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        解析幾何的重要工具

        2025-01-14 00:00:00張琬婧
        初中生世界·八年級 2025年2期
        關(guān)鍵詞:縱軸橫軸直角坐標(biāo)

        領(lǐng)" 銜" 人:朱建良(正高級教師、江蘇省特級教師)

        組稿團(tuán)隊(duì):江蘇省太倉市初中數(shù)學(xué)朱建良名師工作室

        平面直角坐標(biāo)系是數(shù)學(xué)、物理等領(lǐng)域中非常重要的工具。借助它,我們可以在二維平面上精確地表示和計(jì)算各種幾何形狀、曲線和點(diǎn)的位置,還可以將某些復(fù)雜的幾何問題簡化為更易于處理的代數(shù)方程形式,找到更直觀、準(zhǔn)確的解決方案。

        “一維”到“二維”

        我們在七年級學(xué)習(xí)了數(shù)軸的概念,明確了任一實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)來表示。平面直角坐標(biāo)系則是在二維平面上確定位置的方法體系,它包含兩個相互垂直且相交于原點(diǎn)(通常表示為O)的坐標(biāo)軸(通常稱為x軸和y軸)。

        在平面直角坐標(biāo)系中,任何點(diǎn)的位置由其在x軸和y軸上的投影,即橫坐標(biāo)(x坐標(biāo))和縱坐標(biāo)(y坐標(biāo))唯一確定。橫坐標(biāo)表示該點(diǎn)到y(tǒng)軸的水平距離,而縱坐標(biāo)表示該點(diǎn)到x軸的垂直距離。

        平面直角坐標(biāo)系不僅是數(shù)學(xué)中的一個基礎(chǔ)工具,而且實(shí)際應(yīng)用廣泛。在物理學(xué)中,坐標(biāo)系被用來描述物體的位置、速度和加速度,為物理現(xiàn)象的研究提供直觀和量化的手段。工程師和建筑師在設(shè)計(jì)和建造時,也依賴于坐標(biāo)系來確定建筑物的位置、尺寸和形狀,確保設(shè)計(jì)精確、施工順利。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中,坐標(biāo)系被用來表示屏幕上的像素點(diǎn),實(shí)現(xiàn)圖像的繪制和編輯。在機(jī)器人技術(shù)中,坐標(biāo)系則用于規(guī)劃機(jī)器人的運(yùn)動路徑,確保機(jī)器人能夠準(zhǔn)確地執(zhí)行各種任務(wù)。在地理學(xué)和地圖制作中,通過平面直角坐標(biāo)系(或其擴(kuò)展形式,如經(jīng)緯度系統(tǒng)),我們可以準(zhǔn)確地定位地球上的任何一點(diǎn),繪制精確的地圖和路線,為人們的出行和導(dǎo)航提供便利。

        合理建立坐標(biāo)系

        平面直角坐標(biāo)系的橫軸通常處于水平位置,縱軸處于豎直位置。兩條數(shù)軸的交點(diǎn),即公共原點(diǎn),是平面直角坐標(biāo)系中的一個重要元素。原點(diǎn)的選擇對于坐標(biāo)系的建立至關(guān)重要,因?yàn)樗鼪Q定了整個坐標(biāo)系的位置和方向。

        在一次數(shù)據(jù)測算中,收集到以下跑步數(shù)據(jù)(表1)。

        為更好地研究跑速與心率之間的關(guān)系趨勢,我們需要將此表格數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為圖象形式。首先我們要將7組數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成有序數(shù)對,即確定橫軸和縱軸分別代表何種含義。由于心率隨著跑步速度的變化而變化,將速度確定為橫軸,心率確定為縱軸,畫出如下圖象(如圖1)。

        我們不難發(fā)現(xiàn),整體數(shù)據(jù)偏向圖象右上方,且區(qū)分不大,無法細(xì)致地看出趨勢所在。細(xì)想發(fā)現(xiàn),問題在于橫軸、縱軸的單位長度選取,如何將這些點(diǎn)更合理地分布在第一象限呢?速度的初始數(shù)據(jù)為8,與原點(diǎn)所代表的0間隔較大,而后續(xù)速度的數(shù)據(jù)基本間隔都為1。同樣,心率也出現(xiàn)了這樣的問題,初始值139與原點(diǎn)的0間隔極大。因此,我們嘗試思考調(diào)整初始位置,修正圖象(如圖2)。

        調(diào)整后,橫軸、縱軸的單位長度更為細(xì)致,使得整體圖像更為清晰,也使后續(xù)研究數(shù)據(jù)的變化趨勢更直觀。在學(xué)習(xí)函數(shù)后,我們還需將函數(shù)和方程結(jié)合進(jìn)行后續(xù)的學(xué)習(xí)。

        由此我們可以發(fā)現(xiàn),建立平面直角坐標(biāo)系,要根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)情況進(jìn)行調(diào)整,從而更清楚地描述和分析二維空間內(nèi)的各種現(xiàn)象和問題。它也是今后學(xué)習(xí)函數(shù)的“敲門磚”,為許多數(shù)學(xué)問題和物理現(xiàn)象提供了直觀的圖形表示和解析方法。

        (作者單位:江蘇省太倉市第一中學(xué))

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