一、教材分析

從教學(xué)內(nèi)容層面來看，初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識在函數(shù)知識體系中屬于最基礎(chǔ)的部分，學(xué)習(xí)函數(shù)知識，能夠為學(xué)生深入掌握數(shù)學(xué)學(xué)科核心規(guī)律、建立系統(tǒng)的邏輯思維提供有力的支持，全面推動學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展?！皩嶋H問題與二次函數(shù)”中教學(xué)內(nèi)容的設(shè)置立足于二次函數(shù)基本概念與二次函數(shù)問題解題思路，將其與學(xué)生日常生活相結(jié)合，可鍛煉學(xué)生的實際應(yīng)用能力與解題能力，促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展。

二、學(xué)情分析

初中數(shù)學(xué)知識在專業(yè)性與復(fù)雜程度上較小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識有顯著提升，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的難度陡然增加，很多學(xué)生為此可能會出現(xiàn)厭學(xué)情緒。初中階段學(xué)生正處于邏輯思維發(fā)展的關(guān)鍵時期，基于數(shù)學(xué)學(xué)科知識本身所具備的極強層次性與邏輯性，教師需要對學(xué)生的邏輯思維能力培養(yǎng)給予高度關(guān)注。

三、教學(xué)思路

數(shù)學(xué)學(xué)科知識具有極強的邏輯性，而所謂的“大概念”具體指對學(xué)科知識中某一類型知識的全面總結(jié)梳理。學(xué)科教學(xué)“大概念”于學(xué)科前期分析階段生成，待“大概念”生成后將其重新帶入教材中，提取與“大概念”契合的學(xué)科知識內(nèi)容，由此形成單元整體教學(xué)的基本結(jié)構(gòu)。

聯(lián)系初中學(xué)情與函數(shù)教學(xué)內(nèi)容，在函數(shù)知識的教學(xué)設(shè)計中，教師首先需要研究《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》，立足新課標，明確單元整體教學(xué)中的核心素養(yǎng)指向，精確劃分課時，之后根據(jù)函數(shù)知識的“大概念”規(guī)劃各課時教學(xué)目標與教學(xué)內(nèi)容，形成完整的單元整體教學(xué)方案。

四、教學(xué)目標

1.根據(jù)實際數(shù)學(xué)問題采用合理的數(shù)學(xué)模式，且使用二次函數(shù)知識正確求解。

2.將實際問題抽象轉(zhuǎn)化為理論性問題，并充分體會數(shù)學(xué)抽象與數(shù)形結(jié)合思想。在問題探究中形成多角度思考問題的習(xí)慣，掌握一題多解能力。

3.引導(dǎo)學(xué)生形成協(xié)作意識、創(chuàng)新精神，充分鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)表達能力與運用二次函數(shù)知識解題的能力，具備數(shù)學(xué)知識應(yīng)用意識。

五、教學(xué)重難點

教學(xué)重點：使用二次函數(shù)模型將實際生活問題轉(zhuǎn)化為抽象數(shù)學(xué)理論問題。

教學(xué)難點：利用二次函數(shù)知識解決拱橋及運動中的相關(guān)問題。

六、教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1：課前復(fù)習(xí)

教師使用多媒體課件展示事先準備的函數(shù)圖象。

教師根據(jù)圖1提問：所示圖片中的函數(shù)圖象分別是什么類型的函數(shù)？

教師根據(jù)圖2提問：說出每個二次函數(shù)圖象對應(yīng)的二次函數(shù)解析式。

學(xué)生回答預(yù)設(shè)：

（1）y=ax2；

（2）y=ax2+k；

（3）y=（x-h）2；

（4）y=a（x-h）2+k或y=ax2+bx+c

教師根據(jù)學(xué)生課前復(fù)習(xí)成果開展課堂核心理論知識教學(xué)（包括二次函數(shù)定義與基本性質(zhì)理論知識講解、二次函數(shù)解題方法講解等）。

環(huán)節(jié)2：創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，探索新知

教師根據(jù)二次函數(shù)圖象特點，選取日常生活中常見的事例創(chuàng)設(shè)課堂教學(xué)情境。

教學(xué)情境：一座拱橋的縱向界面呈拋物線形態(tài)，當(dāng)水面寬度為4 m時，橋拱頂高于水面2 m，如果橋下水位下降1 m，則水面的寬度會增加多少？

教師根據(jù)情境向?qū)W生提出以下問題，學(xué)生根據(jù)問題指引開展分組探究。

（1）情境中的問題應(yīng)使用什么方式解決？

學(xué)生回答預(yù)設(shè)：繪制函數(shù)圖象，創(chuàng)建對應(yīng)函數(shù)模型。

（2）函數(shù)模型應(yīng)該為哪種類型？

學(xué)生回答預(yù)設(shè)：根據(jù)拱橋縱向截面呈拋物線形態(tài)的特征，函數(shù)模型應(yīng)為二次函數(shù)模型。

（3）怎樣建立平面直角坐標系？

學(xué)生回答預(yù)設(shè)：

預(yù)設(shè)學(xué)生自主解題過程如下：

以拱橋拱頂為原點，以拱橋拱頂點與水面垂直線為y軸創(chuàng)建平面直角坐標系。設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2，由拋物線經(jīng)過點（2，-2）得到a=-x2。當(dāng)水位下降1 m時，水面的縱坐標為y=-3。根據(jù)這一數(shù)值1，x=±。由此可得，當(dāng)水位下降1 m時，水面寬度為2m，較原有水面寬度增加（2-4） m。

得出問題最終解后，教師帶領(lǐng)學(xué)生系統(tǒng)歸納總結(jié)以上解題流程，形成解題經(jīng)驗。教師帶領(lǐng)班級學(xué)生統(tǒng)一梳理二次函數(shù)解題思路經(jīng)驗后，根據(jù)班級學(xué)生日常學(xué)習(xí)成績與數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)水平將學(xué)生分成3個層級，結(jié)合學(xué)生個人意愿將班級學(xué)生分成若干小組，各組學(xué)生中每個層級人數(shù)與比例要保持一致。

（設(shè)計意圖：創(chuàng)設(shè)情境能夠給學(xué)生帶來“沉浸式”的學(xué)習(xí)體驗。教師結(jié)合課堂教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，能夠賦予課堂知識內(nèi)容以更強的趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)生的課堂參與度。）

環(huán)節(jié)3：課堂練習(xí)，鞏固新知

教師根據(jù)課堂教學(xué)內(nèi)容出示練習(xí)題，供學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)。

習(xí)題1：有一座拱橋，在正常水位條件下橋下水面寬度為20 m，拱頂與水面距離為4 m。

（1）根據(jù)拱橋形制構(gòu)建平面直角坐標系，如圖5。由圖中坐標系求拋物線表示的函數(shù)解析式。

（2）當(dāng)橋下水位上升到警戒線CD時，水面寬度為10 m。當(dāng)發(fā)生洪水時，橋下水位以0.2 m/h的速度上漲，在多長時間后會到達警戒線？

學(xué)生解題預(yù)設(shè)：

（1）根據(jù)圖中已知條件設(shè)該拱橋拋物線解析式為y=ax2，如果該拋物線經(jīng)過坐標系（10，-4）點，則-4=100a，a=-0.04，由此得到拋物線解析式為y=-0.04x2。

（2）根據(jù)題中已知條件，D點橫坐標為5，據(jù)此將x=5代入y=-0.04x2得到y(tǒng)=-1的結(jié)果。由此確定D點坐標為（5，-1），進一步得到［（-1）-（-4）］÷0.2=15 h，即水位持續(xù)上漲15 h之后到達警戒水位。

習(xí)題2：根據(jù)圖6內(nèi)容，一名運動員在離籃筐中心4 m處投籃且投中，已知籃球投出后以拋物線形式運行，當(dāng)籃球沿水平方向行進2.5 m時，籃球到達最高點，此時高度為3.5 m。如果籃筐與地面距離為3.05 m，那么運動員投籃出手高度是多少？

學(xué)生解題預(yù)設(shè)：

根據(jù)圖示建立平面直角坐標系，確定點A坐標為（1.5，3.05），籃球運行至最高位置計為B（0，3.5），點C表示運動員的出手位置。

設(shè)投籃拋物線的解析式為y=ax2+k（a不等于0），而點A與點B都在這條拋物線上，由此得到2.25a+k=3.05

k=3.5

據(jù)此得投籃的拋物線解析式為y=-0.2x2+3.5。x=-2.5的情況下y=2.25，所以運動員投籃出手高度為2.25 m。

（設(shè)計意圖：在這一環(huán)節(jié)中，教師布置課堂練習(xí)習(xí)題之后，要求學(xué)生根據(jù)前面總結(jié)了解的二次函數(shù)問題解題思路與經(jīng)驗自主探究習(xí)題解題方法。通過各組自主探究，學(xué)生能夠形成更完善的團隊協(xié)作意識、數(shù)字理論知識實際應(yīng)用意識等，為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展提供有力支持。）

環(huán)節(jié)4：課堂總結(jié)，能力提升

教師提問：

（1）學(xué)習(xí)后有什么收獲？

（2）課堂中有哪些思想與方法讓你覺得比較重要？

學(xué)生根據(jù)教師提問，以小組合作形式開展組內(nèi)討論，各組學(xué)生于課堂最后撰寫一篇簡短的課堂學(xué)習(xí)心得，并從組內(nèi)任選一名學(xué)生進行匯報。

（設(shè)計意圖：課堂學(xué)習(xí)成果總結(jié)，能夠幫助學(xué)生系統(tǒng)梳理課堂所學(xué)各項知識，防止學(xué)生在課后練習(xí)中出現(xiàn)認知混亂。課堂總結(jié)環(huán)節(jié)對學(xué)生語言組織表達能力與自信心提升具有積極作用。）

環(huán)節(jié)5：課后習(xí)題練習(xí)與社會實踐

習(xí)題1：假設(shè)某商品零售價為60元，進貨價為40元，該商品每星期賣出的數(shù)量為300件，那么商場在一星期內(nèi)銷售該商品可獲利多少元？

習(xí)題2：小鵬的父母經(jīng)營一家小型服裝店，店中售賣的一種服裝進價為60元，銷售價為90元，每個星期可賣出該款服裝300件。小鵬對父母經(jīng)營的服裝店十分感興趣，為此他專門進行了服裝銷售市場的調(diào)查，了解到：店中銷售的這款服裝每降低1元零售價，每星期可以多賣出20件。問：如何定價才能使一星期售賣這款服裝的利潤最大化？

習(xí)題3：某一款商品的單件進價為30元，在某一時間段以每件x元的價格出售（根據(jù)市場部門規(guī)定該商品單價最高不得高于70元），能夠賣出商品數(shù)量為（100-x）。問：商品定價為多少元時能夠?qū)崿F(xiàn)該商品銷售利潤的最大化？

習(xí)題4：某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規(guī)定每箱售價不得高于55元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱。

①求平均每天銷售量y（箱）與銷售價x（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式；

②求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤ω（元）與銷售價x（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式；

③當(dāng)每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

習(xí)題5：某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，經(jīng)市場調(diào)查，在進價不變的情況下，若每千克漲價1元，銷量將減少10千克。

①該商場要保證每天盈利1500元，同時又要顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？

②若該商場單純從經(jīng)濟利益角度考慮，這種水果每千克漲價多少元能使商場獲利最多？

學(xué)生于課后根據(jù)個人意愿從上述習(xí)題中隨機選擇一個問題，并根據(jù)問題題干內(nèi)容關(guān)聯(lián)個人生活自主創(chuàng)建社會調(diào)查實踐活動，對問題中反映的社會實際現(xiàn)象進行調(diào)研。學(xué)生按照課堂所學(xué)知識內(nèi)容獨立完成解題過程，以社會實踐調(diào)研結(jié)果驗證自己的解題過程與結(jié)果是否正確。最后，學(xué)生將選題內(nèi)容、解題過程與課后自主社會實踐活動過程整理成一份課后活動報告交給教師，視為完成課后任務(wù)。

（設(shè)計意圖：上環(huán)節(jié)基于傳統(tǒng)的課后習(xí)題練習(xí)模式，要求學(xué)生從5道習(xí)題中任選其中與自身生活聯(lián)系最密切的習(xí)題進行解題練習(xí)與相關(guān)的社會實踐調(diào)研。具體意圖：減少學(xué)生課后作業(yè)量，一定程度上緩解學(xué)生課業(yè)負擔(dān)，契合核心素養(yǎng)視域下的“雙減”教育政策。通過課后習(xí)題引發(fā)學(xué)生自主社會實踐調(diào)研，有助于學(xué)生深化對實際問題與二次函數(shù)知識的關(guān)聯(lián)認識，于課后教學(xué)階段促進學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用思維的進一步發(fā)展。通過社會實踐調(diào)研活動帶動學(xué)生數(shù)學(xué)研究意識與能力增強，為學(xué)生今后自主開展數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)奠定更扎實的基礎(chǔ)。）

七、教學(xué)反思

將核心素養(yǎng)視域下的“實際問題與二次函數(shù)”教學(xué)設(shè)計方案應(yīng)用于教學(xué)實踐，對學(xué)生開展函數(shù)知識學(xué)習(xí)及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展具有積極作用。首先，上述教學(xué)設(shè)計內(nèi)容高度突出學(xué)生在學(xué)科知識學(xué)習(xí)中的主動性，能夠讓學(xué)生在知識學(xué)習(xí)中有一定的自主權(quán)，有助于保持學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與熱情。其次，在以上教學(xué)設(shè)計內(nèi)容中，各個教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)置在統(tǒng)一的框架下進行，使整體的教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計具有高度的連貫性，有助于學(xué)生在課堂知識學(xué)習(xí)中建構(gòu)系統(tǒng)性思維，避免學(xué)生在課堂知識學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)思維中斷，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維連貫發(fā)展。最后，課堂教學(xué)中各項教學(xué)目標設(shè)置充分關(guān)聯(lián)，有力加強了課時的聯(lián)系，維系了單元整體知識結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。各課時教學(xué)中，教師以實際數(shù)學(xué)問題創(chuàng)設(shè)情境，有助于學(xué)生鍛煉實際解題能力。

綜合以上教學(xué)設(shè)計內(nèi)容，教師應(yīng)高度重視學(xué)生在知識學(xué)習(xí)中的主體地位，以實際學(xué)情與教學(xué)內(nèi)容為依托，以課堂教學(xué)為媒介，引導(dǎo)學(xué)生以自主探索形式開展這部分知識的學(xué)習(xí)，為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與關(guān)鍵思維能力發(fā)展提供支持。根據(jù)新課標要求，新時期初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)成了最緊要的教學(xué)任務(wù)。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)涉及學(xué)生思維發(fā)展的方方面面。針對這一情況，初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動設(shè)計與開展中，教師應(yīng)充分立足于課堂教學(xué)內(nèi)容設(shè)置，最大限度上延伸課堂教學(xué)，以便核心素養(yǎng)培養(yǎng)相關(guān)的元素融入課堂教學(xué)，從而使課堂教學(xué)設(shè)計在促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展方面發(fā)揮更大的作用。

（作者單位：山東省日照市嵐山區(qū)虎山鎮(zhèn)初級中學(xué)）

編輯：李琴芳