摘要： 為了探究交通量數(shù)據(jù)特性，提高交通量數(shù)據(jù)擬合的參數(shù)估計(jì)精度，基于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則提出了一種交通量數(shù)據(jù)擬合的參數(shù)估計(jì)方法.首先對交通量數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，然后指定數(shù)據(jù)概率分布，再采用最大相關(guān)熵準(zhǔn)則來估計(jì)模型參數(shù)，采用梯度上升法進(jìn)行輸出，得到概率分布參數(shù)估計(jì)值，并與傳統(tǒng)最小二乘估計(jì)和最大似然估計(jì)進(jìn)行結(jié)果比較.基于實(shí)測數(shù)據(jù)和假定的4個分布模型（正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、韋布爾分布、瑞利分布）進(jìn)行性能評估，研究表明：構(gòu)建的基于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則方法擬合性能優(yōu)于最小二乘估計(jì)和最大似然估計(jì)，4個分布模型綜合評價指標(biāo)分別為0.979 00、0.726 08、1.397 69和1.494 50，具有較強(qiáng)的準(zhǔn)確性和可靠性.

關(guān)鍵詞：" 智能交通； 參數(shù)估計(jì)方法； 最大相關(guān)熵準(zhǔn)則； 數(shù)據(jù)擬合； 統(tǒng)計(jì)特性

中圖分類號： U491" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：" A" 文章編號："" 1671-7775（2025）02-0149-07

Statistical characteristics of traffic flow based on

maximum correlation entropy criterion

Abstract： To explore the characteristics of traffic volume data and improve the accuracy of parameter estimation for traffic volume data fitting， the parameter estimation method for traffic volume data fitting was proposed based on the maximum correlation entropy criterion. The traffic volume data was preprocessed， and the probability distribution of the data was specified. The maximum correlation entropy criterion was used to estimate the model parameters， and the gradient ascending method was used to output the model parameters. The estimated values of the probability distribution parameters were obtained， and the results were compared with those of the traditional methods. Based on the measured data and the four assumed distribution models of Normal distribution，Logarithmic normal distribution，Webull distribution and Rayleigh distribution， the performance evaluation was conducted.The results show that the proposed method has the best fitting performance， and the comprehensive evaluation indexes are respective 0.979 00， 0.726 08， 1.397 69 and 1.494 50， with strong accuracy and reliability.

Key words： intelligent transportation; parameter estimation method; maximum correlation entropy criterion; data fitting; statistical properties

根據(jù)最新公布的數(shù)據(jù)[1]顯示：截至2022年3月底，全國機(jī)動車保有量達(dá)4.02億輛.城市交通擁堵問題日趨嚴(yán)重，智能交通系統(tǒng)（intelligent traffic system）被視為改善交通問題的重要途徑之一.其中短時交通量預(yù)測是為智能交通系統(tǒng)提供實(shí)時交通數(shù)據(jù)的關(guān)鍵技術(shù)方法，其精度與可靠性對智能交通系統(tǒng)的性能起著決定性的作用.交通量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特性可以影響預(yù)測模型的選擇，根據(jù)交通量不同數(shù)據(jù)特性可以選取預(yù)測精度更高的模型[2].然而，現(xiàn)階段研究中，關(guān)于交通量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特性的研究未完全展開，值得進(jìn)一步研究.

交通量數(shù)據(jù)一般具有明顯線性或非線性、平穩(wěn)性或非平穩(wěn)性、高斯性或非高斯性等特性.準(zhǔn)確分析交通量的特性，可以有助于選取合適的預(yù)測模型，使得預(yù)測結(jié)果精度更高[3-4].因此，準(zhǔn)確描述交通量數(shù)據(jù)特性十分必要.

隨著不斷探索，許多方法在參數(shù)估計(jì)中得到應(yīng)用[5]，其中最大似然估計(jì)（maximum likelihood estimation， MLE）[6]、矩估計(jì)（the moment estimation， MME）[7]、最小二乘估計(jì)（least square estimation， LSE）[8]和貝葉斯估計(jì)（bayesian estimation， BE）[9]等應(yīng)用較多.文獻(xiàn)[10]使用最大似然估計(jì)擬合韋布爾概率分布曲線，分析了參數(shù)與影響因素的定量關(guān)系；文獻(xiàn)[11]使用最小二乘估計(jì)對分布參數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)；文獻(xiàn)[12]提出了一種將數(shù)據(jù)整合到幾何矩陣來估計(jì)網(wǎng)絡(luò)范圍內(nèi)的交通流量，并用空間平滑指標(biāo)來衡量每個路段的體積估計(jì)難度.上述研究不斷改進(jìn)估計(jì)方法，對交通量概率密度函數(shù)進(jìn)行研究分析，提高了擬合精度.然而，隨著擬合精度的提高，參數(shù)方法所需步驟也增多，導(dǎo)致復(fù)雜性增大，計(jì)算成本增加.近幾年，部分學(xué)者將最大相關(guān)熵準(zhǔn)則用來估計(jì)參數(shù)，保證精度的同時也提高了效率.文獻(xiàn)[13]針對網(wǎng)絡(luò)的非線性特征，將最大相關(guān)熵準(zhǔn)則應(yīng)用到網(wǎng)絡(luò)流量預(yù)測；文獻(xiàn)[14]利用最大相關(guān)熵準(zhǔn)則提升了動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問題在面臨非高斯噪聲環(huán)境下的狀態(tài)預(yù)測準(zhǔn)確性和魯棒性；文獻(xiàn)[15]使最大相關(guān)熵準(zhǔn)則成功應(yīng)用于信號處理方面的機(jī)器學(xué)習(xí).上述研究結(jié)果表明，最大相關(guān)熵準(zhǔn)則通過熵的概念分析，使隨機(jī)變量最接近于真實(shí)狀態(tài)，應(yīng)用效果較好，且復(fù)雜性適中.

因此，文中提出基于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則的參數(shù)估計(jì)方法.首先，對實(shí)測數(shù)據(jù)預(yù)處理后進(jìn)行分析，然后利用相關(guān)熵作為函數(shù)，依據(jù)最大相關(guān)熵準(zhǔn)則，采用梯度上升法進(jìn)行結(jié)果輸出，最后選擇傳統(tǒng)參數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行比較，討論最大相關(guān)熵準(zhǔn)則在交通流參數(shù)估計(jì)中的擬合性能，進(jìn)而獲得數(shù)據(jù)概率特性.

1 最大相關(guān)熵準(zhǔn)則

最大熵理論是事物在約束狀態(tài)下爭取到的最大自由選擇權(quán)，熵最大的就是最優(yōu)模型或分布[16].最大相關(guān)熵與預(yù)估數(shù)據(jù)分布的二次熵有關(guān)，隨機(jī)變量X和Y之間的局部相似度度量為

Vσ（X，Y）=E［kσ（X-Y）］，（1）

X和Y之間的誤差為C=X-Y=（c1，c2，…，cm）.可得到誤差C的高斯核函數(shù)：

隨機(jī)變量X和Y之間的相關(guān)熵則可以用誤差C更新表示為

式中：cj=xj-yj.文獻(xiàn)[17]提出了相關(guān)熵可以誘導(dǎo)出一個測度距離，定義為相關(guān)熵誘導(dǎo)距離（correntropy induced metric， CIM），并給出CIM測度距離的表達(dá)式為

CIM（X，Y）=［kσ（0）-Vσ（X，Y）］1/2.（5）

實(shí)際上，最大相關(guān)熵準(zhǔn)則（maximum correntropy criterion， MCC）是依據(jù)最大化相關(guān)熵Vσ（X，Y）等價于最小化CIM（X，Y）這一性質(zhì)提出的，即

解相關(guān)熵，推導(dǎo)度量CIM的最小值，即求得cj的最大相關(guān)熵，如下式：

假設(shè)該交通量滿足某種隨機(jī)分布，即可得該隨機(jī)分布的概率密度函數(shù)為F，那么估計(jì)得到的概率密度函數(shù)值為F（hk），通過最大相關(guān)熵準(zhǔn)則進(jìn)行估計(jì)，即可得到最終的參數(shù)估計(jì)表達(dá)式：

式中： R為基于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則的參數(shù)估計(jì)式，R最大時的參數(shù)即為所求最優(yōu)參數(shù)；C′為任一常數(shù)，在應(yīng)用中取為單位1；y（hk）為真實(shí)交通量的概率密度統(tǒng)計(jì)值；F（hk）為交通量的估計(jì)概率密度值； σ為真實(shí)數(shù)據(jù)的方差.

想要求得R最大時的參數(shù)值，文中使用梯度上升法，通過考慮迭代的方法，一步步進(jìn)行尋找最大值，逼近最優(yōu)參數(shù).首先求取R關(guān)于估計(jì)概率密度函數(shù)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：

式中：F（hk）為交通量的估計(jì)概率密度函數(shù)關(guān)于未知參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).

然后帶入不同概率分布估計(jì)的概率密度函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，通過設(shè)置步長及初始參數(shù)值代入上式進(jìn)行循環(huán)求解，直到找到最大相關(guān)熵準(zhǔn)則的估計(jì)表達(dá)式最大值時即為所求最優(yōu)參數(shù).基于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則的交通量估計(jì)流程圖如圖1所示.

2 案例分析

2.1 擬合優(yōu)度指標(biāo)

卡方檢驗(yàn)是在各個領(lǐng)域都涉及的計(jì)數(shù)資料的假設(shè)檢驗(yàn)方法.常用的卡方統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式為

式中： χ2為卡方統(tǒng)計(jì)量；Ai為i水平的觀察頻數(shù)；Bi為i水平的期望頻數(shù)；n為總頻數(shù)；pi為i水平的期望頻率；k為單元格數(shù).

誤差平方和（sum of squared error， SSE）反映了隨機(jī)誤差的大小，越接近越好，說明總誤差很小.其定義式為

式中： Pi為實(shí)際交通量的累積分布；FFi為累積分布函數(shù)的擬合值.

由于卡方值與誤差平方和指標(biāo)評估擬合結(jié)果的側(cè)重點(diǎn)不相同，因此需要增加綜合指標(biāo)（comprehensive index， CI）進(jìn)行評判，將個別指標(biāo)統(tǒng)一，整體上評價擬合結(jié)果.定義綜合指標(biāo)為

由公式（10）-（12）可知，擬合結(jié)果最優(yōu)，χ2及SSE越接近于0.同樣地，綜合指標(biāo)中每項(xiàng)最大值為1，因而以值最接近1的擬合結(jié)果最優(yōu)，所有擬合評價指標(biāo)求和后最大值為2.綜合評價指標(biāo)能夠整合所有評價信息，是較為公平的評價方法.

2.2 案例驗(yàn)證結(jié)果

下面以某城市M25路口某感應(yīng)線圈一個月的數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)分析.首先對原始交通量數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將其整理為時間間隔為15 min的交通量數(shù)據(jù)，共2 880條記錄.圖2為M25路口交通量時間變化情況圖，該路口交通量呈現(xiàn)周期循環(huán)性，每一周的交通量特性大致相同，工作日時間路口的交通量波動規(guī)律大體相同，均有早、晚高峰的情況出現(xiàn)，交通量變化規(guī)律具有一定相似性.因此，在估計(jì)交通量時，將歷史數(shù)據(jù)作為輔助，挖掘交通量數(shù)據(jù)的空間關(guān)聯(lián)性，提高交通量參數(shù)估計(jì)精度.同時對M25路口交通量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行分析，如表1所示.由表可以看出M25路口交通量數(shù)據(jù)的短時交通量最大值為658輛/15 min，最小值為9輛/15 min，數(shù)據(jù)均值較大，波動性較強(qiáng).通過一個周期循環(huán)時間序列的趨勢圖可知，該時間序列在整體趨勢上表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動的過程，但受到最大值與最小值的影響，波動的頻率較大，有部分區(qū)間呈現(xiàn)急速上升與下降趨勢，說明該路口交通量數(shù)據(jù)存在非平穩(wěn)性成分.

然后對處理后數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，劃分100個區(qū)間，統(tǒng)計(jì)出各個流量區(qū)間內(nèi)實(shí)測車輛流量的個數(shù)，計(jì)算出M25路口交通量數(shù)據(jù)的概率密度分布列，最后繪制出概率密度分布圖，如圖3所示.

使用常見的4種隨機(jī)變量分布模型進(jìn)行概率密度擬合，結(jié)果如圖4所示.由圖可以發(fā)現(xiàn)：3種方法所得估計(jì)擬合曲線的整體走勢相同，均與觀測直方圖接近，并且曲線較為接近，說明各參數(shù)估計(jì)方法設(shè)置是合理的.圖4a為正態(tài)分布擬合，最大相關(guān)熵準(zhǔn)則擬合正態(tài)曲線明顯與實(shí)際值整體走勢更為接近，但在第1個峰值處，3種參數(shù)估計(jì)方法擬合效果都較差，在第2個峰值處，最大相關(guān)熵準(zhǔn)則擬合較為接近；圖4b為對數(shù)正態(tài)分布擬合，最大相關(guān)熵準(zhǔn)則在整體走勢相較于最小二乘估計(jì)以及最大似然估計(jì)與實(shí)際值更接近，但三者參數(shù)估計(jì)方法在2個峰值處擬合效果較差，在后期擬合效果較好；圖4c為韋布爾分布擬合，3種方法走勢基本相同，對于峰值處的擬合并不到位；圖4d為瑞利分布擬合，3種參數(shù)估計(jì)方法擬合曲線高度重疊，均與數(shù)據(jù)走勢相似，最大相關(guān)熵準(zhǔn)則介于最小二乘估計(jì)、最大似然估計(jì)之間.所以從4組擬合圖可以看出：相比于其他方法，最大相關(guān)熵準(zhǔn)則方法的擬合曲線在整體走勢中更接近實(shí)測值，可見MCC方法比其余2種估計(jì)方法在4種單分布的擬合效果好.

圖5為研究對象M25路口交通量擬合殘差圖.由圖可以看出，3種參數(shù)估計(jì)方法殘差都分布在零值附近，波動隨擬合曲線的變化而變化.4種單分布的殘差在前段部分波動差距均較大，而后逐漸歸于平緩，在零值附近徘徊，說明單分布擬合在數(shù)據(jù)前段的擬合效果并不太理想，但在數(shù)據(jù)中后段擬合效果相對來說是比較好的.并且圖5a與5d中的最大相關(guān)熵準(zhǔn)則估計(jì)出的殘差值，相比于最小二乘估計(jì)和最大似然估計(jì)的殘差值更接近于零值，且波動范圍也居于兩者之間，所以從殘差值入手，最大相關(guān)熵準(zhǔn)則擬合正態(tài)分布和瑞利分布效果最好.而圖5b與5c中3條曲線在數(shù)據(jù)前段變化都較大，且都有各自優(yōu)勢，而后段都趨于平穩(wěn)且相對較為接近，所以對數(shù)正態(tài)分布和韋布爾分布的效果可通過接下來的頻數(shù)檢驗(yàn)和擬合優(yōu)度檢驗(yàn)進(jìn)行判斷.

為了驗(yàn)證擬合結(jié)果的準(zhǔn)確性，根據(jù)頻數(shù)求取公式，求得交通量數(shù)據(jù)等間距分為30個區(qū)間后每個區(qū)間的實(shí)際頻數(shù)值，以及通過不同參數(shù)估計(jì)方法得到的每個小區(qū)間的估計(jì)頻數(shù)值，通過相減取絕對值，得到實(shí)際頻數(shù)與估計(jì)頻數(shù)的殘差絕對值，如圖6所示.由圖可以看出，相比于最小二乘估計(jì)和最大似然估計(jì)，最大相關(guān)熵準(zhǔn)則的殘差值都更接近于零值，最大相關(guān)熵準(zhǔn)則的殘差值處于最小二乘估計(jì)與最大似然估計(jì)殘差值之間，整體走勢最接近于零值，整體誤差較小.4種不同的單分布都是在數(shù)據(jù)后端的頻數(shù)擬合效果較好，但是在2個峰值處的擬合情況并不理想，殘差值較大.通過比較可以發(fā)現(xiàn)最大相關(guān)熵準(zhǔn)則方法在4種單分布擬合中的準(zhǔn)確性最好.

為了驗(yàn)證圖4擬合性能，對概率密度擬合結(jié)果優(yōu)度評價指標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表2-5所示，表中加粗的數(shù)值為指標(biāo)最優(yōu)值.由表可以看出，在正態(tài)分布、韋布爾分布和瑞利分布中，最大相關(guān)熵準(zhǔn)則3種擬合優(yōu)度評價指標(biāo)檢驗(yàn)值均優(yōu)于最小二乘估計(jì)和最大似然估計(jì)，卡方值分別為0.000 47、0.000 59、0.000 38；SSE分別為0.098 32、0.080 75、0.540 49；綜合評價指標(biāo)CI分別為0.979 00、1.397 69、1.494 50.在對數(shù)正態(tài)分布中，最大相關(guān)熵準(zhǔn)則方法卡方值及SSE并不是最優(yōu)值，與最優(yōu)值相差0.000 32～0.273 80，但綜合評價指標(biāo)CI=0.726 08為最優(yōu)值，優(yōu)于其他2種方法的0.069 22～0.138 73，因?yàn)榫C合評價指標(biāo)是結(jié)合卡方值以及SSE綜合評判，所以最大相關(guān)熵準(zhǔn)則方法在對數(shù)正態(tài)分布中擬合較好.綜上所述，最大相關(guān)熵準(zhǔn)則方法比最小二乘估計(jì)和最大似然估計(jì)方法在4種單分布擬合效果好，且交通量更近似服從韋布爾分布與瑞利分布.

此外，有關(guān)概率分布函數(shù)的選取，通過綜合評價指標(biāo)對比可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布與對數(shù)正態(tài)分布擬合效果并不好，綜合評價指標(biāo)均小于1，說明該組交通量數(shù)據(jù)并不符合高斯性；韋布爾分布和瑞利分布綜合評價指標(biāo)較為接近，因此M25路口交通量數(shù)據(jù)更近似服從韋布爾分布與瑞利分布.

3 結(jié) 論

1） 提出了一種基于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則的參數(shù)估計(jì)方法.該方法考慮到了數(shù)據(jù)的高階統(tǒng)計(jì)量，具有計(jì)算簡單的特點(diǎn)，對于非高斯特征的數(shù)據(jù)處理具有一定的魯棒性，因此該方法適合用于一些具有非高斯性、時變特性的時間序列分析.

2） 針對某路口實(shí)測交通量特性研究發(fā)現(xiàn)，該路口交通量在正態(tài)分布與對數(shù)正態(tài)分布中擬合效果較差，具有非高斯性.同時該路口時間序列呈現(xiàn)出日循環(huán)、周循環(huán)模式，有部分區(qū)間呈現(xiàn)急速上升與下降趨勢，說明該交通量具有較強(qiáng)的周期性與非平穩(wěn)性.

3） 基于數(shù)據(jù)擬合發(fā)現(xiàn)4種單分布的最大相關(guān)熵準(zhǔn)則的綜合評價指標(biāo)CI均最優(yōu)，分別為0.979 00、0.726 08、1.397 69、1.494 50，具有良好的擬合效果，且其擬合性能優(yōu)于常用的最小二乘估計(jì)和最大似然估計(jì).

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