摘要： 為了準(zhǔn)確揭示架橋機(jī)制動系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為，建立了含黏彈性阻尼的非恒定摩擦系數(shù)的制動系統(tǒng)動力學(xué)模型，使用Caputo分?jǐn)?shù)階微分模型表征制動系統(tǒng)的黏彈性阻尼特性，推導(dǎo)得到該模型黏彈性阻尼的等效阻尼系數(shù)和等效剛度系數(shù).基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，得到了系統(tǒng)定常解的穩(wěn)定條件，并建立了系統(tǒng)周期運(yùn)動的存在條件.通過數(shù)值計(jì)算得到系統(tǒng)的分岔圖、相圖與Poincaré映射，探究了制動力與黏彈性阻尼對系統(tǒng)非線性動力學(xué)行為的影響.結(jié)果表明：架橋機(jī)在現(xiàn)場運(yùn)梁過程中，制動系統(tǒng)會出現(xiàn)復(fù)雜的非線性動力學(xué)現(xiàn)象，改變制動力與黏彈性阻尼系數(shù)，可以同時(shí)改變制動系統(tǒng)的振幅、剛度特性、阻尼效應(yīng)、產(chǎn)生周期運(yùn)動的范圍與分岔特性，從而對系統(tǒng)的工作穩(wěn)定性和工作壽命產(chǎn)生復(fù)雜的影響.

關(guān)鍵詞：" 架橋機(jī)； 制動系統(tǒng)； 干摩擦； 分?jǐn)?shù)階； 黏彈性阻尼

中圖分類號： TH215； O322" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：" A" 文章編號："" 1671-7775（2025）02-0221-10

Analysis of nonlinear dynamic characteristics of braking system for

bridge erection machine with viscoelastic damping

Abstract： To reveal the nonlinear dynamic behaviors of the braking system for bridge erection machines， the dynamic model of braking system with non-constant friction coefficient and viscoelastic damping was established. The viscoelastic damping was characterized by the Caputo fractional differential model， and the equivalent damping coefficient and equivalent stiffness coefficient of the viscoelastic damping were deduced. Based on the Lyapunov stability theory， the stability conditions of the steady-state solution were obtained， and the existence conditions for the periodic motion of system were established. The bifurcation diagram， phase diagram and Poincaré diagram of the system were obtained by numerical solutions. The effects of viscoelastic damping and braking force on the nonlinear dynamics properties of system were discussed. The results show that there are complex nonlinear dynamic behaviors in the bridge girder erection machine. The vibration amplitude， stiffness characteristics， damping effects， range of generated periodic motion and bifurcation characteristics of the braking system can be simultaneously affected by changing the braking force and viscoelastic damping parameters， which has complex influence on the working stability and working life of system.

Key words： bridge erection machine; braking system; dry rubbing; fractional order; viscoelastic damping

制動器作為大型交通工程施工裝備的重要安全保障部件，其制動可靠性直接影響機(jī)械裝備的運(yùn)行安全性與穩(wěn)定性[1-3].盤式、鼓式與帶式制動器應(yīng)用較廣泛[4].其中，盤式制動器具有結(jié)構(gòu)簡單、設(shè)計(jì)質(zhì)量輕、熱穩(wěn)定性與水穩(wěn)定性好等諸多優(yōu)點(diǎn)，正逐步取代鼓式制動器.目前針對制動系統(tǒng)的研究主要集中于制動器結(jié)構(gòu)、摩擦副材料、模型、干摩擦力、制動穩(wěn)定性與制動系統(tǒng)的動力學(xué)特性等方面.制動器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)不合理與摩擦副材料老化均會對制動器制動過程中溫度和應(yīng)力的變化產(chǎn)生巨大影響，造成制動器的制動性能降低、摩擦因數(shù)改變以及引起強(qiáng)烈的振動等問題[5-6].在眾多制動器動力學(xué)模型中，傳送帶-滑塊模型應(yīng)用最為廣泛[7].文獻(xiàn)[8]通過研究傳送帶-滑塊模型的黏滑運(yùn)動行為，證明了摩擦系數(shù)的負(fù)斜率特性是導(dǎo)致制動系統(tǒng)產(chǎn)生黏滑運(yùn)動的必要條件.文獻(xiàn)[9]將摩擦片與制動盤分別等效為單自由度系統(tǒng)，考慮制動盤的振動特性，利用摩擦副將二者耦合，進(jìn)而提出了二自由度制動器模型.文獻(xiàn)[10]建立了雙制動片-摩擦盤的制動器模型，將制動盤的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動等效為相對于摩擦片的直線運(yùn)動，分析了制動時(shí)系統(tǒng)的動力學(xué)特性.文獻(xiàn)[11]研究了磐石制動器摩擦件對動態(tài)摩擦載荷的影響，結(jié)果表明摩擦件溫度與時(shí)間的平方呈線性關(guān)系，該研究對有效控制動態(tài)摩擦載荷具有指導(dǎo)意義.文獻(xiàn)[12]基于臺架試驗(yàn)，研究了9種盤式制動器的制動特性，發(fā)現(xiàn)制動器摩擦特性與制動壓力波動之間存在耦合關(guān)系，摩擦系數(shù)分為靜態(tài)系數(shù)與動態(tài)系數(shù)兩部分，均受相對速度與制動力影響.文獻(xiàn)[13]以SD振子為基礎(chǔ)，結(jié)合Stribeck摩擦模型，提出了一類含幾何非線性的摩擦自激振動系統(tǒng)，研究了系統(tǒng)的多黏滑周期解、多黏滑混沌運(yùn)動及周期-混沌運(yùn)動共存狀態(tài)等動力學(xué)行為.

常見的摩擦力模型有靜摩擦力模型、庫倫摩擦模型、Stribeck摩擦模型與LuGre模型等.Stribeck摩擦模型是摩擦動力學(xué)研究中最常用的摩擦力模型之一，其中的負(fù)斜率部分代表負(fù)黏性阻尼系數(shù)，引起黏滑運(yùn)動，且形式簡單，易于調(diào)整[14-15].在靜摩擦力模型與庫倫摩擦模型中，摩擦系數(shù)被認(rèn)為是一個(gè)常量[9].但是，試驗(yàn)證明相對速度較小時(shí)，摩擦系數(shù)會出現(xiàn)Stribeck現(xiàn)象，此時(shí)摩擦系數(shù)是非恒定的 [16].文獻(xiàn)[17]針對非恒定摩擦系數(shù)的摩擦力模型，基于功能關(guān)系，提出了等效線性化計(jì)算方法.根據(jù)摩擦力做功與激勵做功的相對關(guān)系，得到系統(tǒng)存在周期運(yùn)動的邊界條件.LuGre模型綜合考慮了庫倫摩擦、非恒定摩擦系數(shù)與滯后效應(yīng)，常被用于研究高精度系統(tǒng)的摩擦顫振問題[18-19].文獻(xiàn)[20]通過研究摩擦力與相對速度的關(guān)系，表明Stribeck模型能夠準(zhǔn)確反映靜摩擦和動摩擦相差較小時(shí)摩擦面的真實(shí)情況.

在研究制動系統(tǒng)的動力學(xué)特性時(shí)，諸多學(xué)者使用黏性阻尼模型表征系統(tǒng)的能量耗散特性.黏性阻尼模型雖然形式簡潔，便于求解，但是無法準(zhǔn)確體現(xiàn)“記憶性”與“頻率相關(guān)性”，不能準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的黏彈特性.已有研究證明，無論是金屬（銅、鋼等）或是非金屬（土壤、橡膠、油泥等）均具有黏彈特性[21].文獻(xiàn)[22]試驗(yàn)證明使用分?jǐn)?shù)階模型表征的黏彈性阻尼模型，可以準(zhǔn)確描述能量耗散特性.文獻(xiàn)[23]研究發(fā)現(xiàn)含黏彈性阻尼的非線性擺Duffing系統(tǒng)的動力學(xué)特性與含黏性阻尼的系統(tǒng)存在明顯不同.文獻(xiàn)[24]研究了含黏彈性阻尼的Duffing系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)黏彈性阻尼階次同時(shí)影響系統(tǒng)的響應(yīng)頻率與響應(yīng)幅值.文獻(xiàn)[25]在復(fù)數(shù)域研究了含黏彈性阻尼的Duffing系統(tǒng)的混沌行為.申永軍科研團(tuán)隊(duì)對含黏彈性阻尼的Duffing系統(tǒng)的主共振[26]、超諧共振[27]、亞諧共振[28]和聯(lián)合共振[29]進(jìn)行了系統(tǒng)研究，得到了分?jǐn)?shù)階阻尼的等效阻尼系數(shù)與等效剛度系數(shù)，研究還發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階參數(shù)對系統(tǒng)響應(yīng)幅值、頻率和周期解的數(shù)目存在顯著影響.文獻(xiàn)[30]設(shè)計(jì)的螺桿轉(zhuǎn)子采用非線性單向流固耦合方法，建立轉(zhuǎn)子嚙合接觸有限元模型，研究結(jié)果表明，該轉(zhuǎn)子可延長彈性體轉(zhuǎn)子油氣混輸泵在深海環(huán)境下的使用壽命.文獻(xiàn)[31-32]以Caputo分?jǐn)?shù)階模型為基礎(chǔ)，提出了金屬橡膠阻尼的非線性分?jǐn)?shù)階模型，該模型可以準(zhǔn)確描述金屬橡膠阻尼的黏彈特性.

鐵路施工中的大型架橋機(jī)制動系統(tǒng)在運(yùn)梁及架梁時(shí)，工作環(huán)境非常惡劣，架橋機(jī)掛載梁片的質(zhì)量通常達(dá)到幾十甚至上百噸.為了保障交通基礎(chǔ)建設(shè)施工安全，作為工作制動器和緊急安全制動器，架橋機(jī)制動器的工作狀態(tài)和安全可靠性對于施工安全至關(guān)重要.此外，制動盤、液壓缸和鋼絲繩的力學(xué)本構(gòu)具有典型黏彈特性.因此，有必要建立架橋機(jī)制動系統(tǒng)動力學(xué)模型，研究架橋機(jī)運(yùn)載梁片時(shí)制動系統(tǒng)的非線性響應(yīng)特性，并針對系統(tǒng)的黏彈特性進(jìn)行探究.目前，關(guān)于架橋機(jī)等大型交通工程施工裝備制動器的非線性動力學(xué)特性的研究較少，關(guān)于黏彈特性對制動系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響研究尚不充分.

為此，針對某型號大型架橋機(jī)制動器，為準(zhǔn)確揭示其非線性動力學(xué)行為，考慮Stribeck現(xiàn)象與架梁過程中制動盤、液壓缸、鋼絲繩等元件的黏彈特性，建立含黏彈性阻尼的非恒定摩擦系數(shù)制動系統(tǒng)動力學(xué)模型.使用Caputo分?jǐn)?shù)階微分模型構(gòu)建黏彈性阻尼模型，表征系統(tǒng)中能量的耗散特性與黏彈性阻尼，探討?zhàn)椥宰枘崤c制動力對制動系統(tǒng)非線性響應(yīng)特性的影響.

1 含黏彈性阻尼的非恒定摩擦系數(shù)制動系統(tǒng)動力學(xué)模型

某型號架橋機(jī)制動系統(tǒng)試驗(yàn)臺如圖1所示.

圖1中，碟形彈簧通過制動臂將摩擦片壓緊于制動盤表面，利用摩擦片與制動盤之間的摩擦力實(shí)現(xiàn)制動，可以調(diào)節(jié)碟形彈簧的預(yù)壓縮量，使制動系統(tǒng)獲得必要的制動力.在架橋機(jī)進(jìn)行架梁作業(yè)時(shí)，制動系統(tǒng)對稱布置在架橋機(jī)4個(gè)角上，協(xié)同工作.驅(qū)動系統(tǒng)帶動起升卷揚(yáng)機(jī)轉(zhuǎn)動，提升與下放質(zhì)量極大的梁片或整梁.梁片受鋼絲繩提升作用，在移動中不可避免產(chǎn)生微幅振動，這對架橋機(jī)會產(chǎn)生較大的動載荷.如果制動系統(tǒng)因出現(xiàn)顫振而無法抱死，梁片出現(xiàn)滑移，進(jìn)而導(dǎo)致架橋機(jī)失衡，這將對施工人員與橋梁帶來極大安全隱患.許多致力于研究摩擦振動問題的學(xué)者為了便于研究，且不失去一般性，經(jīng)常將該類摩擦系統(tǒng)等效為滑塊-傳送帶模型.制動系統(tǒng)模型如圖2所示.

起重機(jī)懸掛的貨物振動時(shí)產(chǎn)生的激勵p0cos（ωt）計(jì)算式為

考慮Stribeck現(xiàn)象[9]，建立非恒定摩擦系數(shù)的摩擦力模型，即

式中：Ff為摩擦片與制動盤之間的摩擦力；FN為制動力.非恒定摩擦系數(shù)的摩擦力示意圖如圖3所示.

由圖3可知：摩擦力隨相對速度的增加，呈先減小、后增大的趨勢；當(dāng)相對速度為vm時(shí)，摩擦力取得極小值.可見，具有典型的非線性與負(fù)斜率特性.已有研究[8]證明，這種負(fù)斜率特性是導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，且產(chǎn)生黏滑運(yùn)動的根本原因.

對式（1）中變量進(jìn)行量綱一的處理，即FN1=FN/m，B1=b1/m，B2=b2/m，K1=（k1+k2）/m，K2=k2/m，H=h/m，P=p0/m，則式（1）可改寫為

根據(jù)功能原理，在一個(gè)振動周期中，外部激勵對系統(tǒng)輸入的能量與系統(tǒng)各項(xiàng)阻尼和摩擦力做功耗散的能量相等，有如下等式：

式中： keq為等效剛度系數(shù)；ceq為等效阻尼系數(shù).

式（3）的解可以設(shè)為

x（t）=acos（ωt+θ）=acos φ，（5）

式中： a為量綱一的位移響應(yīng)振幅；θ為關(guān)于時(shí)間的位移響應(yīng)相位函數(shù)；φ=ωt+θ.

將式（5）代入式（4），對式（4）等號兩側(cè)分別乘sin φ與cos φ，且s=t-u，可得

利用三角函數(shù)的正交性，求解式（6）與式（7），可得

由式（8）與式（9）可知，黏彈性阻尼的等效剛度系數(shù)與等效阻尼系數(shù)均為激勵頻率ω的函數(shù)，這意味著二者均具有頻率相關(guān)性.將式（8）與式（9）代入式（3），可以得到含黏彈性阻尼的非恒定摩擦系數(shù)制動系統(tǒng)動力學(xué)模型：

2 系統(tǒng)的主共振幅頻響應(yīng)函數(shù)

現(xiàn)分析架橋機(jī)制動系統(tǒng)在抱死時(shí)非線性動力學(xué)特性.不失一般性令相對速度vr=0，研究系統(tǒng)的主共振非線性響應(yīng)特性.將式（5）代入式（10），并根據(jù)平均法，在一個(gè)周期內(nèi)取積分平均值，可得

根據(jù)式（12）可求得振幅a取最大值時(shí)的ω值，即幅頻響應(yīng)曲線的骨架線函數(shù)為

式（14）與式（15）的特征行列式為

基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，得到系統(tǒng)定常解的穩(wěn)定條件如下：

（R1+R4lt;0）∧（R1R4－R2R3gt;0）.（17）

3 系統(tǒng)產(chǎn)生周期運(yùn)動的臨界條件

制動臂與制動盤之間存在干摩擦力Ff.因此，當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)振動周期內(nèi)，激勵Pcos（ωt）做的功We等于干摩擦力做的功與黏彈性阻尼做的功之和Wd時(shí)，系統(tǒng)可能存在周期運(yùn)動.在一個(gè)振動周期內(nèi)，有

令We=Wd，得到系統(tǒng)產(chǎn)生周期運(yùn)動的條件為

4 結(jié)果分析

4.1 驗(yàn)證式（12）幅頻響應(yīng)函數(shù)的正確性

選取系統(tǒng)量綱一的參數(shù)，其中FN1=0.75，B1=1.25，B2=0.125，K1=27.5，K2=2.5，H=2.5，p=0.50，P=1.25.為了保證數(shù)值計(jì)算精度，且具有較高的計(jì)算效率，選取求解步長tstep=0.005，使用常微分方程的數(shù)值求解函數(shù)ode45來計(jì)算式（3）的幅頻響應(yīng)，并與式（12）解析解進(jìn)行對比.幅頻響應(yīng)函數(shù)數(shù)值解與解析解的對比結(jié)果如圖4所示.

由圖4可知，幅頻響應(yīng)函數(shù)的ode45計(jì)算結(jié)果與式（12）解析結(jié)果擬合較好，證明了式（12）的正確性.

4.2 制動力對制動系統(tǒng)非線性響應(yīng)特性的影響

首先，研究制動力對制動系統(tǒng)幅頻響應(yīng)特性的影響.選取量綱一的參數(shù)，其中B1=1.50，B2=0.050，K1=30.0，K2=100.0，H=0.5，p=0.50，P=6.00，令FN1分別為3.30、4.50、7.50和20.00，得到式（12）幅頻響應(yīng)曲線，如圖5所示.其中實(shí)線為幅頻響應(yīng)曲線，虛線為不穩(wěn)定解，點(diǎn)劃線為骨架曲線.

由圖5可知：當(dāng)制動力增大時(shí)，制動系統(tǒng)的振幅增大，共振峰向高頻區(qū)移動，曲線向右彎曲程度增強(qiáng).制動力增大時(shí)，根據(jù)峰值可知制動系統(tǒng)的阻尼效應(yīng)減弱，剛度硬化（表現(xiàn)為固有頻率增加）.

為了分析制動力對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動存在范圍的影響，根據(jù)式（20）繪制了不同制動力下制動系統(tǒng)周期運(yùn)動的存在范圍，如圖6所示.

圖6中，每一個(gè)彩色區(qū)域代表系統(tǒng)一個(gè)振動周期，根據(jù)能量守恒定律，輸入能量與輸出能量相等（外激勵做功=輸入，摩擦力和阻尼做功=輸出），即We=Wd，此時(shí)系統(tǒng)可能存在周期運(yùn)動.其他區(qū)域代表外激勵做功輸入的能量低于阻尼和摩擦力做功所耗散的能量.系統(tǒng)的位移響應(yīng)將逐漸衰減，不產(chǎn)生穩(wěn)定的周期運(yùn)動.隨著制動力增大，根據(jù)每一種顏色占比的變化可知制動系統(tǒng)周期運(yùn)動存在范圍逐漸縮小，表明系統(tǒng)制動性能增強(qiáng).FN1gt;4.80時(shí)，制動系統(tǒng)在小振幅、低頻率區(qū)域與大振幅、高頻率區(qū)域均有Welt;Wd.此時(shí)，這兩個(gè)區(qū)域中系統(tǒng)均不產(chǎn)生周期運(yùn)動，制動性能較好.

為進(jìn)一步探究制動力對制動系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性的影響，令ω=8.3，計(jì)算得到位移響應(yīng)的振幅a關(guān)于制動力FN1的分岔圖如圖7所示.圖中藍(lán)色點(diǎn)線和黑色點(diǎn)線分別為不同初值時(shí)的分岔曲線.

由圖7可知：當(dāng)制動力為3.00～3.80時(shí)，同時(shí)存在藍(lán)色與黑色兩條點(diǎn)線，表明系統(tǒng)同時(shí)存在兩種振幅不同的穩(wěn)定周期運(yùn)動；當(dāng)制動力為3.80～5.30時(shí)，藍(lán)色點(diǎn)線演化為無窮多點(diǎn)的區(qū)域，表明此時(shí)為一種穩(wěn)定周期運(yùn)動與擬周期運(yùn)動共存（經(jīng)后續(xù)研究發(fā)現(xiàn)，藍(lán)色點(diǎn)區(qū)域中的Poincaré映射為封閉圓環(huán)，說明此時(shí)的系統(tǒng)作擬周期運(yùn)動）；當(dāng)制動力大于5.30時(shí)，圖中僅存在一條藍(lán)色點(diǎn)線，表明系統(tǒng)此時(shí)僅有一種穩(wěn)定的周期運(yùn)動.隨制動力增大，系統(tǒng)的位移響應(yīng)由兩個(gè)振幅不等的穩(wěn)定周期運(yùn)動演化為一種穩(wěn)定周期運(yùn)動與擬周期運(yùn)動共存的狀態(tài)，最終演化為僅存在一種穩(wěn)定周期運(yùn)動的狀態(tài).位移響應(yīng)的穩(wěn)定性增強(qiáng)，制動系統(tǒng)受外部擾動后工況不易改變，制動能力增強(qiáng)，工作的安全性與穩(wěn)定性提高.

為了更準(zhǔn)確分析響應(yīng)幅值的變化規(guī)律，計(jì)算得到不同制動力下位移響應(yīng)的振幅相圖，如圖8所示.其中，4個(gè)子圖分別對應(yīng)圖7的4個(gè)點(diǎn)；實(shí)線表示相軌線，箭頭表示軌線的運(yùn)動方向，紅色粗實(shí)線及紅點(diǎn)表示Poincaré映射的結(jié)果.圖8a中，當(dāng)制動力為3.30時(shí)，系統(tǒng)位移響應(yīng)的振幅與相位逐漸穩(wěn)定，Poincaré映射只存在一個(gè)定點(diǎn)，此時(shí)只有一種穩(wěn)定的周期運(yùn)動.圖8b中，相軌線形成一個(gè)極限環(huán)，而Poincaré映射近似形成一個(gè)封閉曲線，系統(tǒng)做擬周期運(yùn)動.圖8c中，與圖8a一樣，此時(shí)只有一種穩(wěn)定的周期運(yùn)動.圖8d中，振幅也會穩(wěn)定到一個(gè)點(diǎn)，但瞬態(tài)位移響應(yīng)的振幅在變化過程中出現(xiàn)震蕩.圖8a、8b、8d中，瞬態(tài)振幅的震蕩可能會加速制動器疲勞，縮短工作壽命.圖8c中瞬態(tài)振幅近似單調(diào)變化，系統(tǒng)制動的穩(wěn)定性較好.因此，合理選擇制動力對制動系統(tǒng)至關(guān)重要.

4.3 黏彈性阻尼系數(shù)對制動系統(tǒng)非線性響應(yīng)特性的影響

選取量綱一的參數(shù)，其中FN1=4.00，B1=1.50，B2=0.050，K1=30.0，K2=100.0，p=0.50，P=6.00，令黏彈性阻尼系數(shù)H分別為0.5、2.5、5.0和7.0，計(jì)算得到不同黏彈性阻尼系數(shù)下系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線，如圖9所示.

由圖9可知：黏彈性阻尼系數(shù)增大時(shí)，制動系統(tǒng)振幅減小，共振峰向高頻區(qū)移動，曲線向右彎曲程度減弱，滯后現(xiàn)象逐漸消失，骨架曲線向高頻區(qū)移動；H≥5.0時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線不存在滯后現(xiàn)象，黏彈性阻尼系數(shù)的增大導(dǎo)致制動系統(tǒng)阻尼效應(yīng)增強(qiáng)，剛度硬化（表現(xiàn)為固有頻率增加）.

不同黏彈性阻尼系數(shù)下制動系統(tǒng)周期運(yùn)動的存在范圍如圖10所示.由圖10可知：黏彈性阻尼系數(shù)的增大使系統(tǒng)產(chǎn)生周期運(yùn)動的存在范圍縮小，制動系統(tǒng)的制動性能增強(qiáng)；當(dāng)H≥2.5時(shí)，根據(jù)顏色占比可知低頻區(qū)域周期運(yùn)動范圍急劇縮小，高頻帶范圍內(nèi)，周期運(yùn)動的存在范圍略有減少.

為進(jìn)一步研究黏彈性阻尼系數(shù)對制動系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性的影響，計(jì)算得到ω=8.3時(shí)位移響應(yīng)振幅隨黏彈性阻尼系數(shù)變化的分岔圖，如圖11所示.圖中藍(lán)色點(diǎn)線和黑色點(diǎn)線分別為不同初值時(shí)的分岔曲線.

由圖11可知：黏彈性阻尼系數(shù)為0～1.0時(shí)，藍(lán)色無窮點(diǎn)區(qū)域與一條黑色點(diǎn)線共存，表明一種穩(wěn)定周期運(yùn)動與擬周期運(yùn)動共存的狀態(tài)；黏彈性阻尼系數(shù)為1.0～4.5時(shí)，藍(lán)色點(diǎn)線與黑色點(diǎn)線共存，表明兩種幅值不同的穩(wěn)定周期運(yùn)動共存的狀態(tài)；黏彈性阻尼系數(shù)大于4.5時(shí)，只有一條黑色點(diǎn)線，表明系統(tǒng)僅存在一種穩(wěn)定周期運(yùn)動.隨黏彈性阻尼系數(shù)的增大，系統(tǒng)由穩(wěn)定周期運(yùn)動與擬周期運(yùn)動共存的狀態(tài)演化為兩個(gè)穩(wěn)定周期運(yùn)動共存的狀態(tài)，最終僅存在一種穩(wěn)定的周期運(yùn)動.可見，黏彈性阻尼系數(shù)增大后，位移響應(yīng)的穩(wěn)定性增強(qiáng)，制動系統(tǒng)受外部擾動后，工況不易改變，制動能力增強(qiáng)，工作的安全性與穩(wěn)定性提高.

為了準(zhǔn)確分析響應(yīng)幅值的變化規(guī)律，計(jì)算得到不同黏彈性阻尼系數(shù)下位移響應(yīng)的振幅相圖，如圖12所示.圖中的4個(gè)子圖分別對應(yīng)圖11的4個(gè)點(diǎn).圖12a中，相軌線形成一個(gè)極限環(huán)，其Poincaré映射形成一個(gè)封閉圓環(huán)，系統(tǒng)做擬周期運(yùn)動.圖12b中，系統(tǒng)位移響應(yīng)的振幅與相位逐漸穩(wěn)定，Poincaré映射表明只有一種穩(wěn)定的周期運(yùn)動.圖12c中，振幅隨著相位增大而逐漸增大，并逐漸穩(wěn)定于一個(gè)點(diǎn)，系統(tǒng)僅存在一種穩(wěn)定的周期運(yùn)動.圖12d中，振幅衰減，并會穩(wěn)定在一個(gè)點(diǎn)，表明系統(tǒng)僅存在一種穩(wěn)定周期運(yùn)動.圖12a、12b中瞬態(tài)振幅存在大小震蕩，會加速制動器疲勞，縮短工作壽命，產(chǎn)生安全隱患.圖12d中的制動器工況較為理想.

4.4 黏彈性阻尼階次對制動系統(tǒng)非線性響應(yīng)特性的影響

選取量綱一的參數(shù)，其中FN1=4.00，B1=1.50，B2=0.050，K1=30.0，K2=100.0，H=2.5，P=6.00，令黏彈性阻尼階次p分別為0.10、0.50、0.70和1.00，計(jì)算得到不同黏彈性阻尼階次下制動系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線，如圖13所示.

由圖13可知：隨著黏彈性阻尼階次增大，系統(tǒng)的振幅降低，共振峰向低頻區(qū)移動，曲線向右彎曲程度降低，滯后現(xiàn)象消失，骨架曲線向低頻區(qū)域移動；pgt;0.70時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線不存在滯后現(xiàn)象，制動系統(tǒng)無多解共存現(xiàn)象，共振區(qū)中定常解數(shù)目由最多3個(gè)減少到1個(gè)，并發(fā)生叉形分岔.黏彈性阻尼階次的增大導(dǎo)致制動系統(tǒng)阻尼效應(yīng)增強(qiáng)，剛度軟化（固有頻率減?。?

不同黏彈性阻尼階次下制動系統(tǒng)周期運(yùn)動存在的范圍如圖14所示.由圖14可知：隨著黏彈性阻尼階次增大，制動系統(tǒng)周期運(yùn)動存在的范圍縮小，制動性能增強(qiáng)；p≤0.50時(shí)，制動系統(tǒng)周期運(yùn)動存在的范圍縮小幅度較小；pgt;0.50時(shí)，周期運(yùn)動存在的范圍大幅縮小.

為進(jìn)一步研究黏彈性阻尼階次對制動系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性的影響，計(jì)算得到ω=8.3時(shí)位移響應(yīng)的振幅隨黏彈性阻尼階次變化的分岔圖，如圖15所示.圖中藍(lán)色點(diǎn)線和黑色點(diǎn)線分別為不同初值時(shí)的分岔曲線.

由圖15可知：當(dāng)黏彈性阻尼階次為0～0.40時(shí)，藍(lán)色多點(diǎn)區(qū)域與一支黑色點(diǎn)線共存，表明系統(tǒng)為一種穩(wěn)定周期運(yùn)動與擬周期運(yùn)動共存的狀態(tài)；當(dāng)黏彈性阻尼階次為0.40～0.60時(shí)，同時(shí)存在兩個(gè)穩(wěn)定的振幅（分別對應(yīng)圖15中黑色和藍(lán)色點(diǎn)線），表明系統(tǒng)為兩種振幅不等的穩(wěn)定周期運(yùn)動共存的狀態(tài)；當(dāng)黏彈性阻尼階次大于0.60時(shí)，僅存在一條黑色點(diǎn)線，表明系統(tǒng)此時(shí)僅存在一種穩(wěn)定周期運(yùn)動.隨黏彈性阻尼階次增大，系統(tǒng)由穩(wěn)定周期運(yùn)動與擬周期運(yùn)動共存的狀態(tài)演化為兩個(gè)穩(wěn)定周期運(yùn)動共存的狀態(tài)，最終僅存在一種穩(wěn)定的周期運(yùn)動，即位移響應(yīng)的穩(wěn)定性增強(qiáng).可見，制動系統(tǒng)受外部擾動后，工況不易改變，制動穩(wěn)定性提升，制動系統(tǒng)制動安全性提高.

為了準(zhǔn)確地分析響應(yīng)幅值的變化規(guī)律，計(jì)算得到不同黏彈性阻尼階次下位移響應(yīng)的振幅相圖，如圖16所示.圖16中的4個(gè)子圖分別對應(yīng)圖15中的4個(gè)點(diǎn).圖16a中，系統(tǒng)的位移響應(yīng)振幅相軌線形成一個(gè)極限環(huán)，Poincaré映射近似為一個(gè)封閉圓環(huán)，說明系統(tǒng)做擬周期運(yùn)動.圖16b中，位移響應(yīng)的振幅與相位逐漸穩(wěn)定，Poincaré映射僅存在一個(gè)定點(diǎn)，此時(shí)只有一種穩(wěn)定的周期運(yùn)動.圖16c中，振幅近似單調(diào)增大，逐漸穩(wěn)定于一個(gè)點(diǎn)，表明系統(tǒng)僅存在一種穩(wěn)定的周期運(yùn)動.圖16d中，幅值逐漸衰減，最終穩(wěn)定于一個(gè)點(diǎn)，系統(tǒng)僅存在一種周期運(yùn)動.圖16a、16b中瞬態(tài)振幅存在大小震蕩，可能加速系統(tǒng)疲勞，產(chǎn)生安全隱患，系統(tǒng)工況不佳.圖16d振幅單調(diào)減小，該工況較為理想.

5 結(jié) 論

1） 隨著制動力增大，架橋機(jī)制動系統(tǒng)振幅增大，阻尼效應(yīng)減弱，制動系統(tǒng)產(chǎn)生周期運(yùn)動的范圍縮?。恢苿酉到y(tǒng)由多種運(yùn)動共存的狀態(tài)演化為僅存在一種穩(wěn)定周期運(yùn)動的狀態(tài)，工作穩(wěn)定性增強(qiáng).但是過大的制動力會導(dǎo)致制動系統(tǒng)振幅增大幅度過大，影響安全性.因此，選取合適的制動力對制動系統(tǒng)至關(guān)重要.

2） 隨著黏彈性阻尼系數(shù)增大，制動系統(tǒng)振幅降低，阻尼效應(yīng)增強(qiáng)，滯后現(xiàn)象減弱；骨架曲線向高頻區(qū)域移動，系統(tǒng)剛度硬化；制動系統(tǒng)產(chǎn)生周期運(yùn)動的范圍縮??；系統(tǒng)由多種運(yùn)動共存的狀態(tài)演化為僅存在一種穩(wěn)定周期運(yùn)動的狀態(tài)，工作穩(wěn)定性增強(qiáng).為避免系統(tǒng)振幅在衰減過程中發(fā)生較大波動，加快系統(tǒng)疲勞，應(yīng)選取較大的黏彈性阻尼系數(shù).

3） 隨著黏彈性阻尼階次增大，制動系統(tǒng)振幅降低，阻尼效應(yīng)增強(qiáng)，滯后現(xiàn)象減弱；骨架曲線向低頻區(qū)域移動，系統(tǒng)剛度軟化；制動系統(tǒng)產(chǎn)生周期運(yùn)動的范圍明顯縮??；系統(tǒng)由多種運(yùn)動共存的狀態(tài)演化為僅存在一種穩(wěn)定周期運(yùn)動的狀態(tài)，制動系統(tǒng)的工作穩(wěn)定性增強(qiáng).為了避免系統(tǒng)振幅在衰減過程中發(fā)生較大波動，加快系統(tǒng)疲勞，應(yīng)選取較大的黏彈性阻尼階次.

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