摘" 要：為優(yōu)化農(nóng)作物種植策略，助力鄉(xiāng)村振興，該文構(gòu)建一個多目標(biāo)規(guī)劃模型，旨在最大化預(yù)期利潤、優(yōu)化田間管理與生產(chǎn)效率以及改進(jìn)種植方式。該模型采用兩階段優(yōu)化法進(jìn)行求解。在此基礎(chǔ)上，考慮到種植和市場的不確定性因素，運(yùn)用樣本平均近似法和熵權(quán)法-TOPSIS法，以在利潤和風(fēng)險之間尋求平衡。研究結(jié)果表明，該模型不僅能夠在實現(xiàn)利潤最大化的同時提升種植效率和優(yōu)化種植方式，還能在面臨市場風(fēng)險時保持較高的利潤穩(wěn)定性，為鄉(xiāng)村農(nóng)作物種植規(guī)劃提供有效的理論支持和決策參考。

關(guān)鍵詞：農(nóng)作物種植策略；多目標(biāo)規(guī)劃；兩階段優(yōu)化法；樣本平均近似法；熵權(quán)法-TOPSIS法

中圖分類號：TP391" " " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" " " " " 文章編號：2096-9902（2025）05-0068-08

Abstract： In order to optimize crop planting strategies and assist rural revitalization， this paper builds a multi-objective planning model aimed at maximizing expected profits， optimizing field management and production efficiency， and improving planting methods. The model is solved using a two-stage optimization method. On this basis， taking into account the uncertainty of planting and market， the sample average approximation method and the entropy weight-TOPSIS method are used to find a balance between profit and risk. The research results show that the model can not only maximize profits while improving planting efficiency and optimizing planting methods， but also maintain high profit stability in the face of market risks， providing effective theoreticalsupport and referencefor rural crop planting planning.

Keywords： crop planting strategy; multi-objective planning; two-stage optimization method; sample-average approximation method; entropy weight-TOPSIS method

農(nóng)業(yè)是國民經(jīng)濟(jì)的基礎(chǔ)，是中國鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略的關(guān)鍵部分[1-2]。根據(jù)鄉(xiāng)村的實際情況，充分利用有限的耕地資源，因地制宜，發(fā)展有機(jī)種植產(chǎn)業(yè)，對鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)的可持續(xù)發(fā)展具有重要的現(xiàn)實意義[3]。選擇適宜的農(nóng)作物，優(yōu)化種植策略，有利于方便田間管理，提高生產(chǎn)效益，減少各種不確定因素可能造成的種植風(fēng)險。

本文以2024年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽C題提供的2023年華北某山區(qū)一鄉(xiāng)村耕地與種植數(shù)據(jù)為例，提出了一個基于多目標(biāo)規(guī)劃的種植方案確定模型，如圖1所示，以最大化預(yù)期利潤、優(yōu)化田間管理與效率、改進(jìn)種植方式為目標(biāo)，通過兩階段優(yōu)化進(jìn)行簡化求解；并考慮預(yù)期銷售量、畝產(chǎn)量、種植成本和銷售價格等參數(shù)的不確定性，平衡利潤與風(fēng)險，優(yōu)化種植策略，為農(nóng)業(yè)農(nóng)村生產(chǎn)提供科學(xué)決策支持。

1" 基于多目標(biāo)規(guī)劃的種植方案確定

1.1" 問題分析

鄉(xiāng)村在制定種植方案時應(yīng)以提高收益、方便田間管理和種植、科學(xué)種植方式作為核心目標(biāo)，制定各作物的種植面積、所種植的地塊等決策，這將自然轉(zhuǎn)換成一個多目標(biāo)規(guī)劃問題。

為方便后文表述，現(xiàn)對索引集統(tǒng)一規(guī)范見表1。

1.2" 決策變量

令xijst表示第t年第s季在地塊j種植作物i的面積（畝，1畝約等于667 m2，下同）。

1.3" 目標(biāo)函數(shù)

本模型的目標(biāo)是最大化加權(quán)綜合目標(biāo)Z，綜合考慮預(yù)期利潤（Profit）、田間管理與效率（Efficiency）和種植方式得分（Strategy）。目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式如下

maxZ=α·Profit+β·Efficiency+γ·Strategy。

各部分的具體量化方法如下。

1.3.1" 預(yù)期利潤Profit

種植方案的主要目標(biāo)是使利潤最大化，計算公式為

式中：Pit表示單季作物利潤（每年收獲一次），Pist表示雙季作物利潤（春夏和秋冬分別收獲），計算公式為

式中：Salesist表示作物i在第t年第s季度的銷售量。

1.3.2 田間管理與效率Efficiency

種植方案的目標(biāo)之一是方便田間管理并提高耕作作業(yè)效率。本文以每種作物每季的種植地塊數(shù)量和作物在單個地塊（含大棚）種植的面積作為考量，構(gòu)建量化公式如下

PNist表示第t年第s季種植作物i的地塊數(shù)量，表達(dá)式為

PTist表示第t年第s季種植作物i的地塊類型數(shù)量，表達(dá)式為

式中：type（j）表示地塊j的類型（如旱地、水澆地、普通大棚和智慧大棚）。

MinARist表示第t年第s季種植作物i的最小種植面積比例，計算公式為

式中：Aj表示地塊j的面積（畝）。

AvgARist表示第t年第s季種植作物i的平均種植面積比例，計算公式為：

1.3.3" 種植方式得分Strategy

我國的農(nóng)業(yè)種植歷史源遠(yuǎn)流長，總結(jié)出了豐富的經(jīng)驗方法，其中很多種植方式都有很高的應(yīng)用價值[4]，其中輪作、間作、混作是具有代表性的3種。

輪作指在同一田塊上有順序地在季節(jié)間和年度間輪換種植不同作物或復(fù)種組合的種植方式，有助于改善土壤的理化性狀，維護(hù)生態(tài)平衡，實現(xiàn)增產(chǎn)增收[5]。間作是指在同一塊地里，按照一定的行間距或時間差，種植株型高矮不一、生育期長短稍有參差的2種或多種不同的作物，以提高土地利用率，減少光能的浪費(fèi)，增加系統(tǒng)生產(chǎn)力[6]?；熳魇侵冈谕粔K田地中，不分行距，密集地同時種植2種或多種不同的作物，合適的混作也可提高光能和土地的利用率，提高作物品質(zhì)[7]。

本文根據(jù)以上信息，結(jié)合作物特點(diǎn)，對種植方式得分進(jìn)行量化，將對合適的種植方式給予高分（score≥0.7），對不符合的種植方式給予低分（score=0.1），部分案例見表2。

根據(jù)量化的種植方式得分，可得到如下種植方案得分計算公式：

1.4" 約束條件

1.4.1" 面積約束

1）最大種植面積

2）最小種植面積。為方便管理，每種作物在單個地塊（含大棚）種植的面積不宜太小，本文假定其不應(yīng)小于該地塊面積的10%

式中：M是一個足夠大的正數(shù)，確保當(dāng)xijst≠0時yijst能夠取值為1。

1.4.2" 非負(fù)約束

作物的種植面積不能為負(fù)值。

1.4.3" 輪作約束

1）對于耕地（平旱地、梯田、山坡地、水澆地）的單季作物輪作

耕地上相鄰年度的同一季節(jié)種植同樣的單季作物不能超過該土地的面積，以實現(xiàn)輪作。式中： t∈T＼{2030} 表示t是集合T中的一個元素，且t≠2030，后文中類似的集合運(yùn)算將不再贅述。

2）對于智慧大棚的連續(xù)季節(jié)輪作

智慧大棚在相鄰年度的不同季節(jié)不能種植同樣的作物，以實現(xiàn)輪作。

3）每3年至少種植一次豆類作物

在所有地塊，每3年內(nèi)至少有1個季度種植豆類作物以改善土質(zhì)。

1.4.4" 旱地（平旱地、梯田、山坡地）約束

旱地在第一季必須種植單季非水稻作物， 第二季不能種植任何作物。

1.4.5" 水澆地特殊約束

水澆地在第一季不能種植除了普通蔬菜和水稻以外的作物。

水澆地上種植的水稻和特殊蔬菜面積不應(yīng)超過地塊的總面積。

1.4.6" 普通大棚特殊約束

普通大棚在第一季必須種植普通蔬菜。

普通大棚在第二季必須種植食用菌。

1.4.7" 智慧大棚特殊約束

智慧大棚每個季度只能種植普通蔬菜。

1.4.8" 銷售量約束

根據(jù)超出部分的2種處理情況，銷售量的約束如下。

情況1：超產(chǎn)部分滯銷

該式表示實際銷售量不大于生產(chǎn)量和預(yù)期銷售量。

情況2：超產(chǎn)部分降價50%價格銷售

式中：zist是實際銷售量，δist是超產(chǎn)部分銷售量超出部分銷售價格減半等價于超出部分銷售價格不變而銷售量減半。

1.5" 基于兩階段優(yōu)化法的模型求解

對于上文建立的多目標(biāo)規(guī)劃模型，本文首先嘗試了通過NSGA-II算法、粒子群算法等啟發(fā)式算法直接求解，結(jié)果都沒有求解成功，分析原因如下。

第一，搜索空間龐大且復(fù)雜。由于模型中涉及多個變量（如作物種類、季節(jié)、地塊和作物種植面積等），且每個變量都有復(fù)雜的組合與交互，導(dǎo)致解空間非常龐大和復(fù)雜，啟發(fā)式算法難以快速找到合適的解。

第二，多目標(biāo)之間的制約。模型中存在3個目標(biāo)（利潤最大化、效率最大化、種植方式得分），彼此之間存在一定沖突和制約，比如提高利潤可能導(dǎo)致效率降低，而提高種植方式得分可能影響利潤。啟發(fā)式算法在處理這類多目標(biāo)沖突時難以找到兼顧各個目標(biāo)的平衡解，從而出現(xiàn)收斂困難。

因此，本文參考兩階段優(yōu)化法思想，將多目標(biāo)規(guī)劃模型的求解拆分成兩個階段，第一階段專注于最重要的利潤最大化目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，找到最優(yōu)解；第二階段在第一階段基礎(chǔ)上，再對田間管理、種植效率和耕種制度進(jìn)行優(yōu)化。具體步驟如下。

步驟1：僅以未來7年的利潤最大化作為目標(biāo)函數(shù)，通過線性規(guī)劃進(jìn)行求解，得到所有作物在4類地塊和2類大棚的最優(yōu)種植面積方案。

步驟2：以最優(yōu)田間管理與效率、種植方式為目標(biāo)，根據(jù)步驟1得到的種植作物及面積基礎(chǔ)上，給出未來7年每個地塊具體種植的作物以及種植面積，即最終的最優(yōu)種植策略——在利潤最大化的同時兼顧田間管理、耕種效率和種植方式。

1.5.1" 基于線性規(guī)劃的最大利潤求解

根據(jù)前述分析，先僅以未來7年的利潤最大化為目標(biāo)，求解作物在4類地塊和2類大棚的最優(yōu)種植面積，規(guī)劃模型調(diào)整如下。

1）決策變量為xikcst，第t年第s季在k類型地塊種植作物i的面積（畝）。

2）目標(biāo)函數(shù)

由于目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的，是線性規(guī)劃模型，可通過python的庫函數(shù)linprog等方式進(jìn)行求解。

1.5.2" 在利潤最大化基礎(chǔ)上的田間管理與效率、種植方式優(yōu)化

根據(jù)上階段求解，已知最大化利潤目標(biāo)下未來7 年4類地塊和2類大棚需要種植的作物及面積?，F(xiàn)在此基礎(chǔ)上，對田間管理與效率、種植方式進(jìn)行優(yōu)化，規(guī)劃模型調(diào)整如下。

1）決策變量為yijst，第t年第s季在地塊j種植作物i的面積。

2）目標(biāo)函數(shù)

由于已經(jīng)知道哪些作物要種植、哪些作物不要種植、要種植的作物在各類地塊的總種植面積是多少，極大縮小了求解空間，為模型的求解減低了難度，有效防止了此前模型建立無法求解的問題。

PySCIPOpt是基于SCIP 優(yōu)化求解器的一個Python 接口，專門用于解決混合整數(shù)非線性規(guī)劃（MINLP）等復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題。本文使用該接口對以上模型進(jìn)行優(yōu)化求解，本文以圖2為例，展示了不同情況下智慧大棚未來7年的種植情況。

2" 考慮隨機(jī)參數(shù)的最優(yōu)種植策略求解

現(xiàn)實生活中，作物的銷售量、畝產(chǎn)量、種植成本等均具有不確定性，存在一定的變動區(qū)間。本文在原有模型基礎(chǔ)上，增加對上述不確定因素的考量，以期幫助農(nóng)戶或農(nóng)業(yè)企業(yè)更好地預(yù)測和應(yīng)對潛在的市場、環(huán)境和成本變化，減少風(fēng)險、提高收益的穩(wěn)定性，并在不確定性中保持競爭力。

本文假設(shè)以下情景以進(jìn)行討論：小麥和玉米預(yù)期銷售量平均年增長5%～10%，其他農(nóng)作物未來每年的預(yù)期銷售量相對于2023年大約有±5%的變化；農(nóng)作物的畝產(chǎn)量受氣候等因素的影響，每年會有±10%的變化；受市場條件影響，農(nóng)作物的種植成本平均每年增長5%左右；糧食類作物的銷售價格基本穩(wěn)定，蔬菜類作物的銷售價格有增長的趨勢，平均每年增長5%左右；食用菌的銷售價格穩(wěn)中有降，大約每年可下降1%～5%，特別是羊肚菌的銷售價格每年下降幅度為5%。

整體思路如圖3所示。

2.1" 基于隨機(jī)擾動的參數(shù)生成

本節(jié)將沿用第一節(jié)的利潤最大化模型，但需要為預(yù)期銷售量、畝產(chǎn)量等參數(shù)引入隨機(jī)擾動，模擬現(xiàn)實中的不確定性和波動性，為后文生成多個可能的情境樣本作基礎(chǔ)。

綜合顯示情況與求解難度，本文以服從均勻分布的隨機(jī)變量來體現(xiàn)不確定性?，F(xiàn)以U（a，b）表示區(qū)間[a，b]上的均勻分布，對各參數(shù)中的運(yùn)用如下所述。

2.1.1" 預(yù)期銷售量

對于小麥和玉米，平均年增長率介于5%～10%，可表示為

其他農(nóng)作物未來每年的預(yù)期銷售量相對于2023 年大約有±5%的變化

2.1.2" 畝產(chǎn)量

畝產(chǎn)量的變化預(yù)計每年為±10%，可表示為

2.1.3" 種植成本

種植成本每年的增長5%左右，以±1%作為波動范圍

2.1.4" 銷售價格

對于糧食類作物，銷售價格基本平穩(wěn)，以±1%作為波動范圍

對于蔬菜類作物，平均每年增長5%，伴隨±1%的波動

對于普通食用菌，價格每年預(yù)計下降1%～5%

對于羊肚菌，價格每年下降5%

2.2" 基于隨機(jī)參數(shù)的利潤最大化模型求解

根據(jù)上文各參數(shù)的計算方法，本文生成了50組隨機(jī)參數(shù)，帶入第一節(jié)利潤最大化的線性規(guī)劃模型求解，得到50個對應(yīng)的最優(yōu)方案。每組求解可表示為

式中：x表示決策變量（種植方案）；X是可行域；f（x，ξω）是在情景ω下的目標(biāo)函數(shù)值E[Profit]；？贅是一組不同情景的集合；每個情景ω∈？贅代表一種可能的外部條件（如市場價格、氣候條件等）；ξω是情景ω對應(yīng)的隨機(jī)變量；Pi1tω是單季作物利潤，Pistω是雙季作物利潤。

表3展示了10 種隨機(jī)情境對應(yīng)最優(yōu)方案的最大利潤情況。

由表3可見，在隨機(jī)擾動的影響下，7 年的最大利潤存在著不確定性。

2.3" 基于樣本平均近似法思想的指標(biāo)計算

樣本平均近似法（SAA）是一種求解隨機(jī)優(yōu)化問題的數(shù)值方法，通過將隨機(jī)優(yōu)化問題中的期望目標(biāo)函數(shù)替換為有限樣本的均值估計，轉(zhuǎn)化為一個確定性優(yōu)化問題來求解[8]。

對于上文得到的50個情境下的最優(yōu)方案，為更好評估其性能，本文采用樣本平均近似法的思想，構(gòu)建如下最大化期望利潤和最小化風(fēng)險（利潤方差）的雙目標(biāo)優(yōu)化模型

式中：x表示決策變量（種植方案），X表示求解得到的50種方案，f（x，ξω）表示在情景下的利潤值，N表示大情景（500個參數(shù)樣本）。

本文視方案在大情景中的利潤方差為種植風(fēng)險指標(biāo)，并記錄每個方案的利潤均值與利潤方差指標(biāo)，用于后文最優(yōu)方案的篩選。

2.4" 基于熵權(quán)法-TOPSIS 法的最優(yōu)解選取

熵權(quán)法-TOPSIS模型是一種將根據(jù)各指標(biāo)所含信息的差異性進(jìn)行各指標(biāo)客觀賦權(quán)和逼近于理想解的排序結(jié)合起來的一種評價模型，其流程圖如圖4所示[9]。

為評估上文50個方案的優(yōu)劣，本文使用熵權(quán)法-TOPSIS法，以利潤均值與利潤方差為指標(biāo)，給出每個方案的評分。經(jīng)求解，利潤均值指標(biāo)的權(quán)重為0.286，利潤方差的權(quán)重為0.714，方案得分概況如圖5所示。

求解得知，序號為29的方案最優(yōu)，在500組樣本環(huán)境下的7年總利潤均值約為566.66萬元，標(biāo)準(zhǔn)差約為6 343.3元，較好平衡了利潤最大化和風(fēng)險最小化2個需求。

2.5" 田間管理與效率、種植方式優(yōu)化

以上文得到的利潤最優(yōu)方案為基礎(chǔ)，帶入1.3.2節(jié)、1.3.3節(jié)，得到綜合最優(yōu)的具體種植方案。本文以圖6最優(yōu)種植方案下智慧大棚的種植情況為例進(jìn)行展示。

3" 結(jié)束語

隨著脫貧攻堅戰(zhàn)取得全面勝利，優(yōu)化農(nóng)作物種植策略、推進(jìn)脫貧地區(qū)的鄉(xiāng)村振興成為當(dāng)前經(jīng)濟(jì)工作的重點(diǎn)。在這一背景下，如何提升鄉(xiāng)村收益、優(yōu)化資源利用、提高抗風(fēng)險能力是亟待解決的問題。本文針對這一現(xiàn)實問題，構(gòu)建了多目標(biāo)規(guī)劃模型，提出了最優(yōu)種植策略，以期為脫貧地區(qū)的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)提供科學(xué)決策支持。

研究結(jié)果表明，本文所構(gòu)建模型綜合了考慮不確定性和作物間的相關(guān)性，可以顯著提高種植策略的收益水平和抗風(fēng)險能力，為脫貧地區(qū)的農(nóng)作物種植規(guī)劃提供了有效的理論依據(jù)和決策支持。

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*通信作者：蔣貴榮（1968-），男，博士，教授。研究方向為非光滑動力系統(tǒng)動力學(xué)分析。