例來說明關(guān)注選擇題命題的合理性、提高其考查信度的重要性.

3.1不混淆選擇題與填空題

例1已知圓 c 及其內(nèi)一點 P ，動圓 M 過點 P 且與圓 C 相切，則圓心 M 的軌跡為.

A.拋物線 B.橢圓 C.雙曲線 D.圓或橢圓

分析：一般情況下，考生作圖時，不會考慮點 P 與點 C 重合的情況，這時他們得到圓心 M 的軌跡為橢圓，由于選項D的原因，他們就要思考，會不會存在點 P 的特殊位置，使得圓心 M 的軌跡為圓，只要注意到點 P 與點 C 重合時的情況，即能選擇正確答案D.

這道選擇題有一定的信度，區(qū)分了考慮問題嚴謹與不嚴謹?shù)目忌?但如果把這道題改為填空題，由于解題難度陡增，可能導(dǎo)致信度指標顯著下降.通常情況下，填空題和解答題需要考生有完全的解題能力（部分填空題也可用特殊方法解決），而選擇題不一定需要考生有完全的解題能力.尤其是較難的選擇題，有一個重要的考查目的，那就是考查考生甄別真假的能力.因此，命題者在命題時應(yīng)當避免選擇題與填空題的簡單機械轉(zhuǎn)換，而需要基于考生的實際情況，提高試題考查信度.當然，也有不少數(shù)學(xué)問題，作為選擇題或填空題考查，都有較高的考查信度.

例2設(shè)函數(shù) f（x） 的定義域為R，滿足 f（x+ _{1）=2f（x）} ，且當 x∈（0，1] 時， f（x）=x（x-1） .若對任意 x∈（-∞，m] ，都有 則 Ψ_m 的取值范圍是（ ）.

A. B.

c.（1∞，] D.

分析：這是2019年全國高考 I 卷第12題，解題的關(guān)鍵是考生要理解條件“ f（x+1）=2f（x） ，只要能作出區(qū)間（1，2]，（2，3]上的圖象，即可知 為準確選出選項，最好還是求出區(qū)間（2，3]上的解析式 f（x）=4（x-2）（x-3） ，只需計算 的值，即可確定選B.

這道題難度不大，作為選擇題或填空題考查，都有較高的信度.絕大多數(shù)考生能夠理解 f（x+1）= 2f（x）^; ”.無論是選擇題還是填空題，都需要作出大致圖象，也都要求出區(qū)間（2，3]上的解析式.所不同的是，填空題要通過解方程 f（x）=4（x-2）（x-1） 來確定答案，速度相對慢點.筆者認為像例2這類難度適中的數(shù)學(xué)問題，考生能夠運用基本數(shù)學(xué)知識方法解決，運算量也不復(fù)雜，不包含易錯點或特殊注意事項，作為選擇題與填空題考查，沒有太大區(qū)別.

3.2發(fā)揮選擇題的甄別功能

例3數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線 C：x²+y²=1+∣x∣y 就是其中之一（如圖1）.給出下列三個結(jié)論： ① 曲線 c 恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）； ② 曲線 c 上任意一點到原點的距離都不超過 ③ 曲線 C 所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論的序號是.

A ① （204號 B. ② C. ①② D. ①②③

分析：例3是2019年北京卷第8題，其方程所對應(yīng)的曲線對于考生是陌生的.若要求考生直接求解相關(guān)結(jié)論有難度，不適宜用填空題考查學(xué)生.給出一些結(jié)論，讓考生運用所學(xué)知識判斷真假，確是一個很好的命題方向.對于 ① ，根據(jù)曲線關(guān)于 軸對稱，考生只要對 x 賦值，并求 y 的值，即能判斷命題的真假；對于 ② ，考生只要研究 x?0 時曲線 c 上任意一點到原點的距離，由x2+y2=1+xy≤1+2+y2 可判斷真假；對于 ③ ，考生可以求出曲線上一些特殊的點，以這些特殊點圍成的多邊形面積與曲線的面積進行比較，從而判斷真假.

例3中3個結(jié)論的真假判斷難度逐步上升：能力低的考生難以準確判斷結(jié)論 ① ，故而極易選錯；能力較強的考生能準確判斷3個結(jié)論的正誤，能夠選出答案；能力一般的考生，會判斷其中1個或2個結(jié)論.筆者認為，該題不僅考查了學(xué)生用所學(xué)知識解決陌生問題的能力，同時又有很好的區(qū)分度，是一道信度很高的高考題.當然，也不是只有這類命題真假判斷的選擇題才有區(qū)分度和信度.

3.3慎重選擇壓軸題的命題

例4已知三棱錐 P -ABC的四個頂點在球 O 的球面上， PA=PB=PC ΔABC 是邊長為2的正三角形， E，F(xiàn) 分別是 PA，AB 的中點， ∠CEF=90^° ，則球 O 的體積為（ ）.

A. （204 B. （204 C. （20 D.

分析：這是一道有一定難度的考題，也是2019年高考試卷的最后一道選擇題.考生先要由條件推理出PA，PB，PC 互相垂直，這一推理過程本就不易；然后若能構(gòu)造正方體求球 O 的體積，則運算簡單，否則，需要作輔助線求球 O 的半徑，運算量較大.該題難度雖然不是很大，但也只有少數(shù)考生能選對.可能會出現(xiàn)一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的考生，花費大量時間還選錯的情況；還會出現(xiàn)基礎(chǔ)較弱的考生，完全不做而“蒙\"對的情況筆者認為，這道題區(qū)分度不大，而且信度不高，

筆者認為，可以將該題直接改編為填空題考查，雖然這種形式的區(qū)分度有限，但比選擇題考查的信度高.不完全會做的考生得不到答案，那些思維、運算能力強的少數(shù)考生能夠完成.作為高考壓軸填空題，能夠把那些學(xué)優(yōu)生區(qū)分出來，有一定信度.

若還要以選擇題考查，可將其改編為例3的形式，給出四個命題，讓考生判斷.筆者將其改編為以下形式.

已知三棱錐 P -ABC的四個頂點在球 O 的球面上， PA=PB=PC 新 ΔABC 是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn) 分別是 PA，AB 的中點， ∠CEF=90^° .給出下列4個結(jié)論： ① 三棱錐 P -ABC是正四面體； ②PA⊥ PC ③ 三棱錐 P//BC 的體積為 3；④三棱錐P -ABC外接球的體積為

其中，所有正確結(jié)論的序號是（ ）.

A. ①③ B. ②③ （20 C. ②④ D. ②③④

改編題相對于原題，難度有所降低，給考生明確的思考方向，即要先推理判斷 PA，PB，PC 的夾角關(guān)系.能正確推理的考生，發(fā)現(xiàn) PA，PB，PC 互相垂直，可排除選項A，并能迅速求出三棱錐 P -ABC的體積的確是 ，又可排除選項C.排除AC后，還要求外接球的體積.相對原題，正確率有不少提高，一些會判斷前3個命題而不會判斷最后一個命題的考生，容易選對，既提高了區(qū)分度，又提高了信度.

例5已知平面四邊形ABCD滿足 AB²- AD²=5 ， BC=3 ： ，則 CD 的長為（ ）.

A.2

分析：該題也是某試卷的最后一道壓軸選擇題，難度不小.雖然該題的解題方向明確，主要是基底法與坐標法，但這兩個方法在具體處理時，都有較大的難度.用基底法轉(zhuǎn)化向量時， 與 很難對稱地轉(zhuǎn)化為邊長；用坐標法時，由于四邊形長度的不確定性，考生不敢動手做.顯然，作為選擇題根本不適宜，考生只能靠運氣，既無區(qū)分度，也無信度.甚至作為填空題也不適宜，只有極少數(shù)數(shù)學(xué)高手（或者所在班級講過類似問題的考生）能做，區(qū)分度太低.當然，它可作為競賽考試的填空題.

筆者覺得，要提高選擇題的信度，要讓大多數(shù)考生能做，解題要有路可循，不能僅僅依靠“蒙”考慮到是選擇題，不宜給考生過大的運算量，這道題的命題還是避開坐標法為宜.筆者將其改編為下題.

例6已知平面四邊形ABCD滿足 ： ，則 的值為（ ）.

A.0 B.1 C.-3 D.-2

改編題難度有所下降，考生難以轉(zhuǎn)化 與 也很難運用坐標法，但能變換角度得到AB-AD= 與 ，只要將兩式試著相加或相減，即能發(fā)現(xiàn)與 的關(guān)系.很顯然，對于這道改編選擇題，分析能力差、向量運算能力弱的考生，仍然束手無策，但相對原選擇題，區(qū)分度和信度明顯提高.

4結(jié)語

一道好題，往往不一定等于一道好的考題.命制的考題不能讓大多數(shù)考生完全不會而去“蒙”，也不能讓一些中等生陷于運算，要讓絕大多數(shù)考生有思路做下去；題目靈活，但難度不大，要讓不同能力的考生做出差異.教師要思考如何用試題達到引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)、訓(xùn)練學(xué)生思維能力的目的，從學(xué)生應(yīng)該有的能力方面去思考題目的考查目標，而不是刻意加大難度、設(shè)置陷阱，這才是正確的導(dǎo)向，才能促進學(xué)生更快、更好地發(fā)展.

2020年，教育部考試中心發(fā)布《中國高考評價體系》，意味著評價體系成了命題和考試的實踐指南，充分體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)的科學(xué)選拔和育人導(dǎo)向的雙重作用，可以更好地體現(xiàn)區(qū)分選拔功能.選擇題是高考數(shù)學(xué)考查的常規(guī)題型.選擇題命制如果具有良好的信度，特別是引導(dǎo)學(xué)生更加注重思維的靈活性及策略選擇，將對數(shù)學(xué)教與學(xué)具有導(dǎo)向作用.它能使數(shù)學(xué)教學(xué)更具針對性，使學(xué)習(xí)目標更明確，對數(shù)學(xué)理解能力、數(shù)學(xué)探究能力的考查能夠起到積極的作用.