幾何直觀指借助直觀的圖形分析與描述問題的過程。幾何直觀可將原本復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡潔、形象化，讓學(xué)生在“數(shù)形結(jié)合\"思想的輔助下，準(zhǔn)確探索解決問題的路徑，提高數(shù)學(xué)理解能力[1]。同時，直觀的數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式可促使學(xué)生思維的可視化，即將一些看不見、摸不著的內(nèi)隱思維以圖的形式直觀表達(dá)。尺規(guī)作圖是讓學(xué)生思維可視化的重要路徑，也是培育學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的關(guān)鍵舉措。

一、教學(xué)過程設(shè)計

1.情境創(chuàng)設(shè)，認(rèn)識尺規(guī)

課堂導(dǎo)人環(huán)節(jié)，教師借助多媒體展示一段芭蕾舞表演的視頻，在學(xué)生觀賞后提出一些問題與他們共同探討。

師：大家對芭蕾舞表演最深的印象是什么？

生1：演員們旋轉(zhuǎn)的動作太美了。

師：我也是這么認(rèn)為的，表演者旋轉(zhuǎn)時形成了什么數(shù)學(xué)圖形？

生（齊聲答）：圓。

師：不錯，這一現(xiàn)象在生活中有沒有遇到過？

生2：有，比如冬天在雪地里，保持一只腳在原地，另外一只腳伸直在雪地里轉(zhuǎn)一圈，那么在雪地里就形成一個圓形。

師：真是個有趣的玩法，現(xiàn)在請大家看我手中拿的是什么（展示圓規(guī)）？根據(jù)芭蕾舞者與我們在雪地畫圓的方法，能不能想到這是干什么用的？

生3：圓規(guī)，就是用來畫圓的。它的兩條腿與我們的兩條腿一樣，保持一條腿不動的情況下，旋轉(zhuǎn)另一條腿，則會獲得一個完整的圓。

設(shè)計意圖：學(xué)生能接觸到的數(shù)學(xué)知識都源于生活實際，為了讓學(xué)生更好地理解教學(xué)內(nèi)容，最好的辦法就是將知識還原到生活實際中去，讓學(xué)生基于直觀的視角觀察與分析教學(xué)內(nèi)容，這是促進(jìn)生活與數(shù)學(xué)聯(lián)系的重要途徑?？紤]到學(xué)生有一定的生活經(jīng)驗基礎(chǔ)，因此借助芭蕾舞視頻引發(fā)學(xué)生對圓的認(rèn)識，讓學(xué)生主動聯(lián)想到雪地畫圓的經(jīng)驗，能為順利引出圓規(guī)這一數(shù)學(xué)工具奠定基礎(chǔ)。學(xué)生在直觀視頻刺激下，不僅自主抽象出圓，還提升了數(shù)學(xué)審美能力，增強(qiáng)了對知識的探索欲。

2.自主研究，理解尺規(guī)

師：圓規(guī)是一種重要的數(shù)學(xué)繪畫工具，現(xiàn)在請大家在草稿紙上用圓規(guī)畫出自己想要的圖形，并將自己在畫圖過程中遇到的困難表達(dá)出來。

生4：我本想畫一個完整的圓，奈何畫圖過程中，裝鉛筆的那一只腳不聽使喚，總是亂動，導(dǎo)致畫出一段沒有規(guī)律的曲線。

生5：畫圖時，那個針尖總是亂跑，雖然畫了一個圓，但不太圓（尷尬地笑）。

師：以上兩個同學(xué)遇到的問題，相信不少同學(xué)都遇到了，那么該怎樣解決這些問題呢？

生6：畫圖過程中，應(yīng)將針尖緊緊按在紙上，不讓它亂跑，同時要保持筆尖的位置不上下移動，這樣旋轉(zhuǎn)時畫出來的圓才圓。

生7：還要注意畫圓時的力度，因為用力不均勻的情況下，圓規(guī)的腳是會亂動的。

生8：畫圓時，必須緊握圓規(guī)頂端的位置，切忌將手握在圓規(guī)兩只腳上。

師：你們說得都有道理，現(xiàn)在請大家來看老師的標(biāo)準(zhǔn)示范。用手握在圓規(guī)的頂端，不觸碰圓規(guī)的兩只腳；保持針尖位置恒定不動；確保圓規(guī)兩只腳之間的距離一致，用恰當(dāng)?shù)牧Χ染徛D(zhuǎn)一周。有沒有哪位同學(xué)知道，為什么只有在保持圓規(guī)兩腳之間的距離不變的情況下，才能畫出圓？

生9：如圖1，圓規(guī)兩只腳之間的距離恒等不變時，所畫出來的圓才圓。

師：確保圓規(guī)針尖到圓弧上的每一點距離均一樣，這一特點能幫助人們解決很多生活實際問題呢！

設(shè)計意圖：學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生獨立思考、自主探究、實踐操作、合作交流等模式的組合。圓是學(xué)生日常生活中遇到過的圖形，學(xué)生對此并不陌生，因此鼓勵學(xué)生自主探索圓規(guī)畫圓的方法，不僅體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，還促使學(xué)生在主動探索的基礎(chǔ)上掌握圓規(guī)的使用方法，此為提升學(xué)生自主探索與合作學(xué)習(xí)能力的基礎(chǔ)。針對圓規(guī)畫圓容易出現(xiàn)的一些問題，師生共同探索，提煉出完整的應(yīng)用技巧，使得學(xué)生對“圓規(guī)針尖到圓弧上任意點的距離恒等\"產(chǎn)生明確認(rèn)識，為接下來的教學(xué)做好鋪墊。

3.問題探索，完善認(rèn)知

師：如圖2，樹樁上拴著一條狗，附近地上散落著一些骨頭，你們覺得小狗能吃到幾號骨頭？

生10：從直觀的圖來看，小狗可以順利吃到 ① 號骨頭，原因在于 ① 號骨頭處于小狗的最遠(yuǎn)活動范圍之內(nèi)；小狗肯定吃不上 ③ 號骨頭，因為這根骨頭并不在小狗活動的范圍之內(nèi)；關(guān)于 ② 號骨頭小狗是否能吃到，用肉眼難以辨別。

生11：目測 ② 號骨頭到樹樁的距離大于繩長，因此這根骨頭不在小狗能接觸到的范圍內(nèi)。

生12：我認(rèn)為 ② 號骨頭到樹樁的距離小于繩長，因此小狗可以接觸到這根骨頭，應(yīng)將這根骨頭判定為小狗能吃到的范疇。

師：從反饋情況來看，大家對 ① 號與 ③ 號骨頭不存在異議， ② 號骨頭究竟在不在小狗的活動范圍內(nèi)呢？想要確定這個問題，關(guān)鍵在于什么？

生13：只要比較“骨頭與樹樁之間的距離\"與“小狗與樹樁的距離”，如果前者長，就表示小狗無法吃到骨頭；如果后者長，則表示骨頭處于小狗的活動范圍內(nèi)，小狗可以順利吃到骨頭。

師：描述得很清楚，為了便于理解，現(xiàn)在我們一起將樹樁、小狗以及各根骨頭用點表示，分別連接樹樁所表示的點與各根骨頭和小狗所表示的點，形成多條線段（見圖3）。如何比較這些線段的長短，獲得問題的結(jié)論呢？請大家先獨立思考，再以合作學(xué)習(xí)的模式借助圓規(guī)與沒有刻度的直尺進(jìn)行測量，組內(nèi)討論測量結(jié)論。

生14：首先用不帶刻度的直尺測量小狗與樹樁之間的距離，并在直尺相應(yīng)的位置做好標(biāo)記，然后對著這個標(biāo)記，分別測量其他三條線段的長度。測量發(fā)現(xiàn)， ① 號 ② 號骨頭與樹樁的距離小于或等于小狗與樹樁的距離，因此小狗可以吃到這兩根骨頭，但 ③ 號骨頭與樹樁之間形成的線段要大于小狗與樹樁之間的距離，因此小狗吃不到 ③ 號骨頭。

生15：將圓規(guī)的針尖對準(zhǔn)樹樁的點，另一只腳對準(zhǔn)小狗所在的點，保持圓規(guī)所張角度不變，分別與其他三根線段比長短，可以發(fā)現(xiàn)小狗可以吃到① 號 ② 號骨頭，吃不到 ③ 號骨頭。

生16：用圓規(guī)判斷更簡便，首先將圓規(guī)的針尖對準(zhǔn)樹樁的點，以小狗所處的位置作為圓規(guī)上鉛筆的起點畫弧線，觀察各根骨頭是處于弧線內(nèi)還是弧線外。通過圓規(guī)作圖發(fā)現(xiàn)： ① 號骨頭處于弧線內(nèi)， ② 號骨頭處于弧線上，因此小狗可以順利吃到它們；③ 號骨頭處于弧線外，小狗吃不到。

師：以上三種方法都很好，如果將這三種方法用簡略圖表示，該怎么畫呢？

生17：如圖4，分別將以上三種方法轉(zhuǎn)化為直觀的圖。

學(xué)生再次揣摩這三種方法，經(jīng)過討論，一致認(rèn)為第一種方法容易出現(xiàn)偏差，后面兩種方法類似，都能準(zhǔn)確描述哪幾根骨頭處于小狗活動范圍之內(nèi)，由此揭示樹樁與圓弧上的每一點的長度都相等。

設(shè)計意圖：關(guān)于小狗能吃到哪根骨頭的問題成功激起了學(xué)生的探索興趣。將與生活息息相關(guān)的問題抽象成簡單的數(shù)學(xué)圖形，體現(xiàn)了幾何直觀對解決問題的重要作用，同時也凸顯了學(xué)生思維可視化的過程。教師引導(dǎo)學(xué)生對問題的探索，為學(xué)生用尺規(guī)作圖繪制已知線段的等長線段奠定了基礎(chǔ)。

4.實踐操作，實際應(yīng)用

如圖5，此為一條線段 ，請用 直尺與圓規(guī)畫一條線段 C D 使 □

畫法1：如圖6，先畫一條射線CE，將圓規(guī)兩腳對準(zhǔn)線段 A B 到 C E 上截取 C D=A B 即可。

畫法2：如圖7，用圓規(guī)兩腳確定 的距離，再任取一點作為點 ；以點 C 為固定點，圓規(guī)兩腳距離保持不變的情況下畫圓弧，那么點 C 到圓弧上的任意一點的長度均與 的長度相等。

教師肯定了學(xué)生所提出的兩種畫法，并要求學(xué)生思考：為什么畫出來的線段 與線段 的長度是一樣的？學(xué)生分別從不同的維度回答教師所提出的問題，凸顯了思維可視化的過程，為發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)奠定了基礎(chǔ)。教師在此基礎(chǔ)上，用多媒體展示一些沒有刻度的直尺與圓規(guī)合作后形成的美麗圖案，并要求學(xué)生對照相應(yīng)的圖案嘗試自主畫一畫，以提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性。

設(shè)計意圖：學(xué)生用尺規(guī)自主畫出已知線段的等長線段，看似簡單，但存在不少問題。教師鼓勵學(xué)生自主嘗試、思考與分析，讓學(xué)生在合作交流過程中表達(dá)自己的想法，在思維可視化的基礎(chǔ)上提高幾何直觀能力。如此設(shè)計，不僅體現(xiàn)了新課標(biāo)背景下的“生本\"理念，還突出了數(shù)學(xué)“深度學(xué)習(xí)\"理念，彰顯了數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖的價值所在，對培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念與推理意識都有一定的作用。不同畫法的比較，進(jìn)一步啟迪了學(xué)生的思維，讓學(xué)生充分體會了數(shù)學(xué)操作的重要性與必要性。

二、教學(xué)思考

1.“做中學(xué)\"是學(xué)生思維可視化的基礎(chǔ)

“做中學(xué)\"理念強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者可通過實踐活動來獲得相應(yīng)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，親歷知識形成的過程，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越間接獲取結(jié)論的效果[2]?？v觀本節(jié)課的教學(xué)，教師一共為學(xué)生提供了三個“做中學(xué)\"的機(jī)會：第一次，鼓勵學(xué)生自主研究如何使用圓規(guī)，讓學(xué)生在實踐中總結(jié)出使用規(guī)則與注意事項；第二次，關(guān)于小狗吃骨頭的情境探索，核心在于比較線段的長短，讓學(xué)生通過實踐優(yōu)化了思維，體現(xiàn)了幾何直觀的重要價值；第三次，畫已知線段的等長線段，學(xué)生在主動探索與合作交流的基礎(chǔ)上進(jìn)一步夯實了知識基礎(chǔ)，體會了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)木?/p>

2.幾何直觀可拔高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

幾何直觀能讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識，為提煉思想方法奠定基礎(chǔ)。本節(jié)課，教師應(yīng)用芭蕾舞、小狗吃骨頭等豐富有趣的生活情境，成功激活了學(xué)生的思維，增強(qiáng)了學(xué)生的課堂探索欲。然而，這并不是教學(xué)的真正目的所在，核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)必然以學(xué)生的發(fā)展為主。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察芭蕾舞和小狗啃骨頭問題，將生活現(xiàn)實抽象成簡潔明了的數(shù)學(xué)直觀圖形，不僅提升了幾何直觀能力，還真正發(fā)展了思維。學(xué)生的表征過程就是揭示思維的過程，可視化的思維進(jìn)一步催生了學(xué)生的問題意識，讓課堂充滿探索味。

3.深入探索是發(fā)展創(chuàng)新能力的根本

尺規(guī)作圖離不開學(xué)生的動手動腦過程，手腦協(xié)作可有效提升學(xué)生的幾何直觀能力。新課改背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)注的是深度學(xué)習(xí)，這就離不開學(xué)生深度探索的支持，而深度探索是發(fā)展其創(chuàng)新意識的關(guān)鍵措施。本節(jié)課在尺規(guī)的輔助下，學(xué)生勇敢地嘗試、思考與探索，學(xué)會了從不同的視角觀察與分析問題，切實體會了作圖對發(fā)展幾何直觀能力的重要價值。

總之，數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，“尺規(guī)”是表達(dá)這門藝術(shù)的基本方法。尺規(guī)作圖教學(xué)不僅能有效提升學(xué)生的幾何直觀能力，還能凸顯思維的可視化，讓課堂充滿生機(jī)與活力，此為發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要路徑。

參考文獻(xiàn)：

[1］李芳芳.做中學(xué)：培育幾何直觀和推理意識：“作等長線段\"教學(xué)片斷與思考[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2024（12）：39-41.

[2]葉藝靈．小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何直觀能力的培養(yǎng)策略[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（2）：66.