中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

“波的干涉”是高中物理人教版教材選擇性必修第一冊第三章第4節(jié)的內(nèi)容?！镀胀ǜ咧形锢碚n程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對(duì)本節(jié)教學(xué)給出的建議是：在教學(xué)中，可以通過水波來觀察波的干涉現(xiàn)象，能用波的疊加來解釋干涉花樣的形成，知道只有兩列波的頻率相同時(shí)才能發(fā)生干涉[1]。本節(jié)教學(xué)指南建議，先讓學(xué)生通過親身體驗(yàn)抖動(dòng)繩子兩端的實(shí)踐活動(dòng)，來直觀感受波的疊加原理。隨后，利用發(fā)波水槽的演示實(shí)驗(yàn)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)干涉圖樣，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出干涉的條件。然而，在實(shí)際教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在執(zhí)行抖動(dòng)繩子實(shí)驗(yàn)時(shí)動(dòng)作過快，即便錄制實(shí)驗(yàn)視頻并后續(xù)處理，也難以獲得清晰的波形圖樣。此外，要求學(xué)生保持繩子兩端以相同頻率抖動(dòng)，操作難度較大，從而難以在繩子上形成明顯的干涉圖樣。學(xué)生對(duì)一維繩波干涉的條件與成因理解不清，又進(jìn)一步阻礙了他們對(duì)二維空間水波干涉的理解進(jìn)程。

物理教學(xué)中，一些內(nèi)容比較抽象，涉及時(shí)間和空間的演進(jìn)，可以利用信息化技術(shù)加以突破[2]。GeoGebra是一款結(jié)合幾何、代數(shù)、數(shù)據(jù)、表格、圖形、統(tǒng)計(jì)和計(jì)算的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，同時(shí)具有處理代數(shù)與幾何的功能，其功能比大家熟知的幾何畫板更強(qiáng)大，操作卻更簡單[3]。借助其強(qiáng)大的繪圖與函數(shù)功能，模擬繩波和水波的疊加干涉實(shí)驗(yàn)，克服傳統(tǒng)演示實(shí)驗(yàn)的局限性，將原本抽象且復(fù)雜文章編號(hào)：1003-6148（2025）6-0080-6的波的疊加與干涉現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為直觀生動(dòng)的表現(xiàn)形式，消除學(xué)生的思維障礙，促進(jìn)學(xué)生深度思考，幫助學(xué)生建立清晰的物理圖景，從而更好地理解物理規(guī)律，提高學(xué)生的物理學(xué)科核心素養(yǎng)[4]。

1 GeoGebra模擬繩波疊加

接下來，從原理、具體操作、結(jié)果生成與應(yīng)用三個(gè)方面，詳細(xì)闡述用GeoGebra實(shí)現(xiàn)波疊加原理可視化的過程。

1.1 課件原理

在理想條件下，當(dāng)繩子的一端被抖動(dòng)時(shí)，會(huì)沿繩子生成一列簡諧波。這一波動(dòng)現(xiàn)象可以通過在GeoGebra中設(shè)置正弦函數(shù)來模擬。利用GeoGebra中的滑動(dòng)條動(dòng)態(tài)調(diào)整相位，能夠?qū)崿F(xiàn)波持續(xù)向前傳播的過程。

1.2 課件制作

（1）創(chuàng)建滑動(dòng)條 χ_t ，表示時(shí)間。

（2）在指令欄輸入第一個(gè)正弦函數(shù) f（x）=

，表示繩子左端產(chǎn)生的

向右傳播的簡諧波。（3）在指令欄輸入另一個(gè)正弦函數(shù)

，表示繩子右端

產(chǎn)生的向左傳播的簡諧波。（4）在指令欄輸入函數(shù)表達(dá)式 h（x）=f（x）+

g（x） ，表示兩列繩波在向前傳播過程中相遇后

疊加。

1.3 課件生成與應(yīng)用

通過操作GeoGebra界面上的滑動(dòng)條，可以實(shí)時(shí)生成分別朝向左、右兩個(gè)方向傳播的簡諧波。隨后，通過設(shè)置界面選項(xiàng)隱藏坐標(biāo)軸與網(wǎng)格，使得展示畫面更簡潔明了。截取兩波相遇并疊加的區(qū)域，如圖1所示。圖中，線1代表從左向右行進(jìn)的波，線2代表從右向左行進(jìn)的波，線3則展示了這兩列波疊加后的最終形態(tài)。學(xué)生觀察此圖后，可以直觀地得出結(jié)論：疊加區(qū)域內(nèi)任意質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)合位移，是由兩列波分別傳播至該點(diǎn)所引起的位移矢量之和。這一過程極大地促進(jìn)了學(xué)生對(duì)波疊加原理的深入理解。

2 GeoGebra演示繩波干涉

接下來，從原理、具體操作、結(jié)果生成與應(yīng)用三個(gè)方面，詳細(xì)闡述用GeoGebra實(shí)現(xiàn)干涉區(qū)域振動(dòng)加強(qiáng)點(diǎn)與振動(dòng)減弱點(diǎn)穩(wěn)定分布及繩波干涉圖樣可視化的過程。

2.1 課件原理

當(dāng)兩列繩波的頻率不同時(shí)，在相遇后的疊加區(qū)域內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)在每個(gè)振動(dòng)周期中的振幅不能保持恒定，無法在疊加區(qū)域內(nèi)形成穩(wěn)定的波形圖案。相反，若兩列波的頻率相同，在疊加區(qū)域內(nèi)的任意質(zhì)點(diǎn)振幅將不隨時(shí)間改變，從而在疊加區(qū)域內(nèi)形成穩(wěn)定的波形圖案，這種現(xiàn)象被稱為波的干涉。

首先，借助GeoGebra平臺(tái)來直觀展現(xiàn)波的疊加效應(yīng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)的影響。繩子左端的振動(dòng)可以通過GeoGebra的正弦函數(shù)模型來模擬；隨著時(shí)間的流逝，該振動(dòng)會(huì)沿繩子傳播至某一質(zhì)點(diǎn)。利用滑動(dòng)條調(diào)整正弦函數(shù)的相位，以精準(zhǔn)模擬該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)。同樣的方法也適用于模擬繩子右端波源振動(dòng)及其向左傳播至某質(zhì)點(diǎn)引起的相應(yīng)振動(dòng)。將這兩個(gè)正弦函數(shù)進(jìn)行疊加，即可得出繩子上某一質(zhì)點(diǎn)的綜合振動(dòng)形態(tài)。

完成以上操作后，通過細(xì)致觀察繩子上任意質(zhì)點(diǎn)在每個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)的振幅波動(dòng)，可以深入領(lǐng)悟振動(dòng)加強(qiáng)點(diǎn)、最強(qiáng)點(diǎn)、減弱點(diǎn)和最弱點(diǎn)的具體含義。掌握振動(dòng)加強(qiáng)點(diǎn)與振動(dòng)減弱點(diǎn)的概念后，再運(yùn)用GeoGebra軟件模擬瀕率一致的波在重疊區(qū)域產(chǎn)生的駐波圖形，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)從振動(dòng)圖像與波形模式兩個(gè)維度全面、深刻地掌握波的干涉現(xiàn)象。

2.2 課件制作

GeoGebra演示波的疊加對(duì)于質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的影響。

（1）在指令欄輸入第一個(gè)正弦函數(shù) f（x）= ，表示繩子左端波源的振動(dòng)向右傳播時(shí)，距離繩子左端距離為 Ω_a 質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)。

（2）在指令欄輸入第二個(gè)正弦函數(shù) ，表示繩子右端波源的振動(dòng)向左傳播時(shí)，距離繩子右端距離為_4-a 質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)。

（3）創(chuàng)建滑動(dòng)條 Ψ_a ，表示繩子上各質(zhì)點(diǎn)。

（4）創(chuàng)建滑動(dòng)條 b ，方便調(diào)控 g（x） 的振動(dòng)頻率。

（5）在指令欄輸人函數(shù)表達(dá)式 h（x）=f（x）+ g（x） ，表示在疊加區(qū)域內(nèi)的某個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其最終振動(dòng)狀態(tài)是兩列波各自傳播至該點(diǎn)所引發(fā)的振動(dòng)相互疊加的結(jié)果。

GeoGebra模擬繩子上兩個(gè)波相遇后所產(chǎn)生的疊加波形圖樣。

（1）在指令欄輸入第一個(gè)正弦函數(shù) （20 ，表示在繩子上從右向左傳播的簡諧波。

（2）在指令欄輸入第二個(gè)正弦函數(shù) f（x）= ，表示在繩子上從左向右傳播的簡諧波。

（3）創(chuàng)建滑動(dòng)條 ，方便調(diào)控 f（x） 的振動(dòng)頻率。

（4）創(chuàng)建滑動(dòng)條 b ，方便調(diào)控 f（x） 的相位。

（5）創(chuàng)建滑動(dòng)條 χ_t ，表示時(shí)間。

（6）在指令欄輸人函數(shù)表達(dá)式 h（x）=f（x）+ g（x） ，表示兩列繩波在傳播過程中相遇并疊加后形成的最終波形圖。點(diǎn)擊“顯示軌跡”功能，記錄波形圖隨時(shí)間變化的全部過程。

2.3 課件生成與應(yīng)用

GeoGebra演示波的疊加對(duì)于質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的影響。首先，假設(shè)繩子右側(cè)的波源保持靜止，僅左側(cè)端點(diǎn)產(chǎn)生振動(dòng)，該振動(dòng)傳播到繩子上被監(jiān)控質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖像如圖2所示。該圖表明，距離繩子左側(cè)端點(diǎn)越遠(yuǎn)的質(zhì)點(diǎn)，其開始振動(dòng)的時(shí)間就越滯后，意味著振動(dòng)傳播至該質(zhì)點(diǎn)所需的時(shí)間更長。相類似，當(dāng)僅有右側(cè)波源活動(dòng)時(shí)，監(jiān)測繩子上某一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況，結(jié)果如圖3所示。

接下來，令繩子的左端和右端同步啟動(dòng)振動(dòng)。繩子上任意一點(diǎn)的振動(dòng)情形，將是左側(cè)與右側(cè)兩個(gè)波源振動(dòng)波傳遞至該點(diǎn)的綜合疊加結(jié)果。對(duì)于繩子上某個(gè)質(zhì)點(diǎn)，左右兩側(cè)傳播至此的波動(dòng)所引發(fā)的振動(dòng)圖形如圖4、圖5中的虛線所示，而振動(dòng)疊加后的最終振動(dòng)圖形為實(shí)線。在圖4中，實(shí)線描繪的是靠近繩子左端某個(gè)質(zhì)點(diǎn)的最終振動(dòng)圖像；在圖5中，實(shí)線則展示了靠近繩子右端某個(gè)質(zhì)點(diǎn)的最終振動(dòng)圖像。

經(jīng)過觀察，不同質(zhì)點(diǎn)最終的振動(dòng)圖像呈現(xiàn)出差異性。以圖4和圖5中展示的質(zhì)點(diǎn)最終振動(dòng)圖像為例進(jìn)行深入分析，可以注意到，在某些振動(dòng)周期內(nèi)，被監(jiān)控質(zhì)點(diǎn)的振幅相較于兩個(gè)單獨(dú)振動(dòng)圖像的振幅有所增大，表明振動(dòng)得到了加強(qiáng)。然而，在另一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)，振幅比兩個(gè)單獨(dú)振動(dòng)圖像的振幅要小，該質(zhì)點(diǎn)呈現(xiàn)出振動(dòng)被減弱的現(xiàn)象。由此可見，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)是不穩(wěn)定的。在此情況下，GeoGebra軟件中設(shè)置的兩個(gè)波源的振動(dòng)頻率是不同的，這代表了兩列頻率不同的波疊加時(shí)的一般情形。

現(xiàn)調(diào)節(jié)兩個(gè)波源的振動(dòng)頻率，使其相等。從繩子的最左端質(zhì)點(diǎn)開始，連續(xù)觀測并記錄繩子上各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖像，結(jié)果如圖6所示。觀察發(fā)現(xiàn)，繩子上的任意質(zhì)點(diǎn)，在每個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)都表現(xiàn)出相同的振幅。這意味著，繩子上的質(zhì)點(diǎn)要么是振動(dòng)加強(qiáng)點(diǎn)（振幅比兩列波的振幅都大），要么是振動(dòng)減弱點(diǎn)（振幅比某列波的振幅?。?。通過GeoGebra的動(dòng)態(tài)演示，我們對(duì)波的干涉現(xiàn)象的本質(zhì)有了更加直觀的理解：當(dāng)兩列波的周期相同時(shí)，在它們的疊加區(qū)域內(nèi)，各個(gè)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)變得穩(wěn)定，即每個(gè)點(diǎn)的振幅都保持不變。其中，振幅為兩列波振幅之和的質(zhì)點(diǎn)為振動(dòng)最強(qiáng)點(diǎn)，振幅為兩列波振幅之差的質(zhì)點(diǎn)為振動(dòng)最弱點(diǎn)。

進(jìn)一步觀察圖6，還可以注意到，振動(dòng)最強(qiáng)點(diǎn)發(fā)生在兩列波的波峰與波峰或波谷與波谷相遇的位置；而振動(dòng)最弱點(diǎn)則出現(xiàn)在一列波的波峰與另一列波的波谷相遇之處。接下來，調(diào)整兩個(gè)波源的振動(dòng)步調(diào)，使之完全相反，得到的各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)如圖7所示。將圖6與圖7中各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)圖像進(jìn)行對(duì)比，可以明顯觀察到，振動(dòng)最強(qiáng)點(diǎn)與振動(dòng)最弱點(diǎn)的位置完全調(diào)轉(zhuǎn)。通過這樣的直觀展示，學(xué)生對(duì)振動(dòng)極值點(diǎn)的位置有了深刻理解，這為后續(xù)從理論上探討這些點(diǎn)與波程差的關(guān)系奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)

在此基礎(chǔ)上，若調(diào)整兩波的相位差至任意數(shù)值，可以觀察到振動(dòng)加強(qiáng)點(diǎn)與振動(dòng)減弱點(diǎn)的位置將發(fā)生新的變動(dòng)。圖8清晰地展示了當(dāng)兩波源的相位差為 時(shí)，振動(dòng)加強(qiáng)點(diǎn)與振動(dòng)減弱點(diǎn)的具體分布情況，從而讓學(xué)生對(duì)振動(dòng)加強(qiáng)點(diǎn)與振動(dòng)減弱點(diǎn)的位置和兩波源的相位差之間的相關(guān)性產(chǎn)生直觀理解。

GeoGebra模擬繩子上兩個(gè)波相遇后產(chǎn)生的疊加波形圖樣

當(dāng)繩子上兩個(gè)波源的頻率被調(diào)整為不相等時(shí)，最終形成的疊加波圖樣如圖9（a）所示；而當(dāng)兩個(gè)波源的頻率被調(diào)整為相同時(shí)，則會(huì)產(chǎn)生穩(wěn)定的疊加波形，即干涉圖樣，如圖9（b）所示。借助GeoGebra的記錄軌跡功能，能夠精確地捕捉并展示隨時(shí)間變化的疊加波形，避免傳統(tǒng)實(shí)體實(shí)驗(yàn)中需要對(duì)實(shí)驗(yàn)視頻進(jìn)行逐幀分析以獲取疊加波形圖時(shí)產(chǎn)生的誤差。實(shí)時(shí)記錄隨時(shí)間變化的干涉圖樣，極大地增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)干涉現(xiàn)象這一抽象概念的認(rèn)識(shí)，有效提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

3 GeoGebra模擬水波的疊加與干涉

接下來，從原理、具體操作、結(jié)果生成與應(yīng)用三個(gè)方面，詳細(xì)闡述用GeoGebra實(shí)現(xiàn)水波疊加與干涉圖樣可視化的過程。

3.1 課件原理

水波可以用簡諧橫波在二維平面上向前傳播的形式來模擬。在GeoGebra的3D計(jì)算器界面中，構(gòu)建一個(gè)二維平面的簡諧函數(shù) f（x，y）= 來表示水波的波源。通過調(diào)整參數(shù) h ，改變波源的位置 （h，0） 。通過把相位設(shè)定為可調(diào)節(jié)的滑動(dòng)條，實(shí)現(xiàn)波在平面上動(dòng)態(tài)向前傳播的模擬。

3.2 課件制作

（1）在指令欄輸入第一個(gè)二維平面上的正弦

函數(shù) ，表示坐標(biāo)

（20 （-h，0） 處產(chǎn)生一列頻率為 的簡諧橫波在二維

平面上向四周傳播。（2）在指令欄輸入第二個(gè)二維平面上的正弦

函數(shù) ，表示坐標(biāo)

（h，0） 處產(chǎn)生一列頻率為 的簡諧橫波在二維平

面上向四周傳播。（3）創(chuàng)建滑動(dòng)條 ，方便調(diào)節(jié)兩波源的頻率。（4）創(chuàng)建滑動(dòng)條 h ，方便調(diào)節(jié)兩波源間的距離。（5）創(chuàng)建滑動(dòng)條 χ_t ，表示時(shí)間，點(diǎn)擊自動(dòng)播放，實(shí)現(xiàn)模擬兩列水波在 xOy 平面內(nèi)向前傳播。

（6）在指令欄輸入函數(shù)表達(dá)式 c（x，y）=a（x，y）+ b（x，y） ，表示兩列水波在傳播過程中相遇并發(fā)生疊加后，所形成的最終波形狀態(tài)。

3.3 課件生成與應(yīng)用

坐標(biāo) （h，0） 和坐標(biāo) （-h，0） 處產(chǎn)生的水波各自獨(dú)立向前傳播，其情形分別如圖10（a）（b）所示。當(dāng)調(diào)整這兩列波的頻率至不相等時(shí)，最終的水波圖樣會(huì)顯得雜亂無章，疊加后的波圖樣如圖11（a）所示；若將兩列波的頻率調(diào)至相同，則會(huì)產(chǎn)生穩(wěn)定的波紋干涉圖樣，如圖11（b）所示。

調(diào)整兩波源的相位差異，可以觀察到干涉圖樣中加強(qiáng)區(qū)域與減弱區(qū)域的位置變化，這些變化與波源間的相位差異直接相關(guān)。圖12（a）展示了兩波源頻率相同、振動(dòng)步調(diào)相反時(shí)的干涉圖樣，圖12（b）展示了兩波源頻率相同、相位差為 時(shí)的干涉圖樣。

在進(jìn)行二維平面水波干涉內(nèi)容教學(xué)時(shí)，此類問題動(dòng)態(tài)性較強(qiáng)。以往在黑板上講授，作圖過程復(fù)雜，且容易前后覆蓋，對(duì)學(xué)生的記憶、理解、想象等能力要求較高。而GeoGebra軟件能輔助模擬動(dòng)態(tài)變化的物理過程，便于學(xué)生充分了解水波疊加干涉變化的整個(gè)過程及細(xì)節(jié)，有利于學(xué)生連續(xù)性科學(xué)思維的建立與發(fā)展[5]。

4結(jié)論

《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出，要設(shè)計(jì)各種學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生利用信息技術(shù)提升物理學(xué)習(xí)能力，如“利用手機(jī)等信息技術(shù)工具便捷地解決某些物理學(xué)習(xí)問題”[1]。通過將數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)軟件GeoGebra融人本章節(jié)的教學(xué)活動(dòng)中，把抽象的波的干涉現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為直觀、動(dòng)態(tài)的視覺體驗(yàn)，有效克服了傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)展示中結(jié)果不明朗的難題，方便了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的保存與分享，為學(xué)生的復(fù)習(xí)和知識(shí)點(diǎn)鞏固帶來了極大便利。尤為重要的是，學(xué)生在課后可自主運(yùn)用此軟件，根據(jù)個(gè)人學(xué)習(xí)節(jié)奏和理解程度靈活操作該模擬實(shí)驗(yàn)。這種自主學(xué)習(xí)模式不僅深化了學(xué)生對(duì)干涉現(xiàn)象的認(rèn)知，還顯著增強(qiáng)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和問題解決技能。因此，這一教學(xué)模式在提高教育質(zhì)量及促進(jìn)學(xué)生思維能力發(fā)展方面均起到了促進(jìn)作用[6]。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020

[2]胡名翔.自制幾何畫板動(dòng)畫開展“多普勒效應(yīng)”教學(xué)的實(shí)踐與思考[J].物理教學(xué)，2024，46（9）：7-9.

[3]殷正徐，吳偉.GeoGebra軟件在高中物理課堂教學(xué)中的應(yīng)用案例分析—以簡諧振動(dòng)和機(jī)械波為例[J].物理教師，2017，38（10）：70-73.

[4]明翔宇，陳俊.在“雙新”背景下，例談GeoGebra軟件在高中物理教學(xué)中的應(yīng)用[J].物理教學(xué)，2022，44（4）：22-26.

[5]任永祥.GeoGebra軟件在高中物理教學(xué)中的應(yīng)用—以電路動(dòng)態(tài)分析問題為例[J].中國現(xiàn)代教育裝備，2023（14）：20-23.

[6]黃北京，劉毓球.用GeoGebra輔助高中物理微元思想的教學(xué)[J].物理教師，2013，34（4）：58-59.

（欄目編輯 賈偉堯）