摘 要：在當今教育改革的浪潮中，數(shù)學教育不僅關(guān)注學生對基礎(chǔ)知識的掌握，還注重培養(yǎng)他們的實踐能力和綜合素養(yǎng)。數(shù)學建模作為將抽象數(shù)學理論與現(xiàn)實生活問題相結(jié)合的重要方法，是數(shù)學教學的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。通過數(shù)學建模，學生可以將數(shù)學概念應(yīng)用于實際問題的解決中，培養(yǎng)創(chuàng)新思維和解決問題的能力。從確立建?；顒又黝}、豐富建?；顒宇愋鸵约皟?yōu)化建模活動過程三個方面，探討如何在新課標下有效設(shè)計和開展數(shù)學建模實踐活動，旨在提升學生的數(shù)學素養(yǎng)和綜合能力。

關(guān)鍵詞：新課標；數(shù)學建模；實踐活動

作者簡介：李欣榮（1981—），男，江蘇省通州高級中學。

隨著新課標的深入實施，數(shù)學教育越來越重視學生實踐能力和綜合素養(yǎng)的培養(yǎng)。通過數(shù)學建模，學生不僅可以深入理解數(shù)學概念和原理，還能提升解決實際問題的能力。因此，設(shè)計和優(yōu)化數(shù)學建模實踐活動尤為重要。本文圍繞數(shù)學建模實踐活動設(shè)計進行方法探討，旨在有效提升學生的實際應(yīng)用能力與創(chuàng)新思維。

一、基于知識應(yīng)用，確立建模活動主題

（一）環(huán)境問題，預測污染物擴散

在環(huán)境實踐項目中，預測污染物的擴散是一個重要課題，涉及對污染源、擴散路徑以及受影響區(qū)域的全面分析。許多污染物的擴散過程可以通過函數(shù)衰減模型來描述，因此指數(shù)函數(shù)在這一領(lǐng)域中扮演著關(guān)鍵角色。

例如，在“指數(shù)函數(shù)”這一節(jié)中，教師可以提出實踐問題：在一條河流中，某種化學污染物的濃度會隨著距離污染源的遠近而變化，我們可以通過實驗采集不同距離處的水樣，測量其污染物濃度。在測量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，讓學生利用指數(shù)函數(shù)C（t）=C0eλt建立模型，其中t表示時間，C（t）表示時間t時污染物的濃度，C0是初始濃度，λ是衰減系數(shù)。通過對數(shù)據(jù)進行擬合，學生確定模型中的參數(shù)值，并利用模型預測未來某一時刻或某一地點的污染物濃度。這樣的數(shù)學建?；顒硬粌H能幫助學生理解指數(shù)函數(shù)的數(shù)學性質(zhì)和實際意義，還能讓他們體驗到數(shù)學在環(huán)境科學中的實際應(yīng)用。

互動性強的學習方式能夠激發(fā)學生的學習興趣，加深他們對指數(shù)函數(shù)應(yīng)用的理解，同時培養(yǎng)他們解決實際問題的能力。通過實踐活動，學生不僅掌握了指數(shù)函數(shù)的理論知識，還能夠?qū)⑵鋺?yīng)用到現(xiàn)實環(huán)境問題的分析和預測中，從而提升數(shù)學素養(yǎng)和綜合能力。

（二）經(jīng)濟問題，分析消費者行為

數(shù)學是經(jīng)濟學的重要基礎(chǔ)。消費者的偏好和消費習慣是多種因素共同作用的結(jié)果，所以在經(jīng)濟學研究中，關(guān)于消費者行為的分析常常需要大量數(shù)據(jù)的支持。抽樣技術(shù)是準確描述消費者的整體行為模式的一種重要方法，抽樣能夠確保樣本具有代表性，使分析結(jié)果更具普遍性和可靠性。

例如，在“隨機抽樣”一節(jié)中，教師可以讓學生設(shè)計一次問卷調(diào)查活動來收集消費者的數(shù)據(jù)。在問卷設(shè)計階段，學生需要考慮調(diào)查的目標和問卷中的問題，確保問題能夠全面反映消費者的偏好、消費習慣、品牌忠誠度等關(guān)鍵信息。問卷設(shè)計完成后，學生應(yīng)在多種場景下展開調(diào)查，如在線問卷、現(xiàn)場訪談或電話訪問等，以獲得多樣化的數(shù)據(jù)。學生可以采用簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣或簇抽樣等方法，確保樣本數(shù)據(jù)的多樣性和代表性。簡單隨機抽樣是最基本的方法，即從總體中隨機選擇一定數(shù)量的個體。數(shù)據(jù)收集完成后，學生要利用統(tǒng)計軟件進行數(shù)據(jù)分析，并在分析過程中合理采用描述性統(tǒng)計、相關(guān)分析、回歸分析等多種統(tǒng)計方法，以揭示消費者行為的規(guī)律和模式。通過設(shè)計和實施這一系列問卷調(diào)查和數(shù)據(jù)分析活動，學生不僅能夠掌握隨機抽樣的理論知識，還能提升實踐能力和數(shù)學應(yīng)用能力。

（三）工程問題，評估項目可靠性

與工程學結(jié)合的幾何數(shù)學建模實踐活動也是良好的數(shù)學學習課題。在工程領(lǐng)域，項目的可靠性評估是確保工程質(zhì)量和安全性的重要環(huán)節(jié)。通過評估項目的可靠性，工程師可以識別潛在的風險并采取相應(yīng)的預防措施，確保項目在各種條件下的穩(wěn)定推進。

例如，在學習立體幾何知識時，學生可以建立和分析三維模型，對工程結(jié)構(gòu)的幾何形狀和力學性質(zhì)進行全面評估。如在橋梁工程中，橋梁的設(shè)計和建造需要考慮橋梁在不同荷載條件下的承載能力。學生可以建立橋梁的三維幾何模型，分析橋梁各部分的應(yīng)力分布和變形情況，從而預測橋梁在不同荷載條件下的情況。具體來說，學生可以利用計算機輔助設(shè)計（CAD）軟件工具，輸入橋梁的具體參數(shù)，如長度、寬度、高度、材料屬性等，基于這些參數(shù)，軟件可以生成橋梁的三維幾何模型。建立模型后，學生再利用幾何學的知識對橋梁結(jié)構(gòu)進行力學分析，通過求解問題得到橋梁整體結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和變形分布。在建模過程中，教師可以引導學生討論三維幾何模型和力學分析在工程評估中的重要性。通過案例分析和實際操作，學生能夠直觀理解立體幾何知識在工程領(lǐng)域的應(yīng)用，增強空間想象力和解決問題的能力。

二、指向課程需求，豐富建?；顒宇愋?/p>

（一）數(shù)據(jù)模型，走進股票市場

股票是函數(shù)應(yīng)用的絕佳實踐案例之一。股票市場的數(shù)據(jù)分析是一項復雜而精細的任務(wù)，涉及大量的數(shù)學知識和統(tǒng)計方法。函數(shù)在股票價格變化分析中有著廣泛的應(yīng)用，如在分析股票價格的波動和長期趨勢時，回歸模型是一種有效的工具。

在學習對數(shù)函數(shù)時，學生可以從收集和整理歷史股票數(shù)據(jù)入手開展建模活動。首先，學生選擇一個或多個股票，獲取其過去一段時間內(nèi)的日收盤價、成交量等數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)可以通過金融網(wǎng)站、數(shù)據(jù)庫或?qū)ｉT的股票分析軟件獲取。其次，利用對數(shù)函數(shù)ln（Pt）來轉(zhuǎn)換股票價格數(shù)據(jù)，其中Pt表示第t天的股票價格。這種對數(shù)轉(zhuǎn)換可以將股票價格的相對變化轉(zhuǎn)換為絕對變化，從而更好地捕捉價格的波動特性。最后，采用對數(shù)回歸模型來分析股票價格的變化趨勢。通過對數(shù)據(jù)進行回歸分析，學生可以估計模型中的參數(shù)β，用參數(shù)的估計值揭示股票價格的長期趨勢。例如，如果β為正，則表示股票價格呈現(xiàn)上升趨勢；如果β為負，則表示股票價格呈現(xiàn)下降趨勢。在這一系列的數(shù)據(jù)分析和建?；顒又?，學生不僅能夠深入理解對數(shù)函數(shù)和對數(shù)回歸模型的數(shù)學原理，還能體會到這些數(shù)學工具在金融市場中的實際應(yīng)用價值［1］。

（二）仿真模型，模擬氣象變化

氣象變化的模擬是一個復雜的過程，需要綜合考慮多種因素，如溫度、濕度、氣壓、風速和風向等。在這些因素中，風速和風向是決定天氣變化的重要因素。人們通常采用平面向量來描述風速和風向，學生可以通過建立和分析平面向量模型，理解和預測不同氣象條件下的風速和風向變化，進而掌握平面向量的實際應(yīng)用。

例如，在開展“平面向量”這一節(jié)的建模活動時，學生可以收集氣象數(shù)據(jù)，包括不同地點和時間的風速和風向。風速通常用速度向量來表示，向量的大小代表風速的強度，方向代表風向。例如，風速為10米每秒、風向為東北方向的向量可以表示為v=10i+10j，其中i和j是平面直角坐標系中的單位向量，分別與x軸和y軸方向相同。數(shù)據(jù)收集完成后，學生可以將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為平面向量的形式，計算某一時刻或某一地點的合成風速和風向。例如，如果某一地點的風速向量分別為v1和v2，則該地點的合成風速向量為v=v1+v2。此外，學生還可以利用平面向量的數(shù)量積和向量積，分析不同風速向量之間的關(guān)系。數(shù)量積可以用于計算兩個風速向量之間的夾角，從而確定風向的變化；向量積可以用于計算風速向量在某一平面上的投影，從而分析風速在不同方向上的分量。通過建立仿真模型，開展氣象變化模擬活動，學生不僅能夠深入理解平面向量的數(shù)學原理，還能掌握其在氣象學中的實際應(yīng)用。

（三）動態(tài)模型，探究病毒流行

病毒流行具有極強的動態(tài)性和傳播性，研究病毒傳播過程不僅可以鍛煉學生的數(shù)學建模能力，也可以幫助學生更好地理解病毒的擴散規(guī)律，了解有效防控措施背后的科學依據(jù)。

在“集合”一節(jié)中，學生可以利用集合理論建立病毒傳播模型，模擬不同條件下病毒的傳播過程，從而更好地理解集合及其實際應(yīng)用。首先，學生可以將不同人群表示為不同的集合，如S表示易感人群，I表示感染人群，R表示痊愈人群。這些集合在不同時間段內(nèi)的變化反映了病毒的傳播過程。利用集合的交集和并集，學生可以模擬病毒在人群間的傳播。例如，“S∩I”表示易感人群與感染人群的接觸，在接觸后，一部分易感人群會有一定概率從S集合轉(zhuǎn)移到I集合，即感染病毒。通過不斷模擬這種轉(zhuǎn)移過程，學生可以了解病毒在不同人群間的傳播動態(tài)，深入理解集合理論的基本概念與應(yīng)用價值。這種基于實際問題的建模活動，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和科學素養(yǎng)，提升他們解決復雜問題的信心和技能［2］。

三、聚焦高質(zhì)課堂，優(yōu)化建?；顒舆^程

（一）建立：選擇適宜工具

在數(shù)學建模活動中，選擇適宜的工具至關(guān)重要，不僅可以提高建模的效率，還可以增強學生對數(shù)學概念的理解和應(yīng)用能力。

在函數(shù)的相關(guān)章節(jié)中，合理選擇建模工具有助于學生建立和操作函數(shù)模型，直觀地展示函數(shù)的特性和運算結(jié)果。例如在學習冪函數(shù)時，首先，學生可以通過手繪冪函數(shù)的圖象，直觀地理解冪函數(shù)的變化趨勢和特征。教師可以引導學生畫出不同指數(shù)的冪函數(shù)的圖象，標注出重要的“點”，如冪函數(shù)的零點、極值點和拐點，讓學生掌握冪函數(shù)的基本性質(zhì)，如單調(diào)性、凹凸性、對稱性等。其次，學生可以使用幾何畫板等數(shù)學軟件，構(gòu)建動態(tài)的冪函數(shù)模型。數(shù)學軟件允許學生在屏幕上繪制和操作冪函數(shù)，實時展現(xiàn)函數(shù)圖象的變化。學生可以直觀地觀察冪函數(shù)在不同指數(shù)下的變化情況，以及函數(shù)在不同區(qū)間的增減性。最后，將計算機編程工具運用于冪函數(shù)的建模和分析，有助于函數(shù)計算和將冪函數(shù)可視化。例如，學生可以編寫Python代碼來計算冪函數(shù)在不同點的值，進行復雜的冪函數(shù)計算，并通過圖形界面展示運算結(jié)果。這能使學生在加深對冪函數(shù)運算的理解的同時，培養(yǎng)編程和數(shù)據(jù)分析的技能。

在建?；顒又校處煈?yīng)根據(jù)教學目標和學生的實際情況，選擇適宜的工具，并指導學生掌握這些工具的使用方法。像在上述活動中，教師從簡易的紙筆繪圖入手，逐步引入幾何畫板和編程工具，可以循序漸進地培養(yǎng)學生的實踐能力。

（二）驗證：對比實際情況

建模后的驗證環(huán)節(jié)是確保模型有效性的關(guān)鍵步驟。通過驗證，學生可以確認模型是否準確地反映了現(xiàn)實情況，并進行必要的調(diào)整和優(yōu)化。

以“一元二次不等式”為例。學生研究某公司廣告投入與銷售額之間的關(guān)系時，發(fā)現(xiàn)銷售額y和廣告投入x之間存在函數(shù)關(guān)系，可以用一元二次方程y=ax2+bx+c來表示。學生通過建立一元二次不等式模型ax2+bx+c≥y0來預測廣告投入的效果，其中y0是銷售額的最低期望值。建立模型后，學生需要使用實際數(shù)據(jù)進行驗證。例如，收集過去一段時間內(nèi)不同廣告投入對應(yīng)的銷售額數(shù)據(jù)，記錄為一組數(shù)據(jù)點（xi， yi），檢驗它們是否滿足一元二次不等式ax2+bx+c≥y0。如果絕大多數(shù)數(shù)據(jù)點滿足不等式，說明模型較為準確；否則，需要對模型進行調(diào)整和優(yōu)化。通過建模和驗證環(huán)節(jié)的綜合實踐，學生能夠掌握一元二次不等式的理論知識與實際應(yīng)用，提高數(shù)學素養(yǎng)和科學探究能力，為自己未來的學習和職業(yè)發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。

（三）優(yōu)化：改進限制條件

模型優(yōu)化是提升建模質(zhì)量的關(guān)鍵步驟，通過調(diào)整和改進模型中的限制條件，可以顯著提高模型的精確度和預測能力。

以概率統(tǒng)計為例，學生可以通過優(yōu)化概率模型來提高模型的預測能力，從而更好地掌握概率理論的實際應(yīng)用技巧。在“概率”這一節(jié)的教學中，學生首先需要理解基本的概率模型。例如，分析某一事件發(fā)生的概率時，可能會使用經(jīng)典概率模型、幾何概率模型或離散概率分布模型。這些模型通常建立在一些理想化的假設(shè)條件基礎(chǔ)上，如事件的獨立性、同等可能性。然而，實際情況往往更為復雜，這些假設(shè)條件可能導致模型預測出現(xiàn)偏差。因此，優(yōu)化模型的關(guān)鍵在于識別和調(diào)整這些限制條件。例如，學生使用概率模型預測某產(chǎn)品的故障率時，初始模型可能基于產(chǎn)品故障是獨立且均勻分布的假設(shè)。然而，在實際生產(chǎn)過程中，產(chǎn)品故障受多種因素影響，如生產(chǎn)批次、使用環(huán)境、維護情況等。這些因素會導致故障率波動，使初始模型的假設(shè)不再適用。為優(yōu)化模型，學生可以通過數(shù)據(jù)分析收集更多實際故障數(shù)據(jù)，識別影響故障率的關(guān)鍵因素。通過這一系列優(yōu)化步驟，學生不僅能夠提高模型的預測精度，還能深入理解概率模型在實際問題中的應(yīng)用。

通過對數(shù)學建模實踐活動的深入研究，我們發(fā)現(xiàn)，基于知識應(yīng)用來確立建模主題、豐富建?；顒宇愋秃蛢?yōu)化建模過程，是提升學生數(shù)學素養(yǎng)和綜合能力的有效途徑。在實際教學中，教師應(yīng)積極引導學生將數(shù)學理論與現(xiàn)實問題相結(jié)合，培養(yǎng)學生的實踐能力與創(chuàng)新思維。

［參考文獻］

賈彥益.新課程理念下高中數(shù)學建模教學策略分析［J］.數(shù)學大世界（中旬），2018（12）：44.

林雄.微課在高中數(shù)學教學中的應(yīng)用方法研究［J］.考試周刊，2021（8）：77-78.