doi：10.3969/j.issn.1673-0194.2025.12.047

[中圖分類號]G642；013 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼］A [文章編號]1673-0194（2025）12-0144-03

0 引言

在當(dāng)今數(shù)字化時(shí)代，互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)已深度滲透到教育領(lǐng)域，促使高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式發(fā)生深刻變革。高等數(shù)學(xué)傳統(tǒng)教學(xué)模式以課堂講授為主，即教師在黑板上板書推導(dǎo)公式，學(xué)生被動聽課、記錄，課后通過大量習(xí)題鞏固知識。該模式雖有系統(tǒng)性強(qiáng)、知識傳授直接等優(yōu)點(diǎn)，但弊端也日益凸顯。而“互聯(lián)網(wǎng) +^′′ 給高等數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了新契機(jī)?；ヂ?lián)網(wǎng)技術(shù)與高等數(shù)學(xué)教學(xué)的融合催生出新的教學(xué)模式與方法，打破了傳統(tǒng)教學(xué)束縛，為學(xué)生創(chuàng)造了更好的學(xué)習(xí)環(huán)境，提升了教學(xué)質(zhì)量與效果。在此背景下，探討“互聯(lián)網(wǎng) + 高等數(shù)學(xué)”的教學(xué)關(guān)鍵環(huán)節(jié)與實(shí)踐路徑，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

1基于“互聯(lián)網(wǎng) +^v 的高等數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)

1.1引導(dǎo)課前預(yù)習(xí)

在“互聯(lián)網(wǎng) +^： ”環(huán)境下，課前預(yù)習(xí)成為高等數(shù)學(xué)教學(xué)的起始環(huán)節(jié)。在此環(huán)節(jié)，教師需要借助豐富多樣的網(wǎng)絡(luò)平臺為學(xué)生精心布置預(yù)習(xí)任務(wù)，開啟知識探索之旅[1]。以導(dǎo)數(shù)知識為例，教師在超星學(xué)習(xí)通平臺上提前推送預(yù)習(xí)資料，涵蓋生動形象的微課視頻，視頻中動畫演示函數(shù)在某點(diǎn)處切線斜率變化，直觀呈現(xiàn)導(dǎo)數(shù)幾何意義；還有精心制作的電子文檔，詳細(xì)闡釋導(dǎo)數(shù)定義、基本求導(dǎo)公式推導(dǎo)過程，幫助學(xué)生初步構(gòu)建知識框架。同時(shí)，教師要設(shè)置預(yù)習(xí)思考問題，如“結(jié)合生活實(shí)例，談?wù)剬?dǎo)數(shù)在變速運(yùn)動、邊際成本分析中的作用”，引導(dǎo)學(xué)生帶著問題去學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與知識應(yīng)用能力。學(xué)生在平臺討論區(qū)交流預(yù)習(xí)心得，分享變速運(yùn)動中速度對時(shí)間導(dǎo)數(shù)即瞬時(shí)加速度的理解，教師要實(shí)時(shí)關(guān)注，精準(zhǔn)把握學(xué)生預(yù)習(xí)難點(diǎn)，為課堂教學(xué)重點(diǎn)突破提供依據(jù)，讓課堂教學(xué)更具針對性、高效性，充分發(fā)揮課前預(yù)習(xí)的作用，激發(fā)學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)主動性。

1.2深化課堂互動

課堂上，教師需要充分發(fā)揮互聯(lián)網(wǎng)優(yōu)勢，運(yùn)用多媒體技術(shù)全方位展示教學(xué)內(nèi)容。例如，在講解定積分概念時(shí)，借助精美的演示文稿，以動態(tài)圖形展示曲邊梯形分割、近似、求和、取極限過程，將抽象思維可視化，使學(xué)生直觀感受定積分內(nèi)涵；配合GeoGebra等數(shù)學(xué)軟件，實(shí)時(shí)調(diào)整函數(shù)曲線、積分區(qū)間，使學(xué)生可以觀察積分值變化，深入理解定積分性質(zhì)，如積分區(qū)間可加性，激發(fā)探索欲望。教帥還要組織小組討論，在學(xué)習(xí)通平臺發(fā)布討論話題，如“定積分在物理學(xué)中求變力做功、經(jīng)濟(jì)學(xué)中求消費(fèi)者剩余的應(yīng)用對比”。各小組利用線上線下相結(jié)合的方式進(jìn)行研討，線上交流初步想法，線下深度剖析，之后線上匯報(bào)成果，由教師點(diǎn)評，以培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作、知識運(yùn)用與表達(dá)能力。此外，還可開展線上答題競賽，運(yùn)用問卷星設(shè)置限時(shí)定積分計(jì)算、概念辨析題，學(xué)生即時(shí)提交答案，平臺反饋排名，激發(fā)競爭意識，活躍課堂氛圍，促使學(xué)生快速思考，精準(zhǔn)答題，鞏固知識，提升應(yīng)變能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)成就感，讓課堂成為思維碰撞的場所[2]。

1.3課后鞏固拓展

課后，教師可借助線上平臺為學(xué)生精心布置作業(yè)，利用學(xué)習(xí)通等平臺推送與課堂知識緊密相關(guān)的習(xí)題，涵蓋基礎(chǔ)鞏固、能力提升、拓展探究等不同層次。例如，學(xué)完級數(shù)知識后，基礎(chǔ)題側(cè)重于考查級數(shù)斂散性判斷常規(guī)方法的運(yùn)用，提升題聚焦復(fù)雜級數(shù)求和技巧，拓展題引入前沿科研中級數(shù)應(yīng)用實(shí)例，滿足不同學(xué)生的需求。設(shè)置輔導(dǎo)答疑板塊，學(xué)生隨時(shí)提問，教師線上解答，對于共性問題錄制微課統(tǒng)一講解，如多元函數(shù)求偏導(dǎo)易錯點(diǎn)剖析，助力學(xué)生突破難點(diǎn)。還可推送拓展類學(xué)習(xí)資料，如介紹數(shù)學(xué)在人工智能算法優(yōu)化中應(yīng)用的科普文章、探討數(shù)學(xué)史發(fā)展脈絡(luò)的在線講座鏈接，拓寬學(xué)生的知識面，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓課后學(xué)習(xí)成為知識深化、視野拓展的持續(xù)旅程，全方位增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

2基于“互聯(lián)網(wǎng) +ⁿ 的高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐路徑

下面將以多元函數(shù)微積分教學(xué)為例，探索基于“互聯(lián)網(wǎng) +^′′ 的高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐路徑。

2.1收集互聯(lián)網(wǎng)教學(xué)資源

在線課程平臺提供了豐富多樣的課程資源，教師可選取優(yōu)質(zhì)課程資源，如中國大學(xué)MOOC上知名高校教授關(guān)于多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、全微分等概念的深入講解視頻，融入自己的教學(xué)中。同時(shí)，借助Mathematica和MATLAB等數(shù)學(xué)軟件資源，將抽象的多元函數(shù)微積分知識直觀化。在講解多元函數(shù)的極值與最值時(shí)，利用Mathematica繪制函數(shù)的三維圖像，使學(xué)生能直觀看到函數(shù)在空間中的形態(tài)，清晰地觀察到極值點(diǎn)的位置和函數(shù)的變化趨勢。通過MATLAB編寫程序，求解多元函數(shù)在特定條件下的最值問題，讓學(xué)生了解數(shù)值計(jì)算在實(shí)際應(yīng)用中的操作方法，增強(qiáng)對知識的應(yīng)用能力。

2.2確定教學(xué)重難點(diǎn)

多元函數(shù)微積分的教學(xué)重點(diǎn)在于多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分、重積分等概念的理解與計(jì)算，以及多元函數(shù)微積分在實(shí)際問題中的應(yīng)用。比如，多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算是后續(xù)學(xué)習(xí)多元函數(shù)極值、曲線與曲面積分等內(nèi)容的基礎(chǔ)，必須讓學(xué)生熟練掌握。而難點(diǎn)則體現(xiàn)在對多元函數(shù)抽象概念的理解上，如多元函數(shù)極限的“ε-8”定義，以及多重積分的計(jì)算，尤其是積分區(qū)域的確定和積分次序的選擇。以二重積分的計(jì)算為例，學(xué)生往往難以確定積分區(qū)域的邊界，導(dǎo)致積分限的設(shè)定錯誤。為突破這些重難點(diǎn)，需要加強(qiáng)對互聯(lián)網(wǎng)資源的開發(fā)和利用。對于抽象概念，教師可通過在線課程平臺中生動形象的動畫演示，幫助學(xué)生理解，如利用動畫展示多元函數(shù)極限中自變量在定義域內(nèi)趨近某一點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值的變化過程，使學(xué)生更直觀地把握極限的含義。在講解多重積分的計(jì)算時(shí)，教師可在網(wǎng)絡(luò)平臺上搜索相關(guān)的教學(xué)案例，通過詳細(xì)的步驟演示和多種解題思路的分析，幫助學(xué)生掌握積分區(qū)域的劃分和積分次序的確定方法[3]。

2.3指導(dǎo)課前預(yù)習(xí)

教師可借助超星學(xué)習(xí)通平臺，發(fā)布多元函數(shù)微積分的預(yù)習(xí)任務(wù)，提前上傳精心挑選的中國大學(xué)MOOC上多元函數(shù)極限與連續(xù)的相關(guān)教學(xué)視頻，視頻中教師通過生動的實(shí)例和形象的動畫，深入淺出地講解了多元函數(shù)極限的定義、計(jì)算方法以及連續(xù)的概念。同時(shí)，設(shè)置幾道引導(dǎo)性問題，如“對比一元函數(shù)極限，多元函數(shù)極限在定義和計(jì)算上有哪些異同點(diǎn)？”“請舉例說明多元函數(shù)連續(xù)的實(shí)際意義”等，要求學(xué)生在觀看視頻后思考并在學(xué)習(xí)通討論區(qū)分享自己的見解。學(xué)生在收到預(yù)習(xí)任務(wù)后，自主安排時(shí)間進(jìn)行學(xué)習(xí)。他們通過觀看教學(xué)視頻，初步了解課程內(nèi)容，對于引導(dǎo)性問題，積極在討論區(qū)發(fā)表自己的觀點(diǎn)。例如，有的學(xué)生會認(rèn)為，多元函數(shù)極限在計(jì)算時(shí)需要考慮多個自變量的趨近方式，比一元函數(shù)極限更復(fù)雜。教師在后臺實(shí)時(shí)關(guān)注學(xué)生的討論情況，對學(xué)生的觀點(diǎn)進(jìn)行點(diǎn)評和引導(dǎo)，幫助學(xué)生更好地理解預(yù)習(xí)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和思考的習(xí)慣。

2.4組織課堂教學(xué)

課堂教學(xué)采用直播與互動相結(jié)合的方式，利用騰訊會議進(jìn)行直播授課。在講解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念時(shí)，教師可以通過屏幕共享，展示多元函數(shù)在某點(diǎn)處沿著不同方向的變化情況，結(jié)合Mathematica軟件繪制的函數(shù)圖像，直觀地向?qū)W生展示偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

在講解過程中，教師要設(shè)置多個提問環(huán)節(jié)，鼓勵學(xué)生積極參與互動，如提問“在實(shí)際問題中，如何確定需要計(jì)算多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)”，讓學(xué)生連麥回答。同時(shí)，利用在線投票功能，針對某個知識點(diǎn)給出不同的理解選項(xiàng)，讓學(xué)生快速投票，教師根據(jù)投票結(jié)果及時(shí)了解學(xué)生的知識掌握情況，調(diào)整教學(xué)節(jié)奏。對于學(xué)生理解困難的地方，如多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，教師可以通過具體的案例，詳細(xì)演示求導(dǎo)過程，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組討論，在學(xué)習(xí)通討論區(qū)分享各自的解題思路，促進(jìn)學(xué)生之間的思想交流與思維碰撞[4]。

2.5課后復(fù)習(xí)與拓展

課后，教師在超星學(xué)習(xí)通平臺布置與課堂內(nèi)容緊密相關(guān)的作業(yè)，涵蓋多元函數(shù)極限、偏導(dǎo)數(shù)、全微分等知識點(diǎn)，題型包括選擇題、填空題、解答題等，全面考查學(xué)生對知識的掌握程度。作業(yè)提交后，系統(tǒng)自動批改客觀題，給出成績和詳細(xì)解析，學(xué)生可以及時(shí)了解自己的答題情況，對于錯誤的題目，能夠通過解析明確錯誤原因，并進(jìn)行針對性復(fù)習(xí)。

同時(shí)，教師可在平臺上推薦一些拓展類學(xué)習(xí)資源，如學(xué)術(shù)論文《多元函數(shù)微積分在人工智能算法中的應(yīng)用》《多元函數(shù)微積分在圖像處理中的優(yōu)化策略》等，以及相關(guān)的在線課程視頻，鼓勵學(xué)生進(jìn)一步拓展知識面。對于學(xué)有余力的學(xué)生，布置一些探究性任務(wù)，如利用多元函數(shù)微積分知識對某個物理現(xiàn)象進(jìn)行建模分析，或者研究多元函數(shù)極值在優(yōu)化問題中的實(shí)際應(yīng)用。通過完成這些任務(wù)，學(xué)生不僅能夠鞏固課堂所學(xué)知識，還能培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新思維，提高對多元函數(shù)微積分知識的綜合運(yùn)用能力。

3基于“互聯(lián)網(wǎng) +^s 的高等數(shù)學(xué)教學(xué)活動的保障措施

3.1加強(qiáng)教師培訓(xùn)與支持

為助力教師適應(yīng)互聯(lián)網(wǎng) + 高等數(shù)學(xué)\"教學(xué)模式，學(xué)校應(yīng)強(qiáng)化對教師的培訓(xùn)。一方面，組織常態(tài)化技術(shù)培訓(xùn)，定期邀請軟件專家、平臺技術(shù)人員針對數(shù)學(xué)軟件（如Mathematica、Maple等）、在線教學(xué)平臺（如超星學(xué)習(xí)通、雨課堂等）操作技巧與高階應(yīng)用開展培訓(xùn)。比如，每月舉辦一次為期兩天的集中培訓(xùn)，第一天上午講解軟件核心功能與基礎(chǔ)操作，下午結(jié)合高等數(shù)學(xué)教學(xué)案例演示軟件應(yīng)用；第二天上午介紹平臺架構(gòu)與功能模塊，下午組織教師實(shí)操練習(xí)，并設(shè)置答疑環(huán)節(jié)，確保教師熟練掌握技術(shù)，提高課堂與技術(shù)的融合度。另一方面，搭建教師線上線下交流平臺，線上建立校內(nèi)教師專屬論壇，分設(shè)技術(shù)研討、教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)管理等板塊，教師隨時(shí)分享經(jīng)驗(yàn)、探討難題；線下定期組織教學(xué)沙龍，每學(xué)期開展3～4次，以“互聯(lián)網(wǎng) + 高等數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)新實(shí)踐”為主題，邀請校內(nèi)外教學(xué)名師分享前沿理念與成功案例，組織教師分組交流，促進(jìn)共同成長，為教師教學(xué)改革實(shí)踐筑牢根基[5]。

3.2優(yōu)化教學(xué)管理

在教學(xué)管理層面，學(xué)校與教師協(xié)同發(fā)力，完善學(xué)習(xí)監(jiān)督機(jī)制。第一，利用學(xué)習(xí)平臺監(jiān)測功能，精準(zhǔn)記錄學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)長、觀看視頻遍數(shù)、參與討論活躍度等數(shù)據(jù)，將線上學(xué)習(xí)表現(xiàn)按一定比例納入平時(shí)成績，如設(shè)定線上學(xué)習(xí)占平時(shí)成績 30% ，促使學(xué)生重視自主學(xué)習(xí)；對于疑似刷課行為，通過隨機(jī)彈出知識點(diǎn)問答、定期人臉識別驗(yàn)證等方式進(jìn)行甄別，一旦查實(shí)依規(guī)處理，確保學(xué)生學(xué)習(xí)的真實(shí)性。第二，強(qiáng)化教學(xué)設(shè)計(jì)與銜接。教師開展集體備課，共同研討線上線下教學(xué)內(nèi)容融合點(diǎn)，如針對數(shù)列極限章節(jié)，線上預(yù)習(xí)聚焦于基礎(chǔ)概念與簡單實(shí)例，課堂教學(xué)側(cè)重于復(fù)雜證明與深度拓展，課后注重復(fù)習(xí)鞏固。建立教學(xué)反饋渠道，定期收集學(xué)生意見，依據(jù)反饋信息調(diào)整教學(xué)方案。例如，若學(xué)生反映線上習(xí)題難度大，則及時(shí)分層設(shè)置習(xí)題，以保障教學(xué)內(nèi)容契合學(xué)生需求，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長，提升“互聯(lián)網(wǎng) + 高等數(shù)學(xué)”的教學(xué)質(zhì)量。

4結(jié)束語

“互聯(lián)網(wǎng) +^' ”給高等數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了前所未有的機(jī)遇?；诮虒W(xué)資源的數(shù)字化和教學(xué)方式的多元化，高等數(shù)學(xué)可以打破傳統(tǒng)教學(xué)模式的時(shí)空限制，為學(xué)生提供更加便捷、高效的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。然而，技術(shù)的快速迭代和教學(xué)管理的復(fù)雜性也對教師提出了更高的要求。展望未來，需要繼續(xù)加強(qiáng)教師培訓(xùn)，提升教師的信息技術(shù)應(yīng)用能力和教學(xué)創(chuàng)新能力。同時(shí)，還需要不斷完善教學(xué)管理體系，確保線上線下教學(xué)的有機(jī)銜接和有效監(jiān)管。相信在各方共同努力下，“互聯(lián)網(wǎng) + 高等數(shù)學(xué)”教學(xué)模式將不斷煥發(fā)新的生機(jī)與活力，為培養(yǎng)更多具有創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的高素質(zhì)人才貢獻(xiàn)力量。

主要參考文獻(xiàn)

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[2]寇俊克.基于“互聯(lián)網(wǎng) +^′′ 的高等數(shù)學(xué)多元化課程評價(jià)體系構(gòu)建［J].產(chǎn)業(yè)與科技論壇，2023（15）：249-250.

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[5]張慶月．“互聯(lián)網(wǎng) + ”背景下高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革探索［J].高教學(xué)刊，2023（34）：120-123，128