摘"要：“實變函數(shù)”是數(shù)學專業(yè)中一門重要的課程，它在數(shù)學分析的基礎(chǔ)上進一步深化了微積分和函數(shù)理論。“實變函數(shù)”課程知識體系嚴密，具有大量抽象的概念和定理，這給該課程的教學帶來了巨大挑戰(zhàn)。現(xiàn)有的“實變函數(shù)”教學中的方法大多基于概念講解、定理推導等，學生難以切身體驗本課程的魅力。本文主要研究在“實變函數(shù)”教學中直觀地引入分形的基本思想和理論，從分形在建筑領(lǐng)域的應(yīng)用入手，給出“實變函數(shù)”教學中融入分形思想的一種新角度。

關(guān)鍵詞：實變函數(shù)；分形理論；建筑

分形幾何是一種非線性幾何學，其研究對象是不規(guī)則、非線性的幾何形態(tài)。分形幾何的核心概念是自相似性，即分形形態(tài)在不同尺度下具有相同的結(jié)構(gòu)特征。分形幾何也會在自然界中出現(xiàn)，如山脈、樹木、雪花等，這使分形被劃入藝術(shù)作品的范疇，因此，分形幾何也被稱為“大自然的幾何學”［1］。分形的基本思想和理論在實變函數(shù)中就多次出現(xiàn)，如Cantor集、連續(xù)但處處不可微的函數(shù)、Weierstrass函數(shù)等，可見分形與“實變函數(shù)”課程中的許多知識聯(lián)系緊密，但是學生卻對分形知之甚少。大家較為熟悉的是Cantor集，其特點是自相似性，即部分與整體相似。Cantor集的構(gòu)造過程簡單直接，學生基本理解和掌握，但其他分形的構(gòu)造更加復雜抽象。“實變函數(shù)”課程中定理和概念的抽象性，以及證明過程的復雜性，要求學生具備嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力和抽象思維能力，使學生在學習的時候常會感到異常困難和具有挫敗感，學習的興趣隨著課程的深入逐漸降低。許多教師對“實變函數(shù)”課程的教學進行了大量有益的研究，如蘇先鋒等［2］的《關(guān)于實變函數(shù)教學中的一些注記》、孫萍［3］的《兩個有趣的數(shù)學悖論》、唐古生［4］的《論實變函數(shù)第一堂課的相關(guān)問題及作用》。特別地，參考文獻［5］研究了分形在實變函數(shù)中的應(yīng)用，通過具體的兩個實例Cantor三分集和Peano曲線探討了在實變函數(shù)中引入分形的必要性。

在以上研究的基礎(chǔ)上，本文繼續(xù)探討分形的基本思想和理論在“實變函數(shù)”教學中的直觀引入。首先，研究分形與實變函數(shù)的聯(lián)系，詳細介紹了“實變函數(shù)”課程中出現(xiàn)的Cantor集和Weierstrass函數(shù)。為了加深學生對分形幾何圖形自相似性結(jié)構(gòu)的理解，筆者進一步介紹Peano曲線和Sierpinski墊片。這兩種典型的分形圖形有助于培養(yǎng)學生從抽象到具體的邏輯思維能力，旨在提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。其次，探討了分形的特性及其在自然界中的廣泛應(yīng)用，詳細討論了分形的基本思想和理論在建筑領(lǐng)域的應(yīng)用，這是對“實變函數(shù)”課堂教學的一次創(chuàng)新。在這樣的教學過程中，學生不僅可以了解抽象的數(shù)學概念和理論，還學習了現(xiàn)代數(shù)學思想理念在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用，讓學生深刻體會到數(shù)學來源于生活，生活中處處都是數(shù)學，培養(yǎng)學生能從實際問題中提煉出數(shù)學知識的能力。最后，對論文討論的內(nèi)容進行總結(jié)，通過這種理論結(jié)合實際的教學嘗試，旨在提高“實變函數(shù)”課堂的教學效果和激發(fā)學生學習現(xiàn)代數(shù)學理論的興趣。

一、分形與實變函數(shù)的聯(lián)系

實變函數(shù)中有大量分形的例子，如Cantor集、Weierstrass函數(shù)、Peano曲線、Sierpinski墊片等。更重要的是，分形幾何的許多基本思想和方法都源自實變函數(shù)，如簡單的Cantor集，也稱為Cantor三分集，是實變函數(shù)論中的一個重要概念，它是由德國數(shù)學家康托爾（Georg"Cantor）在19世紀末提出的。Cantor集是一個典型的分形集，具有許多有趣的性質(zhì)。Cantor集的構(gòu)造過程如下：（1）從單位區(qū)間［0，1］開始；（2）將區(qū)間三等分，去掉中間的1/3區(qū)間，保留兩邊的1/3區(qū)間，即保留［0，1/3］和［2/3，1］；（3）對剩下的兩個區(qū)間［0，1/3］和［2/3，1］分別重復步驟（2）；（4）無限重復上述步驟。經(jīng)過無限次的三等分和去掉中間區(qū)間的過程后，剩下的集合就是Cantor集［6］。Cantor集的構(gòu)造和性質(zhì)在實變函數(shù)論、拓撲學、分形幾何等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，它揭示了數(shù)學中的一些深刻概念，如無窮小、完備性、測度等。

Weierstrass函數(shù)是由德國數(shù)學家卡爾·魏爾斯特拉斯（Karl"Weierstrass）在19世紀提出的一個經(jīng)典函數(shù)。它是第一個被證明在所有點上都是連續(xù)的但在任何點上都不可微的函數(shù)，從而打破了當時數(shù)學家們的普遍認知，即連續(xù)函數(shù)通常是可微的。Weierstrass函數(shù)的主要特點包括：（1）連續(xù)但不可微。Weierstrass函數(shù)在整個實數(shù)范圍內(nèi)是連續(xù)的，但在任何一點上都不可微。這表明它的圖像處處都是“粗糙”的，沒有任何平滑的切線。（2）分形特性。Weierstrass函數(shù)具有分形幾何的某些特性，如自相似性。盡管其定義中沒有明確提到分形維數(shù)，但它展示了類似分形的復雜行為。Weierstrass函數(shù)的發(fā)現(xiàn)對數(shù)學分析的發(fā)展具有重大意義，它挑戰(zhàn)了傳統(tǒng)的連續(xù)性和可微性的概念，并為進一步研究更復雜和不規(guī)則的函數(shù)提供了基礎(chǔ)。

Peano曲線是一種在數(shù)學中具有重要意義的空間填充曲線，它由意大利數(shù)學家朱塞佩·皮亞諾（Giuseppe"Peano）于1890年首次構(gòu)造。Peano曲線的主要特點是一條連續(xù)曲線，能夠完全填充一個二維平面區(qū)域，如單位正方形。這種曲線的發(fā)現(xiàn)打破了當時對連續(xù)和可微函數(shù)的傳統(tǒng)認知，并引發(fā)了對空間填充曲線的深入研究［7］。

Peano曲線在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，它展示了一種極端情況，即一條一維的曲線可以遍歷整個二維區(qū)域。Peano曲線完全填充一個二維空間，即它通過其路徑覆蓋了單位正方形的每一個點，盡管它是一維曲線，但它能填充一個二維區(qū)域，這在當時是一個極具顛覆性的概念。Peano曲線在不同尺度上顯示出自相似性，這意味著曲線的某些局部結(jié)構(gòu)與整體結(jié)構(gòu)相似，這也是分形幾何的一個重要特點。雖然Peano曲線是連續(xù)的，但它在任何點上都不可微，這與Weierstrass函數(shù)的性質(zhì)類似，展示了連續(xù)但不可微函數(shù)的復雜行為。

Sierpinski墊片（Sierpinski"Triangle）是由波蘭數(shù)學家Wacaw"Sierpiński在1915年提出的一種自相似分形結(jié)構(gòu)。它是一種通過遞歸方法構(gòu)造的幾何圖形，由簡單的規(guī)則生成出復雜的結(jié)構(gòu)。Sierpinski墊片在各個尺度上都呈現(xiàn)出相似的形態(tài)，無論放大或縮小，該圖形的局部結(jié)構(gòu)都與整體結(jié)構(gòu)類似，這是分形幾何的一個重要特點。Sierpinski墊片的分形維數(shù)介于一維和二維之間，具體來說，其分形維數(shù)為log（3）/log（2）≈1.585，這表明它比一維的線更復雜，但又沒有填滿整個二維平面。Sierpinski墊片是通過反復刪除正三角形的中心部分并對剩余部分進行同樣的操作來生成的，盡管構(gòu)造規(guī)則簡單，但經(jīng)過無限次遞歸后，Sierpinski墊片展示出無窮復雜的細節(jié)。

Sierpinski墊片的構(gòu)造可以通過以下步驟實現(xiàn)。（1）初始三角形：從一個等邊三角形開始。（2）細分：將該三角形的每一條邊的中點連接，形成四個較小的等邊三角形。（3）刪除中心三角形：移除中心的小三角形，剩下三個同樣大小的等邊三角形。（4）遞歸細分：對剩下的每一個較小三角形重復步驟（2）和步驟（3）。通過不斷重復上述步驟，最終得到的圖形將趨向于Sierpinski墊片［7］。

Sierpinski墊片是分形幾何的經(jīng)典例子，展示了自相似性和分形維數(shù)等概念，它幫助數(shù)學家理解自然界中自相似結(jié)構(gòu)的存在和性質(zhì)。Sierpinski墊片具有特殊的拓撲性質(zhì)，如每個點都是分離的，這對拓撲空間的研究提供了重要案例。Sierpinski墊片在計算機科學、圖形學、天文學和材料科學等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，例如，在圖形壓縮和自相似天線的設(shè)計中，都可以看到其身影。通過研究Sierpinski墊片等分形結(jié)構(gòu)，數(shù)學家不僅加深了對幾何和拓撲學的理解，也推動了這些理論在各個科學和工程領(lǐng)域的應(yīng)用。

在以往的“實變函數(shù)”課程教學中，介紹了Cantor集和Weierstrass函數(shù)的概念后，接著開始研究他們的性質(zhì)，如Cantor集的性質(zhì)，它是閉集、完備的集合、零測集、不可數(shù)的集合、自相似的集合等，這些性質(zhì)都是比較難理解的內(nèi)容，會讓學生感覺更抽象。因此，為了加深學生對分形幾何圖形結(jié)構(gòu)特性的進一步理解，接下來進一步介紹Peano曲線和Sierpinski墊片的概念，重點介紹這兩種典型分形幾何圖形的形成過程和圖形的特性。這兩種圖形的維數(shù)都是分數(shù)，這是學生首次接觸到分數(shù)維數(shù)，是一個令人驚訝的發(fā)現(xiàn)，由此可以激發(fā)學生的學習興趣。

除了學習教材中出現(xiàn)的數(shù)學知識，教師還可以通過標志性的建筑物介紹生活中出現(xiàn)的分形，有助于學生對分形的自相似性有更深刻的理解。接下來，將重點介紹分形的思想和理論在建筑領(lǐng)域的應(yīng)用，特別是讓學生直觀地看到建筑物的外形結(jié)構(gòu)是分形幾何圖形構(gòu)成的，讓學生充分認識到分形幾何也可以被應(yīng)用于建筑的結(jié)構(gòu)和構(gòu)造設(shè)計中，加深數(shù)學來源于生活的理念。

二、分形幾何在建筑領(lǐng)域的應(yīng)用

在建筑行業(yè)中，設(shè)計師們一直在探索如何使建筑更加美觀實用，而分形幾何提供了一種新的設(shè)計思路，可以幫助設(shè)計師創(chuàng)造出更加自然美觀的建筑。目前，分形幾何已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于建筑設(shè)計中［8］。

分形幾何的引入打破了傳統(tǒng)建筑設(shè)計的局限，為建筑師提供了全新的設(shè)計視角，增加了以不規(guī)則的形狀去思考建筑設(shè)計的可能性，推動了建筑設(shè)計的創(chuàng)新和發(fā)展。

同時，分形幾何的嵌套式空間布局方式為建筑內(nèi)部空間提供了更多層次和變化，可以增強建筑的空間流動性，使人們在建筑中感受到更加豐富和多樣的空間變化。建筑師可以運用分形原理設(shè)計出獨特而富有藝術(shù)美感的建筑形態(tài)，如通過重復的三角形圖形構(gòu)建建筑的外立面，形成具有階梯狀的層次感。

分形幾何在建筑設(shè)計中的優(yōu)勢在于它可以創(chuàng)造出更加美觀且實用的建筑。由于分形幾何具有自相似的特性，可以在建筑上呈現(xiàn)出大小不同的相似結(jié)構(gòu)，從而增強建筑的整體協(xié)調(diào)性。分形幾何的設(shè)計比傳統(tǒng)的建筑設(shè)計更復雜。由于分形結(jié)構(gòu)的自相似性和無限精細性，設(shè)計計算也更復雜，對于設(shè)計師的要求也更高。將分形設(shè)計從理論轉(zhuǎn)化為實際建筑，需要先進的建筑技術(shù)和施工設(shè)備支持。

分形幾何的原理可以被應(yīng)用于建筑形態(tài)設(shè)計中，創(chuàng)造出獨特而富有藝術(shù)感的建筑外觀。例如，某些建筑物的外立面采用分形圖案，通過重復的幾何形狀和自相似的結(jié)構(gòu)，形成動態(tài)變化的外觀。分形幾何的嵌套式空間布局方式為建筑內(nèi)部空間提供了更多可能性，建筑師可以利用分形原理設(shè)計出層次豐富、流動性強的空間布局，提高建筑的使用效率和舒適度。分形幾何也可以應(yīng)用于建筑的材料和表皮設(shè)計中，通過模擬自然形態(tài)的分形結(jié)構(gòu)，建筑師可以創(chuàng)造出一種自然、有機的建筑表面，使建筑與自然環(huán)境相融合。同時，分形幾何的原理還可以被應(yīng)用于建筑材料的研發(fā)和生產(chǎn)中，開發(fā)出具有自相似結(jié)構(gòu)和無限細節(jié)的新型材料。

分形幾何也可以被應(yīng)用于建筑的結(jié)構(gòu)和構(gòu)造設(shè)計中。建筑師可以利用分形幾何的原理，設(shè)計出具有獨特結(jié)構(gòu)形式和構(gòu)造方式的建筑。這些建筑不僅具有極高的結(jié)構(gòu)性能，同時也能夠展現(xiàn)出一種獨特的藝術(shù)美感。例如，某些建筑物的支撐結(jié)構(gòu)可以采用分形幾何的形態(tài)，使整個建筑呈現(xiàn)出一種輕盈、靈活的美感。分形幾何在景觀和城市規(guī)劃中也有廣泛的應(yīng)用。建筑師和城市規(guī)劃師可以利用分形幾何的原理，設(shè)計出具有獨特形態(tài)和空間布局的城市景觀和規(guī)劃方案，這些方案不僅可以提高城市的美觀度和宜居性，同時也能夠優(yōu)化城市的空間結(jié)構(gòu)和生態(tài)環(huán)境。

結(jié)語

在“實變函數(shù)”課程的教學過程中，常常需要講授抽象的數(shù)學概念，如Cantor集、Weierstrass函數(shù)、Peano曲線、Sierpinski墊片等，教師不僅需要詳細介紹它們的概念和形成過程，還需要指出它們獨有的特性，如自相似性，與其他函數(shù)圖形進行區(qū)分，這是分形幾何圖形獨有的圖形特征。為了培養(yǎng)學生的學習興趣，教師還介紹分形幾何在建筑領(lǐng)域的應(yīng)用，讓學生體會到數(shù)學存在于生活中的各個角落。數(shù)學來源于生活，讓學生理解分形幾何作為一種新型的幾何學理論，其在建筑設(shè)計中的應(yīng)用不僅推動了建筑設(shè)計的創(chuàng)新和發(fā)展，也為建筑美學帶來了新的思考和探索。隨著分形幾何理論的不斷發(fā)展和完善，其在建筑設(shè)計中的應(yīng)用也將更加廣泛和深入。

在“實變函數(shù)”教學中直觀引入分形的思想和理論，特別是建筑物的外形結(jié)構(gòu)，這些與課程相關(guān)的生活中能見到的實例，讓枯燥抽象的數(shù)學理論在生活中具象化，構(gòu)造興趣點，提高教學效果的同時，也提高學生對高難度課程深入學習的興趣，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，這是對“實變函數(shù)”課堂教學的一種新嘗試。

參考文獻：

［1］MANDELBROT"B"B.The"Fractal"Geometry"of"Nature［M］.San"Francisco：Freeman"W.H.and"Company，1982.

［2］蘇先鋒，秦喜梅，李曉萌.關(guān)于實變函數(shù)教學中的一些注記［J］.淮北師范大學學報（自然科學版），2014，35（1）：7880.

［3］孫萍.兩個有趣的數(shù)學悖論［J］.高等數(shù)學研究，2016，19（6）：4850.

［4］唐古生.論實變函數(shù)第一堂課的相關(guān)問題及作用［J］.當代教育理論與實踐，2014，6（10）：2527.

［5］楊莉，龍宇，鄒庭波.分形在實變函數(shù)中的應(yīng)用［J］.宜賓學院學報，2010，10（12）：3339.

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［7］沙震，阮火軍.分形與擬合［M］.杭州：浙江大學出版社，2005.

［8］冒亞龍，趙鵬.基于分形幾何的擬態(tài)建筑設(shè)計［J］.建筑與文化，2020（05）：9295.

基金項目：2023年自治區(qū)級大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目，特殊數(shù)字集下自仿測度譜問題的研究（S202310"608165）

作者簡介：楊茗舒（1989—"），女，漢族，廣西容縣人，博士研究生，教師，研究方向：分形理論。