摘"要：本文基于應(yīng)用型、創(chuàng)新型人才培養(yǎng)理念，對(duì)一道經(jīng)典的不定積分題目∫1ex+1dx進(jìn)行全方位、多角度的分析，采用發(fā)散思維，討論變形的總體思路和多種解法.本文主要運(yùn)用湊微分法、有理代換法、割代換法、雙曲代換法等方法得到此題目的12種解法，有助于提高學(xué)生的邏輯思維、辯證思維、創(chuàng)新思維和應(yīng)用知識(shí)認(rèn)識(shí)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生追求真理、精益求精、勇攀科學(xué)高峰的使命感和責(zé)任感，達(dá)到了一題多解的良好教學(xué)效果.

關(guān)鍵詞：創(chuàng)新能力；不定積分；一題多解

中圖分類(lèi)號(hào)：O171""文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

黨的二十大報(bào)告中指出，我們要堅(jiān)持教育優(yōu)先發(fā)展、科技自立自強(qiáng)、人才引領(lǐng)驅(qū)動(dòng)，加快建設(shè)教育強(qiáng)國(guó)、科技強(qiáng)國(guó)、人才強(qiáng)國(guó)，堅(jiān)持為黨育人、為國(guó)育才，全面提高人才自主培養(yǎng)質(zhì)量，著力造就拔尖創(chuàng)新人才，聚天下英才而用之.2024年政府工作報(bào)告中提到，完善拔尖創(chuàng)新人才發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)機(jī)制.從報(bào)告中可以看出，拔尖創(chuàng)新人才備受關(guān)注.

高等數(shù)學(xué)是理工科院校一門(mén)重要的基礎(chǔ)學(xué)科，也是非數(shù)學(xué)專業(yè)理工科專業(yè)學(xué)生的必修數(shù)學(xué)課，具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性.作為一名高等數(shù)學(xué)教師，肩負(fù)著培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的重任，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，以達(dá)到深化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育、落實(shí)創(chuàng)新人才培養(yǎng)機(jī)制、推動(dòng)素養(yǎng)導(dǎo)向的教與學(xué)雙向互動(dòng)的目的.解題是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的一個(gè)重要方式，美國(guó)著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞指出，解題是智力的特殊成就，而智力乃是人類(lèi)的天賦，因此解題可以認(rèn)為是人的最富有特征性的活動(dòng).研究題目能否一題多解，如何進(jìn)行一題多解，需要深入理解分析問(wèn)題的表征及所涉及知識(shí)點(diǎn)并有綜合處理分析的能力.因此，一題多解不僅能對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行充分復(fù)習(xí)鞏固、靈活運(yùn)用，而且能夠在潛移默化中提高學(xué)生的發(fā)散思維能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新思維能力.

本文從一道經(jīng)典的不定積分題目∫1ex+1dx出發(fā)，進(jìn)行全方位多角度分析，采用發(fā)散思維，討論變形的總體思路和多種解法.應(yīng)用湊微分法、有理代換法、割代換法、雙曲代換法等方法探究出十二種解法.在具體解答實(shí)施過(guò)程中，以學(xué)生為主體，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索、小組討論、查找資料，引導(dǎo)學(xué)生勇于提出問(wèn)題并積極解決問(wèn)題，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性和學(xué)習(xí)熱情.最終提高學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新能力、知識(shí)應(yīng)用能力、解決問(wèn)題的能力以及消化知識(shí)的能力，從而突破思維定勢(shì)，開(kāi)闊思路，掌握知識(shí)的縱橫聯(lián)系，達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通的教學(xué)效果.

1"問(wèn)題的表征

用湊微分法求解不定積分時(shí)，先要認(rèn)真觀察被積函數(shù)，尋找導(dǎo)數(shù)項(xiàng)內(nèi)容，同時(shí)為下一步積分做準(zhǔn)備，當(dāng)實(shí)在看不清楚被積函數(shù)特點(diǎn)時(shí)，不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導(dǎo)、嘗試，或許從中可以得到某種啟迪.

基本積分公式中有∫exdx=ex+C，但不定積分∫1ex+1dx不是基本積分公式.

這道題目中會(huì)先注意到ex，要善于利用ex，因?yàn)槠淝髮?dǎo)后不變，所以容易想到分子分母同時(shí)乘以ex，就可以將分子中的ex看作ex求導(dǎo)的結(jié)果，進(jìn)行湊微分，見(jiàn)方法31；又（e-x）′=-e-x，故也可以分子分母同時(shí)乘以e-x進(jìn)而湊微分，見(jiàn)方法3.2；也可以將ex或者ex+1看作整體進(jìn)行直接換元，見(jiàn)方法3.3；通過(guò)分子加減項(xiàng)化簡(jiǎn)出現(xiàn)ex可以湊微分，見(jiàn)方法3.4；根據(jù)1ex+1′=-ex（ex+1）2的特點(diǎn)進(jìn)行湊微分，但此種方法不容易想到，見(jiàn)方法3.5；利用第二類(lèi)換元進(jìn)行三角代換，見(jiàn)方法3.6、方法3.7；也可以利用雙曲正弦雙曲余弦函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行換元，見(jiàn)方法3.8.以上方法中具體寫(xiě)法也有所不同，因而本文整理出具體的12種解法，供教師和同學(xué)們學(xué)習(xí)借鑒.

2"考查知識(shí)點(diǎn)

2.1"基本積分公式

∫1xdx=ln|x|+C，∫exdx=ex+C.

2.2"第一類(lèi)換元法（湊微分法）

設(shè)函數(shù)f（u）具有原函數(shù)F（u），則∫f（φ（x））φ′（x）dx=∫f（φ（x））dφ（x）=F（φ（x））+C，其中φ（x）可微.

2.3"第二類(lèi)換元積分法

設(shè)函數(shù)f（x）在某區(qū)間I上連續(xù)，又x=φ（t）在t對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)φ′（t）連續(xù)，且φ′（t）≠0，則有換元公式：∫f（x）dx=∫f［φ（t）］φ′（t）dtt=φ-1（x），其中t=φ-1（x）是x=φ（t）的反函數(shù).

3"綜合處理分析

3.1"分子分母同時(shí)乘以ex再湊微分

解法一：∫1ex+1dx=∫exex（ex+1）dx=∫1ex（ex+1）dex=∫1ex-1ex+1dex=lnex-ln（ex+1）+C=lnexex+1+C.

解法二：∫1ex+1dx=∫exex（ex+1）dx=∫1ex（ex+1）d（ex+1）.

令t=ex+1，則上式=∫1（t-1）tdt=∫1t-1-1tdt=lnt-1-lnt+C=lnt-1t+C=lnexex+1+C.

3.2"分子分母同時(shí)乘以e-x再湊微分

解法三：∫1ex+1dx=∫e-xe-x（ex+1）dx=-∫11+e-xd（e-x+1）=-ln（1+e-x）+C.

3.3"直接換元

解法四：令t=ex+1，則∫1ex+1dx=∫1td（ln（t-1））=∫1t（t-1）dt=∫1t-1-1tdt=lnt-1-lnt+C=lnt-1t+C=lnexex+1+C.

解法五：令t=ex，則∫1ex+1dx=∫1t+1d（lnt）=∫1t（t+1）dt=∫1t-1t+1dt=lnt-lnt+1+C=lntt+1+C=lnexex+1+C.

解法六：令x=lnt，則∫1ex+1dx=∫1elnt+1d（lnt）=∫1t+1d（lnt）=∫1t（t+1）dt=∫1t-1t+1dt

=lnt-lnt+1+C=lntt+1+C=lnexex+1+C.

3.4"分子加項(xiàng)減項(xiàng)再湊微分

解法七：∫1ex+1dx=∫1+ex-exex+1dx=∫1-exex+1dx=∫1dx-∫exex+1dx

=∫1dx-∫1ex+1d（ex+1）=x-ln（ex+1）+C.

3.5"直接湊微分

解法八：∫1ex+1dx=-∫ex+1exd1ex+1=令t=1ex+1-∫1t1t-1dt

=-∫11-tdt=ln1-t+C=ln1-1ex+1+C=lnexex+1+C.

3.6"第二類(lèi)換元，利用sec2x-1=tan2x

解法九：∫1ex+1dx=∫ex-1e2x-1dx=令ex=sect∫sect-1tan2td（lnsect）

=∫sect-1tan2t1sectsecttantdt=∫sect-1tantdt=∫1sint-costsintdt

=∫csctdt-∫1sintd（sint）=lncsct-cott-lnsint+C

=lncsct-cottsint+C=ln1-costsin2t+C.

圖1

根據(jù)ex=sect，t∈（0，π2），做輔助直角三角形（如圖1），可得sint=e2x-1ex，cost=1ex，因此，∫1ex+1dx=ln1-1exe2x-1ex2+C=lnexex+1+C.

3.7"第二類(lèi)換元，利用tan2x+1=sec2x

解法十：∫1ex+1dx=∫ex+1（ex+1）2dx=∫ex+1e2x+1+2exdx.

令ex=tant，t∈0，π2，則∫1ex+1dx=∫ex+1e2x+1+2exdx=∫tant+1sect+2tantd（lntant）

=∫tant+1sect+2tant1tantsec2tdt=∫sint+cost1+2sintcost1sintdt=

∫sint+costsin2t+cos2t+2sintcost1sintdt=∫1sint+cost1sintdt=∫（sint+cost）2-2sintcostsint+cost1sintdt

=∫sint+costsint-2costsint+costdt.

其中，∫sint+costsintdt=∫1dt+∫1sintd（sint）=t+lnsint+C，∫costsint+costdt=12∫cost+sint-sint+costsint+costdt=12∫1dt+∫1sint+costd（sint+cost）

=12t+lnsint+cost+C，故∫1ex+1dx=lnsint-lnsint+cost+C=lnsintsint+cost+C.

圖2

根據(jù)ex=tant，t∈（0，π2），做輔助直角三角形（如圖2），可得sint=exe2x+1，cost=1e2x+1，故∫1ex+1dx=lnexe2x+1exe2x+1+1e2x+1+C=lnexex+1+C.

解法十一：令ex=tan2t，t∈0，π2，則x=lntan2t，dx=2tantsec2ttan2tdt=2sec2ttantdt，∫1ex+1dx=∫1tan2t+12sec2ttantdt=∫1sec2t2sec2ttantdt=2∫1tantdt=2∫1sintd（sint）

=2lnsint+C.

圖3

根據(jù)ex=tan2t，t∈0，π2，做輔助直角三角形（如圖3），可得sint=exex+1，故∫1ex+1dx=2lnexex+1+C=lnexex+1+C.

3.8"利用雙曲正弦雙曲余弦函數(shù)的關(guān)系cosh2x-sinh2x=1

解法十二：令ex=sinh2t，則x=lnsinh2t，dx=2sinhtcoshtsinh2tdt=2coshtsinhtdt，

∫1ex+1dx=∫1sinh2t+12coshtsinhtdt=∫1cosh2t2coshtsinhtdt=2∫1coshtsinhtdt=

2∫cosh2t-sinh2tsinhtcoshtdt=2∫coshtsinht-sinhtcoshtdt=2∫1sinhtd（sinht）-∫1coshtd（cosht）=2lnsinht-lncosht+C=2lnsinhtcosht+C=lnexex+1+C.

本文從高等數(shù)學(xué)中一道不定積分題目出發(fā)，用不同的方法進(jìn)行解答，以上十二種解法展示了“一題多解”的基本過(guò)程，體現(xiàn)了題目解法的靈活性和多樣性.“一題多解”教學(xué)的目的在于拓寬學(xué)生的知識(shí)面，提高學(xué)生運(yùn)用不同知識(shí)解答問(wèn)題的技巧.雖然過(guò)程不同，但結(jié)果一致，這體現(xiàn)了一題多解的結(jié)論一致性、數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通以及對(duì)發(fā)散性思維、創(chuàng)新能力的培養(yǎng).教學(xué)設(shè)計(jì)豐富而有層次，由淺入深，符合本科一年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和學(xué)習(xí)程度要求，學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)、思考和對(duì)比能更深入地理解知識(shí)點(diǎn)及不同方法的區(qū)別和優(yōu)缺點(diǎn)，以便針對(duì)不同的實(shí)際應(yīng)用而選擇不同的處理方法.通過(guò)“一題多解”不僅能體現(xiàn)解題能力的強(qiáng)弱，也能彰顯它開(kāi)放思維、創(chuàng)意創(chuàng)新的特點(diǎn).因而，“一題多解”是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的一種重要途徑.

通過(guò)對(duì)比不同解題方法的過(guò)程和優(yōu)缺點(diǎn)，同學(xué)們對(duì)所學(xué)知識(shí)間的縱橫關(guān)系有所了解，同時(shí)通過(guò)比較能找到更簡(jiǎn)潔的解題途徑.以隱性課程思政的方式，培養(yǎng)學(xué)生探索未知、精益求精的科研精神，進(jìn)一步體現(xiàn)了科學(xué)研究的一般規(guī)律.同時(shí)，在小組合作討論交流、查閱資料的過(guò)程中，也提高了同學(xué)們的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和彼此的感情，這無(wú)疑也是一種很好的思政教育.

除此之外，高等數(shù)學(xué)課程中的很多題目都可以用多種思路和方法求解，在組織“一題多解”教學(xué)時(shí)，應(yīng)以學(xué)生為主體，充分引導(dǎo)以激發(fā)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和自我探索能力，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，弘揚(yáng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，鼓勵(lì)其積極參與教學(xué)活動(dòng)，并敢于標(biāo)新立異，勇于提出問(wèn)題，積極開(kāi)展交流和討論，課后讓學(xué)生通過(guò)相應(yīng)的訓(xùn)練達(dá)到熟能生巧的程度，使學(xué)生深化知識(shí)的理解和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐和再創(chuàng)造能力.這樣才有利于學(xué)生突破思維的局限性，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和綜合能力，這對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)綜合運(yùn)用多種積分技巧求解不定積分具有啟發(fā)意義.

參考文獻(xiàn)：

［1］王彩俠，戴智博.高等數(shù)學(xué)中一題多解及創(chuàng)造性思維培養(yǎng)探究［J］.教育現(xiàn)代化，2019，6（39）：173174.

［2］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院.高等數(shù)學(xué)（上）［M］.8版.北京：高等教育出版社，2023.

基金項(xiàng)目：2024年江蘇省高校人工智能通識(shí)教育教學(xué)改革研究專項(xiàng)課題：人工智能視域下大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)轉(zhuǎn)型探索研究（2024AIGE44）；教育部產(chǎn)學(xué)合作協(xié)同育人項(xiàng)目：教育數(shù)字化背景下基于應(yīng)用型人才培養(yǎng)的大學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)水平提升研究（2409072015）;2024年蘇州城市學(xué)院高等教育改革研究項(xiàng)目：新工科背景下基于“一中心—三要素—四方位—多元化”數(shù)字化賦能大學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)評(píng)價(jià)的探索研究（24JGJ24）

作者簡(jiǎn)介：郝曉紅（1986—"），女，漢族，碩士，副教授，主要研究方向：微分方程、數(shù)學(xué)教育。