核心問題是基于對核心概念理解而設(shè)計的問題，指向思維方式，考驗教師對單元結(jié)構(gòu)化設(shè)計與實施的能力。用杰基·阿克里·沃爾什的話來說，核心問題是“為討論”，而非“為背誦”。結(jié)構(gòu)化設(shè)計倡導(dǎo)整體感悟、整體融合，深度理解學(xué)習(xí)內(nèi)容，充分感受和把握數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)，并形成比較完善的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)和思維結(jié)構(gòu)。本文以“圓柱和圓錐”為例，以單元核心問題為引領(lǐng)，創(chuàng)造性地挖掘多元高效的學(xué)習(xí)素材，再構(gòu)單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)脈絡(luò)，對圓柱圓錐的特征追根溯源。

一、審視單元根基，聚焦教學(xué)現(xiàn)狀

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）對圖形與幾何教學(xué)提出“讓學(xué)生經(jīng)歷從實際物體抽象出幾何圖形的過程，認識圖形的特征，感悟點、線、面、體的關(guān)系；積累觀察和思考的經(jīng)驗，逐步形成空間觀念?！薄皥A柱和圓錐”主要包括“圓柱的認識、圓柱的表面積、圓柱的體積、圓錐的認識、圓錐的體積”。深入課堂觀察“圓柱和圓錐”，如下問題值得思考。

1.費時費力的操作。如研究圓柱的側(cè)面展開圖與底和高之間的關(guān)系時，往往設(shè)計：①準(zhǔn)備材料：教師給每個學(xué)生準(zhǔn)備一張長方形紙片、兩張圓形紙片、固體膠和剪刀。②制作圓柱模型：學(xué)生根據(jù)準(zhǔn)備好的材料，小組合作完成圓柱模型的制作。③得出結(jié)論：圓柱側(cè)面展開圖是一個長方形，長方形的長等于圓柱的底面周長，寬等于圓柱的高。在實踐操作中，由于事先提供的材料單一，學(xué)生只是簡單拼湊。

2.故步自封的聯(lián)系。如圓柱表面積公式的推理，教師會直接問：怎么求圓柱的表面積？然后直接呈現(xiàn)圓柱和圓柱側(cè)面展開圖，觀察長方形面積和圓柱側(cè)面積的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)長方形的面積等于圓柱側(cè)面積，所以圓柱側(cè)面積就是底面周長×寬，再加上下兩個圓的面積。教師通過“問答”的形式展開教學(xué)，問題問完了，課也上完了，聚焦重點不夠，深入內(nèi)里不及。

3.管中窺豹的整體。如筆者在教學(xué)“圓柱的體積”后對多個班級進行了后測，所有學(xué)生都知道“圓柱的體積=底面積×高”，課堂上也經(jīng)歷了體積公式的推導(dǎo)，但是大部分學(xué)生都沒辦法將圓柱和長方體、正方體體積及時整體地聯(lián)系起來。說明多數(shù)教師對教材沒有進行深度的解構(gòu)，簡單地把認知體系內(nèi)的知識點按照單元和課時割裂開來，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和策略無法遷移。

二、關(guān)注教材維度，把握單元結(jié)構(gòu)

核心問題引領(lǐng)下的課堂力圖挖掘多元高效的學(xué)習(xí)素材，把握單元結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生經(jīng)歷體驗感悟、實踐操作、表達交流等活動，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考世界，自主“問”、自主“探”、自主“思”，促進自主遷移相關(guān)知識、自動關(guān)聯(lián)知識結(jié)構(gòu)。

（一）多元內(nèi)容對比，全面滲透概念

“圓柱與圓錐”共10個例題（見表1），圍繞圓柱和圓錐兩條線展開教學(xué)，注重定性描述與定量刻畫，讓學(xué)生從認識的角度感知圓柱與圓錐的特征。無論是圓柱還是圓錐，都是通過生活中常見的物體入手，剔除它們的物理屬性，得到圓柱和圓錐的直觀模型，抽象出圓柱和圓錐的表象，再通過觀察、比較、交流，探索表面積和體積的計算，讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化思想和極限思想。

（二）分析結(jié)構(gòu)差異，核心目標(biāo)具體化

新課標(biāo)對圖形與幾何提出了層級性的目標(biāo)，用聯(lián)系的觀點看“課程總目標(biāo)、學(xué)段目標(biāo)、單元目標(biāo)以及課時目標(biāo)”，在總目標(biāo)的引領(lǐng)下確定“圓柱和圓錐”具體化的核心目標(biāo)。

課程總目標(biāo)：經(jīng)歷圖形的抽象、分類、性質(zhì)探討、運動、位置確定等過程，掌握圖形與幾何的基礎(chǔ)知識和基本技能。

學(xué)段目標(biāo)：經(jīng)歷探索物體與圖形的位置、大小、運動和位置關(guān)系的過程。了解簡單幾何體和平面圖形的基本特征，能對簡單圖形進行變換，能初步確定物體的位置，發(fā)展測量包括估測、識圖、作圖等技能。在探索物體的位置關(guān)系、圖形的特征、圖形的變換以及設(shè)計圖案的過程中，進一步發(fā)展空間觀念。

單元目標(biāo)：①使學(xué)生認識圓柱和圓錐，掌握它們的基本特征，認識圓柱的底面、側(cè)面和高，并認識圓錐的底面和高。②引導(dǎo)學(xué)生探索并掌握圓柱的側(cè)面積、表面積的計算方法以及圓柱、圓錐體積的計算公式，會運用公式計算體積，解決有關(guān)的簡單實際問題。③通過觀察、設(shè)計和制作圓柱、圓錐模型等活動，使學(xué)生了解平面圖形與立體圖形之間的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。④使學(xué)生理解除了研究幾何圖形的形狀和特征，還要從數(shù)量的角度來研究幾何圖形，如圖形的面積、體積等，體會數(shù)形結(jié)合思想。⑤通過圓柱和圓錐體積公式的探索，使學(xué)生體會轉(zhuǎn)化、推理、極限、“變中有不變”等數(shù)學(xué)思想。

三、核心問題引領(lǐng)，結(jié)構(gòu)化設(shè)計與實施

本實踐以核心問題為引領(lǐng)，以圓柱圓錐的認識與表面積、圓柱體積的推理以及圓柱、圓錐、長方體之間的關(guān)系為例，展開結(jié)構(gòu)化設(shè)計，積極推動學(xué)生思維進階。

（一）著眼異同找尋，引導(dǎo)主動創(chuàng)造

核心問題1：我們認識了圓柱和圓錐，你能用多種方法制作圓柱或圓錐嗎？

1.“卷”。生：用長方形的紙卷起來，沿長卷，長方形的長是底面圓的周長，寬是圓柱的高；沿寬卷，長方形的寬是底面圓的周長，長是圓柱的高。

生：我先剪一個扇形，再剪一個周長等于扇形弧長的圓，弧長等于底面圓周長。

2.“旋轉(zhuǎn)”。生：用長方形的紙旋轉(zhuǎn)，可以得到4種不同的圓柱：①第一組以長方形的長或?qū)捵鳛樾D(zhuǎn)軸，寬或長作為半徑旋轉(zhuǎn)成圓柱。②第二組以長方形的長或?qū)挼囊话胱鳛樾D(zhuǎn)軸，寬或長的一半作為半徑旋轉(zhuǎn)成圓柱。旋轉(zhuǎn)成的圓柱表面積和體積各不相同。

生：除了上述4種，我還可以旋轉(zhuǎn)出無數(shù)個不同的圓柱，因為旋轉(zhuǎn)軸可以有無數(shù)條。

生：可以用三角形的紙旋轉(zhuǎn)得到圓錐，如①直角三角形，分別沿兩條直角邊旋轉(zhuǎn)。②鈍角三角形，兩個圓錐的組合圖形。③銳角三角形，兩個圓錐的組合圖形。④沿著等腰三角形的對稱軸旋轉(zhuǎn)180°就可以形成圓錐。

3.“平移”。生：我還可以用平移的方法得到圓柱，一個圓（同圓）沿著豎直方向上下平移。但是沒辦法利用平移制作圓錐，因為圓錐的每個疊起來的圓大小不同。

4.“疊加”。生：疊加的方法也可以得到圓柱，由大小相同的圓（等圓）依次疊加（相鄰兩個圓完全重合）而成，且圓心的連線垂直于底面。圓錐必須由不等圓進行疊加，其中最后是一個點（理論上成立）。

圓柱的認識和圓錐的認識在本質(zhì)上有著相同的地方，可以將圓柱和圓錐進行結(jié)構(gòu)化整合，采用并進式實踐，幫助學(xué)生建立整體性的邏輯思維結(jié)構(gòu)。

（二）著眼思維外顯，促發(fā)真實推理

經(jīng)歷多種方法的創(chuàng)造后，學(xué)生對圓柱和圓錐有了發(fā)展性的認識，知道圓柱可以分為側(cè)面積和底面積兩部分，圓錐的側(cè)面積跟底面周長和母線有關(guān)。

核心問題2：你能嘗試用多種方法推理圓柱的體積嗎？試著把自己的方法表示出來（見表2）。

本片段圍繞核心問題，進行自主式的多元深度探究，學(xué)生在結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)中切實掌握了圓柱體積公式的推導(dǎo)過程，加深了對幾何體積的直觀理解，通過方法之間的溝通、類比、推理、遷移，凸顯極限思想和化曲為直的轉(zhuǎn)化思想。

（三）著眼關(guān)系研究，深度探究本質(zhì)

核心問題3：經(jīng)過實驗知道等底等高的圓柱和圓錐，體積比是3：1，那么如何創(chuàng)造一組體積相等的圓柱和圓錐呢？

①組內(nèi)交流：如何創(chuàng)造一組體積相等的圓柱和圓錐呢？

圓柱S=____，h=_____，V=_____

圓錐S=____，h=_____，V=_____

②第一組匯報：底面積相同，高是1：3。

④第三組：體積相等，底面積不同，高不同，但是必須S1h1∶S2h2=1∶3。

學(xué)生思維的發(fā)展、解決問題能力的提高，需要以不斷積累的鮮明、靈活的關(guān)系模型作為支撐。上述教學(xué)從正、逆兩個方向進行了推理，尤其是“高之比”“底之比”“積之比”三類關(guān)系，觸及了學(xué)生的認知盲區(qū)，可以提高學(xué)生結(jié)構(gòu)化的認知水平。

（四）著眼整體關(guān)聯(lián)，激發(fā)真實遷移

核心問題4：在底面是正方形的長方體里剪一個最大的圓柱或圓錐，怎么剪？這個圓柱或圓錐的體積會和長方體的體積有什么關(guān)系？

生：我認為圓柱的底面積應(yīng)該和長方體的底面積一樣，只是高可能不同。

生：圓錐的底面積也一樣，但體積是三分之一的圓柱體積，所以它肯定比圓柱小。

生：我可以根據(jù)圓中方和方中圓來推理。

師：圓柱、圓錐和長方體之間有著結(jié)構(gòu)和體積上的關(guān)聯(lián)，這也能幫助我們更好地理解它們的內(nèi)在聯(lián)系。

教師基于“長方體和正方體”“圓柱與圓錐”兩個單元的知識，嘗試向前向后縱深關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生圍繞核心問題展開探究。學(xué)生明確了知識間的內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)知識之間的遷移。

四、思考延展啟迪，反思單元精髓

在以核心問題為引領(lǐng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師進一步挖掘和拓展知識內(nèi)涵，可確保學(xué)生在掌握基本的數(shù)學(xué)概念后靈活地運用所學(xué)知識，從而獲得更深層次的知識。在“圓柱與圓錐”單元中，師生對幾何體積、表面積以及它們之間的相互關(guān)系進行探究，能進一步加深對幾何概念的認識，切實地發(fā)展幾何想象能力，為日后學(xué)習(xí)其他幾何知識奠定認知基礎(chǔ)。

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)會了認識圓柱和圓錐，推理了體積和表面積以及相關(guān)的知識。那你們覺得這些知識可以用到哪些地方呢？

生1：如設(shè)計水杯或者儲物罐，水杯的形狀不就是圓柱嗎？

師：沒錯，水杯的設(shè)計確實需要用到圓柱的體積計算。那么，如果我們要設(shè)計一個既能節(jié)省材料又能裝最多東西的容器，是選擇圓柱還是圓錐呢？

生2：圓柱。

師：我們再思考，在建筑中，為什么圓柱形的柱子比方形的柱子更常見呢？

學(xué)生思考。

在探究圓柱與圓錐知識內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，進行遷移和擴展，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理與豐富的空間想象能力。

核心問題是建立在對教材的整體建構(gòu)的基礎(chǔ)上，把握單元內(nèi)或跨單元知識之間的整體，同時關(guān)注“聯(lián)”的統(tǒng)整，體現(xiàn)知識關(guān)聯(lián)、學(xué)材關(guān)聯(lián)、活動關(guān)聯(lián)和方法關(guān)聯(lián)，架構(gòu)單元整體教學(xué)，運用遷移、類比等思想展開結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，促進結(jié)構(gòu)化思維發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生以連續(xù)、完整的視角分析理解知識本質(zhì)與關(guān)聯(lián)，從而促進學(xué)生核心素養(yǎng)的提升。

編輯：曾彥慧

作者簡介：楊青（1976 —），女，漢族，浙江杭州人，本科，高級教師，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。