學(xué)習(xí)進階理論是在美國教育改革中，學(xué)生按照進階和提升的思維方式，在一個學(xué)習(xí)時間段內(nèi)探究某種知識時提出的一個概念.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，概念的教學(xué)處于十分重要的地位.概念的學(xué)習(xí)應(yīng)該注重知識探究的過程，學(xué)生在探究中感受知識生成、發(fā)展、遷移的過程.教師在設(shè)計教學(xué)內(nèi)容時，可以根據(jù)學(xué)生已有的知識和認知能力將數(shù)學(xué)知識由淺人深、進階式地呈現(xiàn)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)時能夠建立新舊知識間的聯(lián)系，精準梳理邏輯關(guān)系，在變化的案例中歸納不變的數(shù)學(xué)結(jié)論，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.在具體教學(xué)時可以設(shè)置有效的進階式問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生在自主思考的過程中，通過不斷地解決問題，逐漸接近數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，感受知識間的關(guān)系.

前段時間筆者開設(shè)了一節(jié)“平均變化率”展示課，課程講授的是蘇教版《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第5章“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用\"第一節(jié)的內(nèi)容.本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了用平均速度刻畫物體運動的快慢，如何更加細致地分析物體在整個過程中不同時間段和具體某個時刻的運動快慢是本節(jié)課的主要研究內(nèi)容.本節(jié)課的教學(xué)，筆者以知識的進階學(xué)習(xí)為明線，以學(xué)生能力的培養(yǎng)為暗線，通過層層遞進式的進階問題引導(dǎo)學(xué)生探索平均變化率的特點，為進一步認識瞬時變化率和導(dǎo)數(shù)的概念做好準備.

1教學(xué)過程

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》以下簡稱“課程標準\"指出，學(xué)習(xí)不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)果，還要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程.[結(jié)合學(xué)生的已有知識和學(xué)習(xí)經(jīng)驗，教師要在實際問題的解決中創(chuàng)設(shè)合理的探究過程，激發(fā)學(xué)生的興趣和想象力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).本節(jié)課，筆者設(shè)計了五個教學(xué)環(huán)節(jié)（如圖1）.

1.1問題情境，感受數(shù)學(xué)

在我們生活的世界里，變化無處不在，有隨處可見的宏觀世界的變化，也有肉眼無法捕捉的微觀世界的變化，那么對于這些變化我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)的眼光去觀察它們，并能用數(shù)學(xué)的思維去研究它們呢？

情境1：在學(xué)校運動會比賽中，我們班的參賽選手在男子100米半決賽中，以11秒03的成績成功晉級決賽.

情境2：如圖2所示，某日天氣預(yù)報播報最近氣溫“陡升”，天熱得太快啦！

為了使學(xué)生更好地探究以上兩個情境問題，筆者設(shè)置了下面3個進階式的問題

問題1這兩個問題中有哪些量？它們之間有哪些關(guān)系？

問題2利用這些量間的關(guān)系，你能建立數(shù)學(xué)模型刻畫參賽選手的“飛速”和氣溫的“陡升”嗎？

問題3你能用數(shù)學(xué)的語言歸納你的結(jié)論嗎？

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)用常見的生活問題引入，問題1是通過計算平均速度來判斷運動速度的快慢，這是從整體的角度進行分析；問題2溫度變化的快慢要分時段來看，這是從局部的角度來分析的.在此過程中，借助進階式的數(shù)學(xué)問題讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維去提煉、分析數(shù)學(xué)問題，能夠用數(shù)學(xué)的知識解釋生活現(xiàn)象，并進一步用數(shù)學(xué)的文字或者符號語言去歸納結(jié)論，初步感受平均變化率的意義.

1.2概念形成，建立數(shù)學(xué)

我們通過建立數(shù)學(xué)模型，借助數(shù)據(jù)分析了生活中運動速度的快慢和溫度變化的趨勢，這對于數(shù)學(xué)的研究有很大的啟示，

活動1：如何建立數(shù)學(xué)模型刻畫基本初等函數(shù)在 上的平均變化率

問題1 如何刻畫一次函數(shù) 在區(qū)間上[1，4]上的平均變化率？

問題2上述函數(shù)在區(qū)間 [x₁，x₂] 上的平均變化率如何刻畫？

問題3如何刻畫函數(shù) ， y=x² 在區(qū)間[1，4]上的平均變化率？在區(qū)間 [x₁，x₂] 呢？

【設(shè)計意圖】從基本初等函數(shù)出發(fā)，讓學(xué)生回歸到數(shù)學(xué)問題，通過具體數(shù)值的計算，由特殊到一般，結(jié)合函數(shù)的圖象，對一次函數(shù)、冪函數(shù)、二次函數(shù)在不同區(qū)間上函數(shù)值變化快慢的分析，進一步感受平均變化率可以刻畫函數(shù)在某個范圍內(nèi)的變化趨勢和快慢程度，為歸納平均變化率的概念提供案例基礎(chǔ).

1.3歸納結(jié)論，感悟數(shù)學(xué)

“特殊到一般”是我們研究數(shù)學(xué)問題常用的思想.從生活中的運動和氣溫變化到一次函數(shù)、二次函數(shù)和冪函數(shù)在不同區(qū)間上的平均變化率，進行深度學(xué)習(xí).

活動2：對于一般的函數(shù) y=f（x） ，如何刻畫它在 [x₁，x₂] 上的平均變化率.

問題1函數(shù) 與 Δy分別是什么？

問題2你能寫出該函數(shù)在 上的平均變化率的表達式嗎？

問題3你能歸納平均變化率的概念嗎？

問題4通過平均變化率的探究過程，你有哪些收獲？

【設(shè)計意圖】在學(xué)生探究一次函數(shù)和二次函數(shù)在給定區(qū)間上的平均變化率的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生思考“對于一般函數(shù) y=f（x） ，如何總結(jié)平均變化率的計算方法”.這幾個環(huán)節(jié)層層遞進，難度逐步提升.設(shè)計符合學(xué)生認識特點和知識生長規(guī)律的問題，在探究過程中有利于學(xué)生形成從特殊到一般的數(shù)學(xué)研究思路.

活動3：函數(shù)平均變化率的幾何意義是什么.

問題1分別探究函數(shù) x² 在區(qū)間[1，2]和區(qū)間[3，4]上的平均變化率，你有什么發(fā)現(xiàn)？

問題2你能概括出平均變化率的幾何意義嗎？

【設(shè)計意圖】在學(xué)生掌握平均變化率概念的基礎(chǔ)上，進一步結(jié)合圖形探究平均變化率的幾何意義，明確平均變化率的本質(zhì)是兩點連線的斜率，在此過程中提升學(xué)生對于平均變化率的理解和認識，讓學(xué)生在探究平均變化率的概念時感受歸納、概括數(shù)學(xué)結(jié)論的一般思路

1.4例題講解，運用數(shù)學(xué)

例1某動物從出生開始到第12個月時的體重情況如圖所示，請你計算從0到3月、6月以及12月該動物體重的平均變化率.

例2已知函數(shù) f（x）=5x+2，g（x）=-5x .分別計算 f（x），g（x） 在區(qū)間[-3，-2]，[0，2]上的平均變化率.

例3已知函數(shù) ，分別計算函數(shù) 在區(qū)間[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.01]，[1，1.001上的平均變化率.

【設(shè)計意圖】通過例題的解答，讓學(xué)生感受平均變化率的規(guī)范解答過程，體會數(shù)學(xué)的嚴謹性和規(guī)范性，加深對平均變化率概念的理解.例3的設(shè)置為下一節(jié)學(xué)習(xí)瞬時變化率作鋪墊，通過數(shù)形結(jié)合體會平均變化率的變化.

1.5 回顧反思，理解數(shù)學(xué)

思考1：這節(jié)課我學(xué)到了什么.

思考2：我還想進一步探究什么.

【設(shè)計意圖】本節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生從“知識”和“方法”兩個方面進行總結(jié)，讓學(xué)生回顧本節(jié)課的探究過程，感受探索新知識的一般過程，梳理本節(jié)課的知識點與個人思想的收獲.在探究數(shù)學(xué)問題的過程中，學(xué)生掌握總結(jié)、歸納數(shù)學(xué)結(jié)論的一般方法.這種開放式小結(jié)，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)主動性的培養(yǎng).

2教學(xué)反饋

本節(jié)教學(xué)內(nèi)容圍繞“平均變化率”的概念展開，建立了常量數(shù)學(xué)與變量數(shù)學(xué)間的橋梁.縱觀整節(jié)課，在進階式問題的引領(lǐng)下，學(xué)生能精準地理解“平均變化率\"的概念從生成到發(fā)展再到延伸的整個過程.教師在探究中有效地提升課堂教學(xué)質(zhì)量，助力學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì).

教學(xué)內(nèi)容以生活中常見的100米賽跑、氣溫變化等實例引入“平均變化率”的概念，讓抽象概念變得直觀.學(xué)生能初步感知變化率在描述事物變化快慢方面的作用.在知識講解階段，通過具體函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)，分析平均變化率的計算方法，在此基礎(chǔ)上歸納結(jié)論，幫助學(xué)生理解并掌握公式的應(yīng)用.

課堂上，學(xué)生參與度較高，尤其是在小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生能夠積極分享自己對變化率的理解，列舉的例子也很具有典型性，但也存在一些問題.例如，個別學(xué)生在課堂練習(xí)中自主思考能力不足，還有個別學(xué)生注意力不集中，跟不上教學(xué)節(jié)奏，這些都反映出不同學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和專注力上的差異.針對上述問題，筆者也思考了相應(yīng)的解決辦法： ① 根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進行分層教學(xué)，設(shè)計不同難度的探究問題、課堂例題和隨堂練習(xí).例如，對于基礎(chǔ)薄弱學(xué)生，加強基礎(chǔ)知識鞏固，通過一對一輔導(dǎo)、專項練習(xí)等方式，幫助他們彌補知識漏洞. ② 優(yōu)化教學(xué)方法，在講授概念時，增加與學(xué)生的互動環(huán)節(jié)，讓學(xué)生自主列舉生活中的實例，解釋平均變化率，加深概念的理解. ③ 引入更多實際生活中的數(shù)學(xué)問題，如經(jīng)濟增長、人口變化等，讓學(xué)生運用平均變化率知識解決，增強知識的實用性和趣味性，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.

3教學(xué)思考

3.1知識生長，抽象數(shù)學(xué)概念

本節(jié)課從學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位出發(fā)，以知識掌握為明線，以數(shù)學(xué)思想的提升為暗線.內(nèi)容設(shè)計上，從生活中的案例引入，借助生活經(jīng)驗讓學(xué)生初步感知平均變化率是什么，在此基礎(chǔ)上探究基本初等函數(shù)在給定區(qū)間上的平均變化率.內(nèi)容上由淺入深，呈現(xiàn)出螺旋式上升的特點，為歸納一般函數(shù)的平均變化率做知識和思想上的準備.這種階梯式的內(nèi)容設(shè)計符合學(xué)生的認知規(guī)律，利于學(xué)生在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法，積累活動經(jīng)驗，把握問題的本質(zhì)，形成探索數(shù)學(xué)問題的一般思路，并能夠進行知識和方法的遷移.

3.2問題進階，發(fā)展思維能力

課堂教學(xué)目標在設(shè)計時要具體化，尤其是比較復(fù)雜或者抽象的數(shù)學(xué)問題，教師可以借助進階式的問題將目標進行拆解，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深、以簡馭繁，在不斷的探索中發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì).例如，在探究平均變化率的幾何意義時，筆者設(shè)置五個進階式的問題，讓學(xué)生探究一次函數(shù)、冪函數(shù)、二次函數(shù)在給定區(qū)間上的平均變化率，在問題解決的同時，發(fā)現(xiàn)平均變化率與兩點連線的斜率有關(guān)，進而總結(jié)出一般函數(shù)平均變化率的幾何意義.在進階式問題的引領(lǐng)下，學(xué)生可以更好地感受知識生成、發(fā)展、遷移的規(guī)律.

3.3思想凝練，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂，本節(jié)課借助進階式的問題將數(shù)學(xué)知識由淺入深地呈現(xiàn)，讓學(xué)生在探究的過程中體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般思路和方法.數(shù)學(xué)從生活中來回到生活中去，從生活中抽象出數(shù)學(xué)模型，形成數(shù)學(xué)結(jié)論，最終還要服務(wù)于生活.在研究方法上，教師可以從特殊情況開始探究，通過數(shù)形結(jié)合猜測結(jié)論，然后歸納一般結(jié)論.在探究平均變化率的整個過程中，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象等過程，在此過程中培養(yǎng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以遷移到其他知識的學(xué)習(xí)中，從而感受到數(shù)學(xué)問題相互獨立，但又是相互交融的有機整體.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）[M.北京：人民教育出版社，2020.