一、提出問題

數(shù)學(xué)推理思維可以分為合情推理與演繹推理。小學(xué)生由于其思維特征決定了一般采用合情推理進(jìn)行思維。如何發(fā)展學(xué)生的合情推理思維？筆者認(rèn)為，可以從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)與直覺著手，引導(dǎo)學(xué)生在猜想、想象和說理等活動(dòng)中切實(shí)經(jīng)歷推理的過程，從而水到渠成地發(fā)展其推理思維。下面，筆者以“長(zhǎng)方形的面積”一課的教學(xué)為例具體闡述。

二、案例呈現(xiàn)

1.環(huán)節(jié)一：在猜想中明確推理方向

活動(dòng)1：教師用課件呈現(xiàn)圖1所示的三個(gè)長(zhǎng)方形（大小各不相同， ② 與③ 的寬相等），引導(dǎo)學(xué)生觀察學(xué)具盒中相同的三個(gè)長(zhǎng)方形的面積，思考長(zhǎng)方形的面積與什么相關(guān)，并說明理由。

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生在觀察、對(duì)比和討論之后，根據(jù)“ ② 號(hào)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬都比 ① 號(hào)長(zhǎng)方形的大\"猜想“面積與其長(zhǎng)和寬都相關(guān)”，并給出理由：如果將 ① 的長(zhǎng)與寬都延長(zhǎng)到與 ② 一樣長(zhǎng)，則兩者面積相等；比較 ② 與 ③ 的面積，兩者寬相等且前一個(gè)的長(zhǎng)比后一個(gè)大一些，前一個(gè)的面積也大一些，通過重疊比較可以驗(yàn)證。（教師輔以課件演示進(jìn)行比較）

教師活動(dòng)：教師肯定學(xué)生的猜想，指出這是出自經(jīng)驗(yàn)與直覺的猜想，究竟存在哪種關(guān)系還要深入探究。

事實(shí)上，合情推理在數(shù)學(xué)探究中的運(yùn)用是從學(xué)生的已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷直覺猜想未知數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，這是學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行推理準(zhǔn)備的環(huán)節(jié)，可以為后續(xù)的推理奠定良好的思維基礎(chǔ)。從以上學(xué)生活動(dòng)不難看出，這一階段的學(xué)生已經(jīng)明晰了“什么是面積”，且此時(shí)學(xué)生的思維“最近發(fā)展區(qū)\"處于對(duì)長(zhǎng)度的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生在面臨以上問題時(shí)依舊會(huì)聯(lián)想到運(yùn)用尺子測(cè)量長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬，并生成直覺層面的數(shù)學(xué)猜想“長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬越長(zhǎng)，長(zhǎng)方形面積就越大”。事實(shí)上，這樣的猜想不僅是學(xué)生直覺層面的猜想，還是基于已有經(jīng)驗(yàn)的猜想，也是有理有據(jù)的猜想，從而極好地將面積與長(zhǎng)度架構(gòu)聯(lián)結(jié)，為后續(xù)學(xué)生推導(dǎo)面積計(jì)算公式指明方向。

2.環(huán)節(jié)2：在想象中強(qiáng)化推理結(jié)論

活動(dòng)2：看一看，想一想，說一說。

問題1：教師先用課件動(dòng)態(tài)出示《小螞蟻運(yùn)糧》的視頻（即點(diǎn)動(dòng)成線），再拋出問題：觀察圖2，小螞蟻?zhàn)哌^的足跡形成了什么？（學(xué)生在觀察后很快得出“一條線段\"的結(jié)論，切實(shí)理解“點(diǎn)動(dòng)成線\"）

問題2：我們?nèi)绾尾拍苤肋@條線段的長(zhǎng)度？（學(xué)生提出“直尺測(cè)量”的方法，并演示直尺測(cè)量的過程，然后演示圖3所示的“線動(dòng)成面”）

問題3：既然猜想長(zhǎng)方形面積與其長(zhǎng)和寬有關(guān)，究竟有何關(guān)系呢？盡管我們沒有測(cè)量面積的直接工具，但可以通過自制工具“邊長(zhǎng)是1厘米的小正方形\"來測(cè)量。（學(xué)生取出學(xué)具盒中1平方厘米的小正方形，將其鋪在長(zhǎng)方形的面上，如圖4，數(shù)出一共需要12個(gè)小正方形就剛好鋪滿該長(zhǎng)方形，從而得出長(zhǎng)方形面積是12平方厘米。有的學(xué)生認(rèn)為，可以不鋪滿，如圖5所示，橫著鋪一排，豎著鋪一列，從而得出3個(gè)4排，并用 4×3=12 ，得出其面積是12平方厘米）

問題4：如果沒有這個(gè)工具，你有沒有方法得出長(zhǎng)方形面積？（學(xué)生在想象后回答。有的學(xué)生認(rèn)為根據(jù)“長(zhǎng)是多少可以得出橫著擺幾個(gè)小正方形，寬是多少可以得出豎著擺這樣的幾排”，用尺子測(cè)量它的長(zhǎng)和寬得出結(jié)論；有的學(xué)生認(rèn)為根據(jù)鋪滿后數(shù)個(gè)數(shù)的方法，可以得出用“長(zhǎng) × 寬”即可得到長(zhǎng)方形的面積）

問題5：僅憑一個(gè)例子無法證明，讓我們張開想象的翅膀，動(dòng)態(tài)變化這些長(zhǎng)方形，看看究竟是否存在上述規(guī)律。（師生共同運(yùn)用幾何畫板演示，通過卷尺測(cè)量長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬，并不斷變化長(zhǎng)與寬，最終從方格圖逐漸抽象得出長(zhǎng)和寬，在抽象推理中得出公式“長(zhǎng)方形面積 = 長(zhǎng)×寬\"）

事實(shí)上，充分的數(shù)學(xué)想象不僅可以增加例子的數(shù)量，還能在想象中將數(shù)學(xué)模型從實(shí)際情境中抽象剝離?；诖耍侠淼南胂髮?duì)于學(xué)生的合情推理十分重要，是強(qiáng)化推理結(jié)論的重要因素。在推導(dǎo)長(zhǎng)方形面積公式的環(huán)節(jié)中，教師要借助幾何畫板引導(dǎo)學(xué)生圍繞面積和長(zhǎng)度開展想象與推理，通過隨機(jī)變化幾何畫板中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬來增加例子的數(shù)量，讓學(xué)生在廣闊的推理空間中親歷從直觀操作向抽象推理的轉(zhuǎn)變，從而發(fā)展學(xué)生的推理思維。

3.環(huán)節(jié)3：在說理中提高推理 思維

活動(dòng)3：隨著長(zhǎng)與寬的繼續(xù)延伸，長(zhǎng)方形的面積不斷變大，我們閉上眼睛，想象長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬已經(jīng)延伸到屏幕外面，延伸到教室外面……那么，無論如何變化，它的面積該如何求？為什么？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生從之前的探究經(jīng)驗(yàn)中很快得出“只需知道長(zhǎng)與寬是多少，就可以通過長(zhǎng)乘寬探求面積”的結(jié)論。

活動(dòng)4：對(duì)于上述結(jié)論，你們是否有了清晰的獲取過程，誰能簡(jiǎn)要闡述？

學(xué)生活動(dòng)：可以將求長(zhǎng)方形面積想象成鋪面積單位小正方形的過程，長(zhǎng)就是每排擺的個(gè)數(shù)，寬就是排數(shù)，小正方形的總個(gè)數(shù) ？= 每排個(gè)數(shù) × 排數(shù)，顯然總個(gè)數(shù)即為長(zhǎng)方形的面積數(shù)，據(jù)此得出結(jié)論“長(zhǎng)方形面積="長(zhǎng) × 寬”。

想要發(fā)展學(xué)生的推理思維，離不開有理有據(jù)的闡述，學(xué)生必須經(jīng)歷數(shù)學(xué)說理的過程。數(shù)學(xué)說理就是學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)、生活常識(shí)及自身經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言有邏輯地描述發(fā)現(xiàn)、表達(dá)思考和闡述結(jié)論。事實(shí)上，數(shù)學(xué)說理的過程更像是演繹推理的過程。教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)說理，可以深度發(fā)展學(xué)生的推理思維。在這一環(huán)節(jié)中，為了使學(xué)生科學(xué)歸納生成的結(jié)論，在學(xué)生充分想象后教師引導(dǎo)他們有條理地說理，分析一維空間與二維空間的關(guān)系，進(jìn)而得出長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式。

三、些許思考

1.注重猜想與想象

對(duì)于合情推理而言，猜想是不可或缺的環(huán)節(jié)之一，而想象則是促使學(xué)生的合情推理得以深入的載體。因此，教師唯有注重學(xué)生的猜想與想象，才能讓結(jié)論的生成自然而順暢[1]。在本課的教學(xué)中，教師藝術(shù)地“鋪路搭橋”，為學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、想象和溝通提供思維支點(diǎn)，使學(xué)生順利展開想象，水到渠成地發(fā)展合情推理能力。

2.重視數(shù)學(xué)說理

編者在呈現(xiàn)教材時(shí)往往會(huì)省略很多概念與定義生成的細(xì)節(jié)，這就需要教師深人揣摩編者的設(shè)計(jì)意圖，巧妙設(shè)計(jì)教學(xué)過程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，通過有理有據(jù)的說理，從而獲得屬于自己的數(shù)學(xué)概念、公式和定義。環(huán)節(jié)3的設(shè)計(jì)無疑為教師設(shè)計(jì)教學(xué)提供了很好的范式，由此可見，學(xué)生推理思維的開發(fā)，不需要教師苦口婆心地講解，而是要鼓勵(lì)學(xué)生有理有據(jù)地分析和說理，使其在說理中揭示因果關(guān)系，增加思考產(chǎn)出，生發(fā)推理思維。

總之，對(duì)接學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，合理開發(fā)學(xué)生的合理推理，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)十分有效。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)有意識(shí)、有目的地引導(dǎo)學(xué)生合理猜想、展開想象、有效說理，在經(jīng)歷猜想、想象、說理等數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中促進(jìn)學(xué)生推理思維的自然發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]G.波利亞.數(shù)學(xué)與猜想：數(shù)學(xué)中的歸納和類比[M].李心燦，等，譯.北京：科學(xué)出版社，2001.