中圖分類號(hào)：TB122 DOI：10.16579/j.issn.1001.9669.2025.07.017

0 引言

負(fù)泊松比材料不同于常規(guī)物理性質(zhì)的材料，它具有當(dāng)縱向拉伸時(shí)橫向產(chǎn)生膨脹的獨(dú)特拉脹特性[1-2]具有負(fù)泊松比效應(yīng)的超材料擁有高剛度和高強(qiáng)度[3]負(fù)熱膨脹4等獨(dú)特的力學(xué)性能以及高可設(shè)計(jì)性、輕量化等能力[5-6]，因此在航空航天、車輛船舶、機(jī)器人以及國防領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用。

由于負(fù)泊松比超材料具有優(yōu)異的力學(xué)性能，為了使其能夠?qū)崿F(xiàn)人為設(shè)計(jì)，GIBSON等7在1982年研究發(fā)現(xiàn)了具有負(fù)泊松比特性的二維內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)，并將其命名為內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)。

YANG等8通過微極彈性理論，研究了內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)中胞元結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)對(duì)泊松比的影響。侯秀慧等[9在內(nèi)凹六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)行改良，提出了一種具有更優(yōu)異抗沖擊特性的多凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)。隨著負(fù)泊松比材料的快速發(fā)展，越來越多新型結(jié)構(gòu)（如星形結(jié)構(gòu)[0、手性模型[]、褶皺類及折紙類結(jié)構(gòu)2等）被提出。國內(nèi)外學(xué)者通過對(duì)各類新型結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，設(shè)計(jì)出很多具有創(chuàng)新性的負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)。

在經(jīng)典的負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)中，星形結(jié)構(gòu)由于其良好的性能，受到眾多相關(guān)學(xué)者的研究。THEOCARIS等[13]在1997年首次研究發(fā)現(xiàn)星形內(nèi)凹結(jié)構(gòu)，通過數(shù)值均質(zhì)化方法，研究了胞元結(jié)構(gòu)不同內(nèi)凹角與泊松比之間的變化關(guān)系。DOS等[14]對(duì)星形結(jié)構(gòu)的變形機(jī)制與力學(xué)性能進(jìn)行研究，在此基礎(chǔ)上將獲得的結(jié)構(gòu)均質(zhì)模量與有限元模擬進(jìn)行比較，結(jié)果表明預(yù)測(cè)的有效機(jī)械行為具有非常好的精度。AI等[15設(shè)計(jì)了3種結(jié)構(gòu)不同的負(fù)泊松比星形結(jié)構(gòu)，利用卡氏第二定理，分別對(duì)其結(jié)構(gòu)的等效泊松比及等效彈性模量解析式進(jìn)行推導(dǎo)，得到了胞元結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)與等效力學(xué)性能之間的影響規(guī)律。由于常規(guī)星形結(jié)構(gòu)受到拉壓時(shí)應(yīng)力過于集中，劉海濤等[在此基礎(chǔ)上將桿改為弧形構(gòu)件，設(shè)計(jì)了一種新型負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)，研究了結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對(duì)泊松比變化的影響，通過調(diào)節(jié)相關(guān)參數(shù)能夠很好地處理應(yīng)力集中的現(xiàn)象。GONG等[7在已有的負(fù)泊松比星形結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上進(jìn)行改良，提出了一種新型的零泊松比結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)可通過抑制未發(fā)生變形方向的泊松比來提升結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。通過將星形蜂窩結(jié)構(gòu)與其他形狀相結(jié)合，盧子興等[18]提出了一種箭頭形狀的星形蜂窩結(jié)構(gòu)，分別設(shè)定不同條件對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元模擬分析，得到了該結(jié)構(gòu)的3種變形模式。為獲得具有較高能量吸收能力的蜂窩結(jié)構(gòu)，WANG等1在傳統(tǒng)星形蜂窩結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上加人菱形結(jié)構(gòu)，提出了3種星形-菱形負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)，通過有限元分析證明了加入菱形部分的結(jié)構(gòu)具有更強(qiáng)承載能力和吸能能力。韓廣等20對(duì)傳統(tǒng)負(fù)泊松比星形結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)設(shè)計(jì)，得到了一種內(nèi)凹斜十字結(jié)構(gòu)，并對(duì)其等效泊松比和等效彈性模量理論表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)，研究了該結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對(duì)等效力學(xué)性能的影響規(guī)律。ZHANG等[21通過將蝶形結(jié)構(gòu)與星形結(jié)構(gòu)相結(jié)合，設(shè)計(jì)了一種新型的膨脹蝶形蜂窩結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了負(fù)泊松比特性以及平面內(nèi)剛度的耦合改善。LI等22對(duì)傳統(tǒng)星形蜂窩結(jié)構(gòu)進(jìn)行改良，設(shè)計(jì)了一種力學(xué)性能優(yōu)異的蜂窩結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)可應(yīng)用于提升船舶結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。綜上所述，經(jīng)典的負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)及其混合結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能受到國內(nèi)外眾多學(xué)者的廣泛研究，故通過對(duì)傳統(tǒng)的負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)進(jìn)行改良設(shè)計(jì)，使其具有更加優(yōu)異的力學(xué)性能在實(shí)際應(yīng)用中具有重要的意義。

本文將內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)與星形結(jié)構(gòu)相結(jié)合，提出一種在豎直方向上具有負(fù)泊松比特性的內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)。利用材料力學(xué)中的能量法和卡氏第二定理，計(jì)算該新型結(jié)構(gòu)在彈性變形下的等效泊松比和等效彈性模量理論表達(dá)式。同時(shí)，采用有限元仿真對(duì)內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)進(jìn)行豎直方向壓縮力學(xué)性能分析，并給出結(jié)構(gòu)的等效泊松比和等效彈性模量在不同幾何參數(shù)下的變化規(guī)律。在此基礎(chǔ)上還對(duì)比分析內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)與常規(guī)星形負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)等效力學(xué)性能之間的差異。

1理論模型

1.1內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的胞元由1個(gè)內(nèi)凹角型結(jié)構(gòu)和4根連桿構(gòu)成，代表胞元具有垂直對(duì)稱性，如圖1所示。其中， L_x 為內(nèi)凹角型蜂窩結(jié)構(gòu)胞元整體長(zhǎng)度； L_y 為結(jié)構(gòu)胞元整體高度； L₁ 為胞元斜桿 CB，CD 的長(zhǎng)度； L₂ 為胞元斜桿 AB 的長(zhǎng)度； L₃ 為胞元4根連桿的長(zhǎng)度； θ₁ 為胞元連桿 CH 與斜桿 CB，CD 的夾角； θ₂ 代表胞元連桿 AG 與斜桿 AB 的夾角。壁桿橫截面為矩形，胞元壁桿的厚度為t，內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的整體厚度為 b 。

在內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)，需防正胞元相連壁桿出現(xiàn)接觸及相交的情況，也為避免結(jié)構(gòu)參數(shù)過于趨近臨界值而導(dǎo)致誤差，因此設(shè)置下列約束，即

100^°lt;θ₁+θ₂

L₂cosθ₂lt;2L₁sinθ₁

L₁cosθ₁2sinθ₂

由于內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)是 Y 軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，所以其胞元結(jié)構(gòu)體積 V₁ 為

V₁=[2（L₃+L₂sinθ₂-L₁cosθ₁）?

（2L₃-L₂cosθ₂+2L₁sinθ₁）]b

不考慮胞元結(jié)構(gòu)中各壁桿連接處的損失，其材料體積 V₂ 為

V₂=[2t（2L₁+L₂+L₂sinθ₂+2L₃）]b

因此，可計(jì)算出內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的密度為

式中 ?，ρ? 為內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)材料密度。

根據(jù)胞元結(jié)構(gòu)密度以及結(jié)構(gòu)材料的密度可計(jì)算出結(jié)構(gòu)的相對(duì)密度。因此，內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的相對(duì)密度為

2L₃）/[2（L₃+L₂sinθ₂-L₁cosθ₁）?

（2L₃-L₂cosθ₂+2L₁sinθ₁）]

1.2 內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)靜力分析

對(duì)整體胞元結(jié)構(gòu)在 Y 軸方向上的直桿連接點(diǎn) G，F(xiàn) 處施加豎直方向的集中載荷，如圖2（a）所示。由于受到載荷作用，胞元結(jié)構(gòu)中各桿會(huì)產(chǎn)生3種變形，分別為彎曲、剪切和拉壓變形。

由于該胞元結(jié)構(gòu)中各壁桿均為細(xì)長(zhǎng)桿，相較于彎曲應(yīng)變能，桿件由剪切和拉壓變形所產(chǎn)生的應(yīng)變能很小，所以，通過能量法分析結(jié)構(gòu)位移時(shí)，可忽略剪切和拉壓變形，只考慮胞元結(jié)構(gòu)各壁桿之間的彎曲應(yīng)變[23]。對(duì)胞元結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)分析時(shí)將連桿視為剛性桿，直接對(duì)胞元主體內(nèi)凹角型結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，胞元結(jié)構(gòu)承受對(duì)稱載荷作用在 A，E 處?；谀芰糠?，對(duì)內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)分析。

由于內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)為 Y 軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，所以選取胞元結(jié)構(gòu)的1/2模型進(jìn)行研究，其中，在點(diǎn)A 的 X 方向上剪力為0。在點(diǎn)A施加集中載荷 F_y 和彎矩M₀ ，受力分析如圖 2（b） 所示，并且將點(diǎn) E 作為固定端約束。由于對(duì)稱性，可計(jì)算得到集中載荷 F_y=P/2 。根據(jù)力矩平衡可得 AB，BC，CD，DE 4根桿上的彎矩分別為

M_AB（x）=F_yxsinθ₂-M₀，x∈[0，L₂]

M_BC（x）=F_y（L₂sinθ₂-xcosθ₁）-M₀，x∈[0，L₁]（

M_cD（x）=F_y（L₂sinθ₂-L₁cosθ₁+xcosθ₁）-M₀，

x∈[0，L₁]

M_DE（x）=F_y（L₂sinθ₂-x）-M₀，x∈[0，L₂sinθ₂]

根據(jù)材料力學(xué)中變形協(xié)調(diào)的概念，將點(diǎn) A 處水平面內(nèi)轉(zhuǎn)角為零作為變形協(xié)調(diào)條件，基于這一條件建立變形協(xié)調(diào)方程可求得未知彎矩 M₀ 。端點(diǎn) A 處旋轉(zhuǎn)角

為零的變形協(xié)調(diào)方程為

δ₁₁M₀+Δ_1F=0

式中， δ₁₁ 為點(diǎn) A 受到單位彎矩作用時(shí)，水平面內(nèi)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角大?。?Δ_?1F 為點(diǎn) A 僅受到集中載荷 F_y 作用時(shí)，水平面內(nèi)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角大小。

式中， M（x） 為胞元結(jié)構(gòu)受到集中載荷 F_y 作用時(shí)各壁桿的彎矩； 為胞元結(jié)構(gòu)受到單位彎矩作用時(shí)各壁桿的彎矩。

根據(jù) δ₁₁ 和 Δ_?1F 可計(jì)算出 M₀ 為

式中，

根據(jù)式（15），可以計(jì)算出1/2胞元結(jié)構(gòu)各壁桿在集中載荷 F_y 和彎矩 M₀ 共同作用下，任意橫截面上的彎矩。由于內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)關(guān)于Y軸對(duì)稱，根據(jù)卡氏第二定理，胞元結(jié)構(gòu)在 Y 軸方向的位移 為胞元結(jié)構(gòu)的1/2模型應(yīng)變能關(guān)于 Y 軸集中載荷 F_y 的偏導(dǎo)，其表達(dá)式為

24L₁²L₂sinθ₂+12TL₁²）+6T²L₁+3T²L₂]

根據(jù)單位載荷法可計(jì)算出1/2胞元結(jié)構(gòu)在 X 軸方向的位移 。如圖2（c）所示，在點(diǎn) A 的 X 方向上單獨(dú)施加大小為1的單位載荷。根據(jù)胞元結(jié)構(gòu)各壁桿

同時(shí)受到集中載荷 F_y 和彎矩 M₀ 時(shí)的彎矩 M₁（x） ，以及僅受到 X 方向單位載荷作用時(shí)的彎矩 ，可求得 為

（6TL₁L₂-3TL₂²）cosθ₂-12TL₁²sinθ₁}

根據(jù) 1/2 胞元結(jié)構(gòu)受到壓縮時(shí) X，Y 方向上的位移大小 ，可求得胞元結(jié)構(gòu)在 X 方向上的應(yīng)變 ε_x，Y 方向上的應(yīng)變 ε_y 和應(yīng)力 σ_y 分別為

ε_x=Δ_YX/（L₃+L₂sinθ₂-L₁cosθ₁+t/2）

ε_y=Δ_YY/（2L₃+2L₁sinθ₁-L₂cosθ₂）

由式（19） ～ 式（21）可得，內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)在豎直方向上受到壓縮時(shí)，結(jié)構(gòu)等效泊松比 u_yx 和等效彈性模量 E_y 分別為

2 有限元仿真分析

為驗(yàn)證內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)等效力學(xué)性能解析表達(dá)式的正確性，采用Abaqus有限元仿真軟件對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元模擬，模擬過程中蜂窩結(jié)構(gòu)選用的金屬鋁材料屬性如表1所示。

將內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)胞元沿 X，Y 方向通過周期性排列，建立 3×3 陣列的周期性蜂窩結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行數(shù)值分析。蜂窩結(jié)構(gòu)的整體厚度設(shè)置為 b=5mm 胞元壁桿厚度設(shè)置為 t=2mm 。為保證在模擬過程中蜂窩結(jié)構(gòu)兩端受力均勻，在結(jié)構(gòu)底部與頂部分別設(shè)置一塊厚度均為 1mm 的矩形剛性板，將蜂窩結(jié)構(gòu)置于兩剛性板之間，建立如圖3所示的內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)有限元模型。在模擬過程中，蜂窩結(jié)構(gòu)采用S4R殼單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，上、下剛性板材料選擇鋼，密度為 7800kg/m³ ；彈性模量為 210GPa ;泊松比為0.3。采用R3D4單元對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)格劃分，同時(shí)對(duì)所劃分網(wǎng)格進(jìn)行收斂性分析，以確保網(wǎng)格密度能夠滿足計(jì)算精度所需?？紤]到有限元計(jì)算過程中結(jié)構(gòu)可能產(chǎn)生的接觸行為，蜂窩結(jié)構(gòu)與矩形剛性板的接觸方式設(shè)置為表面與表面接觸，將摩擦因數(shù)設(shè)置為0.2；將蜂窩結(jié)構(gòu)內(nèi)部各胞元之間接觸方式設(shè)置為通用接觸，且接觸表面無摩擦。

在彈性變形范圍內(nèi)，對(duì)內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)豎直方向進(jìn)行壓縮，其邊界條件設(shè)置為：蜂窩結(jié)構(gòu)底部與下剛性板完全約束，對(duì)上端剛性板施加豎直向下 1MPa 的均布載荷進(jìn)行壓縮，同時(shí)約束蜂窩結(jié)構(gòu) Z 方向的位移，確保結(jié)構(gòu)只在XOY平面內(nèi)產(chǎn)生變形。在這些邊界條件下，結(jié)構(gòu)是靜定的，整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛體平移和旋轉(zhuǎn)受到充分的限制，為了避免超約束和超靜定的情況，不需要限制其他旋轉(zhuǎn)自由度。

圖4所示為有限元模擬后處理結(jié)果。如圖4所示，淺色圖形為蜂窩結(jié)構(gòu)模型的未變形圖，深色圖形為結(jié)構(gòu)受到豎直方向壓縮后的變形圖。其中， L 為蜂窩結(jié)構(gòu) X 方向的原長(zhǎng)； L^′ 為結(jié)構(gòu)受到豎直方向壓縮， X 方向變形后的長(zhǎng)度。由圖4能夠明顯看出，內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)在豎直方向上受到壓縮時(shí)，其結(jié)構(gòu)X 方向上長(zhǎng)度減小，產(chǎn)生明顯的負(fù)泊松比效應(yīng)。

3 結(jié)果與討論

3.1胞元夾角 θ_?1 對(duì)結(jié)構(gòu)的影響

將胞元夾角 θ₁ 作為變量，保持胞元結(jié)構(gòu)其余幾何參數(shù)不變，研究 θ₁ 的大小變化與內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)等效力學(xué)性能之間的關(guān)系。令胞元結(jié)構(gòu)的斜桿長(zhǎng) L₁=L₂=10mm ，夾角 θ₂=60^° ，連桿 L₃=12mm 結(jié)構(gòu)整體厚度 b=5mm 。胞元夾角 θ₁ 在 50^°～80^° 均勻取值，間隔為 5^° ，分別計(jì)算不同幾何參數(shù)下結(jié)構(gòu)的等效泊松比和等效彈性模量。

圖5可知，隨著胞元夾角 θ₁ 的增加，結(jié)構(gòu)等效泊松比隨之增大，在此參數(shù)條件下， θ₁ 約為 73^° 時(shí)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)零泊松比狀態(tài)。由圖6可知，等效彈性模量隨著胞元夾角 θ₁ 的增加而減小。由圖5、圖6可以看出，解析解與數(shù)值模擬結(jié)果吻合較好，在合理的誤差范圍內(nèi)。其中，等效泊松比在胞元夾角 θ₁ 與 θ₂ 相等 （θ₁=θ₂=60^° ）時(shí)，相對(duì)誤差較??；等效彈性模量在胞元夾角 θ₁ 趨近于 60^° 時(shí)，相對(duì)誤差逐漸減小。

3.2胞元夾角 θ₂ 對(duì)結(jié)構(gòu)的影響

將胞元夾角 θ₂ 作為變量，保持胞元結(jié)構(gòu)其余幾何參數(shù)不變，研究 θ₂ 與內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)等效力學(xué)性能的關(guān)系。令胞元結(jié)構(gòu)的斜桿長(zhǎng) L_i=L₂= 10mm ，胞元夾角 θ₁=60^° ，連桿長(zhǎng) L₃=12mm ，結(jié)構(gòu)整體厚度 b=5mm 。胞元夾角 θ₂ 在 50^°～80^° 均勻取值，間隔為 5^° ，分別計(jì)算不同幾何參數(shù)下結(jié)構(gòu)的等效泊松比和等效彈性模量。

由圖7可知，隨著胞元夾角 θ₂ 的增大，結(jié)構(gòu)等效泊松比增大，在此參數(shù)條件下， θ₂ 約為 79^° 時(shí)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)零泊松比狀態(tài)。由圖8可知，等效彈性模量隨著胞元夾角 θ₂ 的增加而減小。由圖7、圖8可以看出，解析解與數(shù)值模擬結(jié)果吻合較好，在合理的誤差范圍內(nèi)。等效泊松比與等效彈性模量均在胞元夾角 θ₁ 與 θ₂ 相等（ θ₁=θ₂=60^° ）時(shí)，相對(duì)誤差較小。

3.3斜桿長(zhǎng) L₁ 對(duì)結(jié)構(gòu)的影響

將胞元斜桿長(zhǎng) L₁ 作為變量，保持胞元結(jié)構(gòu)其余幾何參數(shù)不變，研究 L₁ 的大小變化與內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)等效力學(xué)性能之間的關(guān)系。令胞元夾角 θ₁= θ₂=60^° ，斜桿長(zhǎng) L₂=10mm ，連桿長(zhǎng) L₃=12mm ，結(jié)構(gòu)整體厚度 b=5mm 。斜桿長(zhǎng) L₁ 在 8～14mm 均勻取值，間隔為 1mm ，分別計(jì)算不同幾何參數(shù)下結(jié)構(gòu)的等效泊松比和等效彈性模量。

由圖9可知，隨著斜桿長(zhǎng) L₁ 的增加，結(jié)構(gòu)等效泊松比減小。由圖10可知，隨著 L₁ 的增加，等效彈性模量逐漸增大。由圖9、圖10可以看出，解析解與數(shù)值模擬結(jié)果吻合較好，在合理的誤差范圍內(nèi)。等效泊松比與等效彈性模量均在斜桿長(zhǎng) L₁ 與 L₂ 相等 （L₁=L₂= 10mm 時(shí)，相對(duì)誤差較小。

3.4斜桿長(zhǎng) L₂ 對(duì)結(jié)構(gòu)的影響

將胞元斜桿長(zhǎng) L₂ 作為變量，保持胞元結(jié)構(gòu)其余幾何參數(shù)不變，研究 L₂ 與內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)等效力學(xué)性能的關(guān)系。令胞元夾角 θ₁=θ₂=60^° ，斜桿長(zhǎng) L₁=10mm ，連桿長(zhǎng) L₃=12mm ，結(jié)構(gòu)整體厚度 b= 5mm 。斜桿長(zhǎng) L₂ 在 8～14mm 均勻取值，間隔為1mm ，分別計(jì)算不同幾何參數(shù)下結(jié)構(gòu)的等效泊松比和等效彈性模量。

由圖11可知，隨著斜桿長(zhǎng) L₂ 的增加，結(jié)構(gòu)等效泊松比增大。由圖12可知，隨著 L₂ 的增加，等效彈性模量逐漸減小。由圖11、圖12可以看出，解析解與數(shù)值模擬結(jié)果吻合較好，在合理的誤差范圍內(nèi)。等效泊松比與等效彈性模量同樣均在斜桿長(zhǎng) L₂ 與 L₁ 相等 （L₁= L₂=10mm 時(shí)，相對(duì)誤差較小。

3.5 胞元壁厚度 Φ_t 對(duì)結(jié)構(gòu)的影響

將胞元壁厚度 Φ_t 作為變量，保持胞元結(jié)構(gòu)其余幾何參數(shù)不變，研究 Φ_t 與內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)等效力學(xué)性能的關(guān)系。令胞元夾角 θ₁=θ₂=60^° ，斜桿長(zhǎng) L₁=L₂=10mm ，連桿長(zhǎng) L₃=12mm ，結(jié)構(gòu)整體厚度b=5mm 。胞元壁厚度 χ_t 在 1～3mm 均勻取值，間隔為 0.5mm ，分別計(jì)算不同幾何參數(shù)下結(jié)構(gòu)的等效泊松比和等效彈性模量。

由圖13可知，隨著胞元壁厚度 Φ_t 的增加，結(jié)構(gòu)等效泊松比輕微增大。由圖14可知，隨著 Φ_t 的增加，等效彈性模量顯著增大。由圖13、圖14可以看出，解析解與數(shù)值模擬結(jié)果吻合較好，在合理的誤差范圍內(nèi)。

3.6與常規(guī)星形蜂窩等效力學(xué)性能對(duì)比

內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)是基于傳統(tǒng)星形負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)與內(nèi)凹結(jié)構(gòu)相結(jié)合提出的一種新型結(jié)構(gòu)，為了解該結(jié)構(gòu)與常規(guī)星形蜂窩結(jié)構(gòu)之間的等效力學(xué)性能差異，通過有限元模擬對(duì)2種結(jié)構(gòu)在相同條件下的等效泊松比和等效彈性模量進(jìn)行對(duì)比分析。常規(guī)星形蜂窩結(jié)構(gòu)胞元及其相關(guān)尺寸參數(shù)如圖15（a）所示，該結(jié)構(gòu)關(guān)于X、Y軸對(duì)稱。

由于在內(nèi)凹角型蜂窩結(jié)構(gòu)及常規(guī)星形蜂窩結(jié)構(gòu)中，胞元夾角的改變會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的內(nèi)凹程度產(chǎn)生影響，使結(jié)構(gòu)形狀發(fā)生顯著變化，因此選擇胞元夾角作為變量對(duì)2種結(jié)構(gòu)的等效力學(xué)性能進(jìn)行研究。為保證2種結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)的一致性，令2種結(jié)構(gòu)的胞元夾角 θ= θ₁=θ₂=α₁=α₂ 且在范圍 55^°～80^° 均勻取值，斜桿長(zhǎng)L₁=L₂=l₁=l₂=10mm ，連桿 L₃=l₃=12mm ，胞元壁厚 t^′=2mm ，結(jié)構(gòu)整體厚度均設(shè)置為 b^′=5mm 。

為常規(guī)星形蜂窩結(jié)構(gòu)建立 3×3 陣列的周期性模型，如圖15（b）所示。為避免有限元模擬過程中產(chǎn)生誤差，常規(guī)星形蜂窩模型整體結(jié)構(gòu)選用的材料參數(shù)、網(wǎng)格劃分、邊界條件設(shè)置以及載荷的施加等條件，均與上述內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)一致。

由圖16可知，2種結(jié)構(gòu)的等效泊松比均隨著胞元夾角的增加而不斷增大，且逐漸由負(fù)值變?yōu)檎?。而相較于常規(guī)星形蜂窩結(jié)構(gòu)，內(nèi)凹角型蜂窩結(jié)構(gòu)的泊松比變化范圍更大，意味著結(jié)構(gòu)具有更好的可調(diào)控性能。由圖17可知，隨著胞元夾角的增加，2種結(jié)構(gòu)的等效彈性模量均不斷減小，內(nèi)凹角型蜂窩結(jié)構(gòu)的等效彈性模量明顯高于常規(guī)星形蜂窩結(jié)構(gòu)，說明該結(jié)構(gòu)具有比常規(guī)星形蜂窩結(jié)構(gòu)更大的剛度，抗變形能力更強(qiáng)。

通過對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果之間存在一定的誤差。這是由于在使用能量法對(duì)結(jié)構(gòu)位移進(jìn)行理論推導(dǎo)時(shí)，忽略了胞元結(jié)構(gòu)各壁桿之間的剪切和拉壓變形的影響，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)Y方向上的應(yīng)變 ε_y 在相同應(yīng)力作用下，其理論值小于有限元模擬值，從而使結(jié)構(gòu)的理論計(jì)算結(jié)果大于數(shù)值模擬結(jié)果。同時(shí)，在對(duì)有限元模擬后處理的計(jì)算結(jié)果取值時(shí)存在舍入誤差，也會(huì)影響理論結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果之間的誤差。

4結(jié)論

通過將星形蜂窩結(jié)構(gòu)與內(nèi)凹結(jié)構(gòu)相結(jié)合，提出了一種新型內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)。對(duì)該新型結(jié)構(gòu)在彈性變形下的泊松比和等效彈性模量理論表達(dá)式進(jìn)行了推導(dǎo)，同時(shí)采用有限元模擬分析了內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)豎直方向的壓縮力學(xué)性能，并對(duì)結(jié)構(gòu)的等效泊松比和等效彈性模量在胞元結(jié)構(gòu)不同幾何參數(shù)下受到的影響和產(chǎn)生的變化進(jìn)行了研究。在此基礎(chǔ)上還對(duì)比分析了該新型結(jié)構(gòu)與常規(guī)星形負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)等效力學(xué)性能之間的差異。得到主要結(jié)論如下：

1）內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)等效泊松比 u_yx 隨著胞元夾角 θ₁?θ₂ 的增加而增大，說明結(jié)構(gòu)豎直方向上受到壓縮時(shí)，胞元夾角 θ₁?θ₂ 的增加會(huì)使胞元結(jié)構(gòu)整體開始向外膨脹，因此結(jié)構(gòu) X 方向變形效果減弱。隨著胞元夾角 θ₁?θ₂ 不斷增加，胞元結(jié)構(gòu)膨脹效果持續(xù)增大導(dǎo)致結(jié)構(gòu) X 方向上的變形由縮短變?yōu)樯扉L(zhǎng)，泊松比逐漸由負(fù)到正。隨著胞元夾角 θ₁ 的增加，胞元結(jié)構(gòu)受力面積增大導(dǎo)致Y方向上的變形增大，因此結(jié)構(gòu)等效彈性模量 E_y 隨著胞元夾角 θ₁ 增加而減小。而隨著胞元夾角 θ₂ 的增加，胞元斜桿 AB 與載荷方向趨于垂直，導(dǎo)致壁桿受到的彎矩不斷增大，因此結(jié)構(gòu)在Y方向上的應(yīng)變?cè)龃螅刃椥阅Ａ?E_y 減小。

2）當(dāng)內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)豎直方向上受到壓縮時(shí)，隨著斜桿 L₁ 的長(zhǎng)度增加，胞元結(jié)構(gòu)整體高度增大，Y方向上的應(yīng)變減小，因此結(jié)構(gòu)等效泊松比 u_yx 減小，等效彈性模量 E_y 增大。當(dāng)斜桿 L₂ 的長(zhǎng)度增加時(shí)，胞元結(jié)構(gòu)受力面積增大，導(dǎo)致Y方向上的變形增大，因此等效泊松比 u_yx 增大，等效彈性模量 E_y 減小。

3）隨著內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)胞元壁厚度 χ_t 的增加，結(jié)構(gòu)等效泊松比 u_yx 輕微增大，而等效彈性模量 E_y 顯著增大，說明增加胞元壁厚度 Φ_t 可以有效提升結(jié)構(gòu)剛度，增強(qiáng)其穩(wěn)定性。

4）在相同的幾何參數(shù)條件下，相較于常規(guī)星形負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)，本文提出的內(nèi)凹角型負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)具有更大的泊松比可調(diào)控范圍，并且結(jié)構(gòu)等效彈性模量更大，剛度得到了提升，為后續(xù)新型負(fù)泊松比超材料的設(shè)計(jì)提供一定的參考。

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Abstract：NegativePoissonratiostructuresarewidely appied in various enginering fields duetotheirexcellent mechanical properties.Bycombiningthe star-shaped honeycomb structure withthere-entrant structure，anovelre-entrant angle-type negativePoissonratiohoneycombstructureisproposed.Firstly，theunit cel sructure was simplifiedandanalyzed basedonsymmetry，andtheanalyticalexpressions forthePoissonratioandequivalentelasticitymodulusofthestructurewere derived using theenergy method.Secondly，theverticalcompresive mechanicalpropertiesofthestructure were investigated usingAbaqus finiteelement software，andthenumericalsimulationresults werecomparedwith thetheoretical calculations to validatetheaccuracyoftheanalyticalexpressons.Finally，theinfluenceofdiferent geometricparametersoftheunitcel structurontheequivalent Poissonratioandequivalent elasticitymodulus wasdiscussd，andtheequivalent mechanical properties of the structure werecomparedwith those ofconventional star-shaped honeycomb structures.Theresults demonstratethattheproposedtructureexhibitsfavorablenegativePoissonatiocharacteristics，anditsequivalentmechanical propertiescan be adjusted by modifying the geometric parameters.The findings provide valuable insights forthedesign of novel negative Poisson ratio metamaterials.

Key words： Internal concave angle honeycomb structure；Energy method;Celular structure；Mechanical property;

Negative Poisson ratio Correspondingauthor：ZHENG Zhanguang，E-mail： zhenglight@126.com Fund：National Natural ScienceFoundationof China（52265018，51675110）；Guangxi Natural Science Foundation

（2021GXNSFAA220119）; Liuzhou City Science and Technology Planning Project （2022ABA0101） Received：2023-12-23 Revised：2024-02-05