中圖分類號(hào)：TP24

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Motion Control of AUV Based on Backstepping Method Under UncertainDisturbances

CHEN Baofu， YUAN Jianping （NavalArchitectureand Shipping College，Zhanjiang524ooo， China）

Abstract： To address the motion control problem of autonomous underwater vehicles （AUV） under model parameter perturbations and random current disturbances，a vertical-plane backstepping controller and a horizontalplane backstepping controller were designed based on the Lyapunov stability principle，achieving depth and heading control for the AUV. Simulation results demonstrate that the backstepping controller achieves excellent control performance both in disturbance-free scenarios and under model parameter perturbations. Under the combined effects of model parameter perturbations and random current disturbances，slight jiter occurs in the vehicle's control， but the jitter amplitude remains within a controllable range， still satisfying the control requirements.

Key words： AUV; motion control; backstepping method; uncertain disturbances

1 引言

在海洋探索開發(fā)方面，自主水下航行器（AUV發(fā)揮著不可或缺的重要作用[-2]。對(duì)于AUV而言，提高運(yùn)動(dòng)操控性能的核心在于構(gòu)建精準(zhǔn)的水動(dòng)力模型以及運(yùn)用先進(jìn)的控制手段。然而AUV在實(shí)際運(yùn)行中，由于部件老化、傳感器噪聲、以及無法直接測量的系統(tǒng)狀態(tài)等諸多因素，其動(dòng)力學(xué)和水動(dòng)力特性常常與理論模型存在偏差，這使得實(shí)際受控對(duì)象充滿了不確定性。除了模型不確定帶來的干擾，AUV所運(yùn)行的環(huán)境也是瞬息萬變，難以預(yù)測。水下航行時(shí)，隨機(jī)海流會(huì)對(duì)AUV的航向和縱傾產(chǎn)生擾動(dòng)，造成與預(yù)設(shè)值的偏離，因此一個(gè)穩(wěn)定可靠且高品質(zhì)的控制系統(tǒng)是AUV順利完成預(yù)定任務(wù)的基礎(chǔ)保障，更是AUV研發(fā)過程中不可或缺的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

針對(duì)模型不確定和隨海流干擾下的運(yùn)動(dòng)控制問題，近年來學(xué)者們提出了許多引人注目的解決方案：1）結(jié)合不同的控制方法采用復(fù)合控制方案。例如Chen4等為了解決深度控制中存在未知系統(tǒng)參數(shù)和外部干擾的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)的靜態(tài)誤差問題，在滑?？刂破鞯幕A(chǔ)上嵌入了一種自適應(yīng)模糊控制算法用以自動(dòng)調(diào)整主模糊控制器輸出的比例因子，實(shí)現(xiàn)了快速收斂和抖動(dòng)消除；2）加入觀測器輔助改進(jìn)控制器的方案。例如針對(duì)AUV航向控制中有非線性輸入的問題， An^[5] 等基于降階擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器和控制器縮放方法提出一種自整定改進(jìn)型自抗擾控制方法，實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定快速的控制；一些情況下，僅用單種控制器也能達(dá)到相當(dāng)不錯(cuò)的效果，例如針對(duì)動(dòng)力學(xué)模型未知的深度控制問題， 等提出了一種無模型強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法，從AUV的采樣軌跡中學(xué)習(xí)狀態(tài)反饋控制器，在仿真和實(shí)體實(shí)驗(yàn)中都取得了良好的控制效果。

經(jīng)過對(duì)現(xiàn)有AUV運(yùn)動(dòng)控制算法研究的整理發(fā)現(xiàn)：1）絕大部分考慮海流干擾的文獻(xiàn)中，通常將海流的速度值認(rèn)為是定常的，然而在實(shí)際中，海流是隨時(shí)間變化且難以預(yù)測的，定常海流的假設(shè)難免會(huì)與實(shí)際情況出現(xiàn)偏差。針對(duì)這個(gè)問題，本文將會(huì)建立隨機(jī)海流模型，測試AUV在隨機(jī)海流干擾下控制器的適用性和魯棒性，以求更貼合實(shí)際情況；2）結(jié)合工程應(yīng)用的實(shí)際情況，AUV運(yùn)動(dòng)控制在響應(yīng)的實(shí)時(shí)性有較高的要求，然而過于復(fù)雜的控制算法無論從實(shí)現(xiàn)的可能性，亦或是運(yùn)行的快速性上都會(huì)受到制約。因此本文對(duì)于運(yùn)動(dòng)控制算法的選取，以適用性和工程應(yīng)用的可實(shí)現(xiàn)性為原則。本質(zhì)上，模型不確定和隨海流干擾下的運(yùn)動(dòng)控制考驗(yàn)著控制器對(duì)不確定系統(tǒng)的適應(yīng)性以及抗干擾能力，一種近三十年發(fā)展起來的非線性控制方法值得引起注意，那就是反步法，該算法的主要優(yōu)點(diǎn)在于：1）設(shè)計(jì)過程系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化；2）不需要精確的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型；3）不確定干擾下控制的魯棒性。因此本文將結(jié)合AUV運(yùn)動(dòng)模型，基于反步法合理設(shè)計(jì)反步控制器，以實(shí)現(xiàn)AUV在不確定干擾下的運(yùn)動(dòng)控制，提高控制器的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

2 AUV運(yùn)動(dòng)模型

2.1運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

建立AUV的慣性坐標(biāo)系E-n和隨體坐標(biāo)系_o-xyz ，如圖1所示。

根據(jù)慣性坐標(biāo)系和隨體坐標(biāo)系之間的歐拉角轉(zhuǎn)換關(guān)系，得出AUV的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為：

式中：、η、 5 為AUV在慣性坐標(biāo)系上的位置； θ 、y分別為AUV在慣性坐標(biāo)系上的姿態(tài)角； u 、 u 、 w 分別為AUV在軸上的線速度； 分別為AUV繞軸的角速度。

一般情況下，AUV的垂向速度 w 遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于縱向速度 u ，可忽略不計(jì)，式可以簡化為：

2.2動(dòng)力學(xué)模型

橫傾對(duì)AUV各項(xiàng)速度和加速度的影響較小，為了減少不必要的運(yùn)算，本文不考慮橫傾影響，并假設(shè)AUV航速由推力系統(tǒng)穩(wěn)定在期望航速 u_d° AUV動(dòng)力學(xué)模型具體形式為：

式中： T_M 為縱傾力矩； T_N 為轉(zhuǎn)力矩。AUV動(dòng)力學(xué)模型涉及的所有參數(shù)在表1中列出。

3 控制器設(shè)計(jì)

AUV運(yùn)動(dòng)控制主要包括深度控制和航向控制，使用反步控制器進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制的原理框架如圖2所示。

3.1深度控制器設(shè)計(jì)

令期望深度，期望俯仰角和期望俯仰角速度分別為 ξ_d 7 θ_d 和 q_d ，那么深度控制誤差 ζ_e 、縱傾角誤差θ_e 、縱傾角速度誤差 q_e 可以表示為：

深度控制的本質(zhì)是使實(shí)際深度趨向于期望深度，也就是深度控制誤差 。期望深度通常是一個(gè)階躍信號(hào)，那么 ξ_d=0 。

步驟1：

設(shè)計(jì)Lyapunov 函數(shù)為：

式中： p₁ 為大于0的常數(shù)。由公式（2）和公式（5）可得：

設(shè)計(jì)虛擬控制量 θ_d 為：

θ_d=-k₁ζ_e

式中： k₁ 為大于0的常數(shù)。

將公式（7）代人公式（6），可以得到：

步驟2：

設(shè)計(jì)Lyapunov 函數(shù)為：

式中： p₂ 為大于0的常數(shù)。

聯(lián)立公式（2）、（4）和（8），可以得到 V₂ 的導(dǎo)數(shù)為：

為了簡化運(yùn)算，設(shè)計(jì)合適的參數(shù)消除多余的項(xiàng)。此處令 k₁²p₂=p₁ ，那么可以得到：

令虛擬控制量 q_d 為：

q_d=k₂θ_e

式中：為大于零的常數(shù)。

將公式（12）代人（11），可以得到：

因?yàn)閟in ，那么當(dāng)時(shí) 會(huì)小于 0 （204號(hào)

步驟3：

設(shè)計(jì)Lyapunov 函數(shù)為：

式中： p₃ 為大于0的常數(shù)。

聯(lián)立公式（3）、（4）和（14），可以得到：

為了讓 V₃lt;0 ，令：

式中： k₃ 為大于0的常數(shù)，通過公式（16）可以得到：

將公式（3）中 的表達(dá)式代人公式（17）中，可以得到：

將公式（18）中的縱傾力矩提取到公式左邊，其余項(xiàng)移至公式右邊可以得到深度控制所需要的縱傾力矩控制率，如公式（19）所示。

3.2航向控制器設(shè)計(jì)

令期望航向角和期望航向角速度分別為 ψ_d 和 r_d 那么航向控制誤差和航向角速度誤差 r_e 表達(dá)式為：

航向控制的最終目標(biāo)是通過設(shè)計(jì)讓航向控制誤差 ，期望的深度通常是一個(gè)階躍信號(hào)，那么 ψ_d=0

步驟1：

設(shè)計(jì)Lyapunov 函數(shù)為：

式中： c₁ 為大于0的常數(shù)。

聯(lián)立公式（2）、（20）和（21），可以得到 L₁ 的導(dǎo)數(shù)為：

設(shè)計(jì)虛擬控制量 r_d 為：

r_d=h₁ψ_e

式中： h₁ 為大于0的常數(shù)。

將公式（23）代人公式（22）可以得到：

步驟2：

設(shè)計(jì)Lyapunov 函數(shù)為：

式中： c₂ 為大于0的常數(shù)。

聯(lián)立公式（3）、（20）和（25），可以得到函數(shù)L₂ 的導(dǎo)數(shù)為：

式中： L₂lt;0 為大于0的常數(shù)。

將公式（27）代人公式（26）可以得到：

從公式（28）可以看出，當(dāng) h₂gt;c₂h₁ ，那么 L₂lt;0 由公式（27）可以得到：

將公式（3）中的 的表達(dá)式代人到公式中，可以得到：

將公式（30）的轉(zhuǎn)f力矩項(xiàng) τ_N 移到公式左邊，其余項(xiàng)移到公式右邊，那么可以得到所需的轉(zhuǎn)f力矩控制率 τ_N 的表達(dá)式為：

4 仿真試驗(yàn)

4.1仿真環(huán)境搭建

1）仿真平臺(tái)

為驗(yàn)證反步控制器的控制效果，本文在Matlab的Simulink平臺(tái)上搭建仿真環(huán)境進(jìn)行相關(guān)仿真試驗(yàn)

2）參數(shù)攝動(dòng)模型搭建 （1）建模誤差影響

水動(dòng)力系數(shù)的測量一般采用CFD法和約束試驗(yàn)。在CFD方法中，仿真參數(shù)的網(wǎng)格劃分和設(shè)置、約束實(shí)驗(yàn)的安裝精度和測量精度都會(huì)影響流體動(dòng)力系數(shù)的大小。不同方法測得的同一模型的水動(dòng)力系數(shù)也會(huì)有誤差。由于有許多水動(dòng)力系數(shù)，為了適當(dāng)?shù)睾喕鼈?，在展開泰勒級(jí)數(shù)時(shí)只保留二階以下的項(xiàng)。盡管如此，在實(shí)際模型的近似中仍然存在建模誤差。水動(dòng)力系數(shù)的攝動(dòng)值一般為標(biāo)稱值的 10%～30% 。本文取標(biāo)稱值的30% 作為建模誤差，假設(shè)標(biāo)稱值和攝動(dòng)值分別為 p₀ 和p_f ，則有：

p_f=±0.3p₀

（2）外部干擾和運(yùn)動(dòng)耦合引起的參數(shù)攝動(dòng)影響

水下航行器模型具有較強(qiáng)的非線性、耦合性和時(shí)變性，在運(yùn)動(dòng)過程中，復(fù)雜的外部擾動(dòng)會(huì)使水動(dòng)力系數(shù)發(fā)生變化?？紤]到這部分的影響，引入三角函數(shù)來模擬水下航行器在運(yùn)動(dòng)過程中水動(dòng)力系數(shù)的動(dòng)態(tài)變化，則公式（32）可改寫為：

Δ 的變化如圖3所示。

（3）參數(shù)攝動(dòng)干擾模型的加入

在公式（3）的AUV動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上加入?yún)?shù)擾動(dòng)項(xiàng) p_fa ，加入?yún)?shù)攝動(dòng)干擾后的動(dòng)力學(xué)模型如公式所示：

3）隨機(jī)海流模型搭建

假設(shè)海流平行于慣性坐標(biāo)系的水平面，即海流速度垂直分量為 0 令海流的海流的來流的方向是 β ，其來流方向角變化過程用三角函數(shù)模擬， b 為初始來流角。β 表達(dá)形式為：

β=2πsin（at+b）

那么在慣性坐標(biāo)系下海流的速度為 V_c=[V_ccos（β） V_csin（β）0] ，經(jīng)過幾何關(guān)系的轉(zhuǎn)換，則在載體坐標(biāo)系下的海流速度為：

令海流相對(duì)于水下航行器的速度為：

u_r=[u_rv_rw_r]

通過替換公式（3）中AUV動(dòng)力學(xué)模型的線速度項(xiàng) 為AUV與海流的相對(duì)速度 ， w_r ，即可在AUV模型中加入隨機(jī)海流的干擾

海流在時(shí)間和空間上是連續(xù)的，方向和大小是隨機(jī)變化的。一般情況下海水流速較慢，并且受深度和水域環(huán)境影響，根據(jù)文獻(xiàn)深水區(qū)的水流速度不超過 0.5m/s 。由于海流變化率較低，那么流速的變化率V_c=0 ，根據(jù)文獻(xiàn)，基于一階高斯－馬爾科夫過程建立隨機(jī)海流模型如下式所示。

式中： μ 為大于等于0的調(diào)節(jié)系數(shù)； ω 為高斯白噪聲，其功率密度譜服從均勻分布，瞬時(shí)振幅分布無關(guān)?？紤]到不同的水下航行器對(duì)環(huán)境干擾的調(diào)節(jié)能力不同，不能一概而論，海流的干擾應(yīng)選擇在適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)。本文設(shè) μ=3 ，設(shè)高斯白噪聲均值為0，方差為2。生成的海流如圖4所示。

4.2反步深度控制器仿真

深度反步控制器的參數(shù)設(shè)定值為拍 p₁=0.1 ）p₂=62.5 ！ p₃=20 一、 k₁=0.04 、 k₂=0.2 ！ k₃=20

1）無干擾深度控制

仿真條件：航速固定為 5kn ，AUV從 10m 深度開始下潛，依次跟蹤 15m 、 25m 深度，然后深度從 25m 依次回到 10m ，仿真中不考慮參數(shù)攝動(dòng)和隨機(jī)海流干擾的影響。

從圖5和圖6可以看出，AUV在 50s 從 10m 深度開始下潛，下潛過程平穩(wěn)無超調(diào)，經(jīng)過 33s 完全跟蹤到 15m 期望深度，期間控制器輸出最大的縱傾力矩為 14.1N ；在 100s 時(shí)，AUV從 15m 深度開始下潛，經(jīng)過29s完全跟蹤到 25m 深度，下潛過程平穩(wěn)無超調(diào)，期間最大縱傾力矩為 28.3N ；從150s起，AUV逐漸從25m 深度依次上浮至 15m 和 10m 深度，上浮過程同樣平穩(wěn)無超調(diào)，控制器輸出的縱傾力矩與下潛過程的力矩大小相同，方向相反。

2） 30% 模型參數(shù)攝動(dòng)深度控制

仿真條件：航速固定為 5kn ，AUV從 10m 深度開始下潛，依次跟蹤 15m ！ 25m 深度，然后從 25m 深度依次回到 10m 深度，仿真過程加入 30% 模型參數(shù)攝動(dòng)干擾。 30% 參數(shù)攝動(dòng)下的深度控制曲線和深度控制力矩如圖7和圖8所示。

由圖7、圖8可知，AUV在 30% 參數(shù)攝動(dòng)的情況下依然能夠?qū)崿F(xiàn)平穩(wěn)的變深控制，無論是從 10m 開始的連續(xù)下潛運(yùn)動(dòng)，還是從 25m 開始的連續(xù)上浮運(yùn)動(dòng)，AUV在跟蹤過程中始終保持平滑無超調(diào)，控制器輸出的縱傾力矩同樣準(zhǔn)確穩(wěn)定，說明本文所設(shè)計(jì)的深度控制器對(duì)于模型參數(shù)攝動(dòng)干擾下的深度控制有良好的適應(yīng)性。

3） 30% 模型參數(shù)攝動(dòng)與隨機(jī)海流干擾的深度控制

仿真條件：航速固定為 5kn ，AUV從 10m 深度開始下潛，依次跟蹤 15m 、 25m 深度，然后從 25m 深度依次回到 10m 深度，仿真過程加入 30% 的模型參數(shù)攝動(dòng)和海流干擾，海流初始來流角為 45^° ，每秒變化 1^°

AUV相對(duì)海流的速度如圖9、圖10所示。

由圖9可以看出，AUV進(jìn)行深度跟蹤時(shí)，由于縱傾角較小，海流主要影響到AUV的縱向速度，最大偏差接近 0.5m/s 。由圖10可以看出，AUV只有在跟蹤期望深度的過程中才會(huì)受到海流的影響，但是由于縱傾角較小，海流對(duì)AUV垂向速度的影響不大。跟蹤完成后縱傾角為0，AUV縱向速度不受干擾。

由圖11可以看出，AUV在 30% 參數(shù)攝動(dòng)和海流干擾同時(shí)影響的情況下依然能平穩(wěn)地跟蹤到期望深度，深度變化曲線沒有明顯的抖動(dòng)。由圖12可以看出，當(dāng)AUV的垂向速度受到海流的擾動(dòng)時(shí)，反步控制器對(duì)輸入的縱傾力矩進(jìn)行調(diào)節(jié)，呈現(xiàn)出小幅度抖動(dòng)現(xiàn)象，但整體依舊趨于穩(wěn)定，控制效果依然能夠滿足控制要求，這說明本文所設(shè)計(jì)的深度控制器對(duì)于模型參數(shù)攝動(dòng)和隨機(jī)海流干擾有良好的適應(yīng)性和魯棒性。

4.3反步航向控制器仿真

航向反步控制器的參數(shù)設(shè)置為 c₁=2 、 c₂=1 、h₁=1 、 h₂=10 。

1）無干擾航向控制

仿真條件：航速固定為 5kn ，AUV從初始 30^° 航向角開始跟蹤，依次跟蹤到 50^° 、 70^° ，然后從 70^° 逐漸回到 30^° 航向角。仿真中不考慮外部干擾和參數(shù)攝動(dòng)的影響。航向角變化曲線和轉(zhuǎn)力矩大小如圖13、圖14所示。

從圖13和圖14可以看出，AUV在50s時(shí)，開始從 30^° 航向開始轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過7s跟蹤到了 50^° 期望航向角，跟蹤過程快速平穩(wěn)無超調(diào)，期間控制器輸出的最大轉(zhuǎn)力矩為 8.7N ；在 100s ，從 50^° 航向開始轉(zhuǎn)首運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過7s跟蹤到了 70^° 期望航向角，跟蹤過程同樣快速平穩(wěn)無超調(diào)，最大轉(zhuǎn)力矩為 8.7N 后續(xù)從 70^° 航向逐漸回轉(zhuǎn)到 30^° 航向角，航向跟蹤過程同樣表現(xiàn)出色。

2） 30% 模型參數(shù)攝動(dòng)航向控制

仿真條件：航速固定為 5kn ，AUV從初始 30^° 航向角開始跟蹤，依次跟蹤到 50^° 、 70^° ，然后從 70^° 逐漸回到 30^° 航向角，仿真過程加入 30% 模型參數(shù)攝動(dòng)干擾。

由圖15和圖16可知，AUV在 30% 參數(shù)攝動(dòng)的情況下，進(jìn)行連續(xù)航向跟蹤過程快速平穩(wěn)無超調(diào)，依然能實(shí)現(xiàn)良好的航向跟蹤效果，轉(zhuǎn)f力矩輸出也沒有受到明顯的影響，這說明本文所設(shè)計(jì)的航向控制器能適應(yīng)模型參數(shù)攝動(dòng)影響下的航向跟蹤運(yùn)動(dòng)。

3） 30% 模型參數(shù)攝動(dòng)與隨機(jī)海流干擾的航向控制

仿真條件：AUV航速固定為 5kn ，從初始 30^° 航向角開始跟蹤，依次跟蹤到 50^° 、 70^° ，然后從 70^° 逐漸回到 30^° 航向角。仿真過程加入 30% 的參數(shù)擾動(dòng)項(xiàng)和海流干擾，海流初始來流角為 45^° ，每秒變化 1^° 。AUV相對(duì)海流的速度如圖17、圖18所示。

由于海流在水平面流動(dòng)，隨海流來流角度變化，AUV縱向速度和橫向速度都大幅度地受到海流地影響。圖19為AUV跟蹤航向角的變化曲線。

從圖19和圖20可以看出，AUV在航向跟蹤過程航向和輸出力矩發(fā)生較為明顯的抖動(dòng)，這主要是因?yàn)锳UV本身質(zhì)量較小，當(dāng)隨機(jī)海流主要作用于AUV的y軸方向時(shí)，會(huì)對(duì)其產(chǎn)生較大的影響，引起航向跟蹤過程的抖動(dòng)。在本次試驗(yàn)過程中，實(shí)際航向與期望航向最大偏差值為 1.3^° ，其余跟蹤過程，實(shí)際航向基本都在期望值附近抖動(dòng)，偏差幅度都在可接受的范圍內(nèi)，總體而言依然能夠滿足航向控制要求。

5 結(jié)論

通過垂直面深度跟蹤仿真試驗(yàn)和水平面航向跟蹤仿真試驗(yàn)的結(jié)果可以看出，本文所設(shè)計(jì)的反步控制器無論是無干擾下的控制，還是在模型參數(shù)攝動(dòng)以及隨機(jī)海流干擾下的控制，都能取得良好的控制效果，這證明了該控制器不確定干擾下良好的適應(yīng)性和魯棒性。而且在設(shè)計(jì)反步控制器過程中合理選取李雅普諾夫函數(shù)、合理設(shè)計(jì)中間變量，使得最終得到的控制率在控制器參數(shù)項(xiàng)上呈現(xiàn)出類似PID的增益調(diào)節(jié)形式，這極大方便了控制器參數(shù)的調(diào)試與后續(xù)的調(diào)整。相較于其它復(fù)雜的控制器形式，本文中類似增益形式的線性調(diào)節(jié)方式將有利于該反步控制器在后續(xù)實(shí)體AUV上得到試驗(yàn)與應(yīng)用，這具有良好的工程應(yīng)用價(jià)值。

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