摘 要：學生學習小數(shù)比大小時常會出現(xiàn)各式各樣的錯誤，小數(shù)比大小時，學生繼承了整數(shù)比大小、分數(shù)比大小和負數(shù)比大小的已有知識和經(jīng)驗，出現(xiàn)了基于“整數(shù)規(guī)則”比較大小、“分數(shù)規(guī)則”比較大小、“零規(guī)則”比較大小、“負數(shù)規(guī)則”比較大小等各種錯誤.小數(shù)比大小混淆是學生在不同的類比映射下，將鏡像隱喻同一特征的不同對象合并或不區(qū)分的結(jié)果.多位國內(nèi)外學者闡述了物體集合隱喻、對象建構(gòu)隱喻、量尺隱喻、沿路線運動隱喻、鏡像隱喻，他們的隱喻思想研究對研究學生的認知規(guī)律提供了新的視角．

關(guān)鍵詞：小數(shù)比大?。诲e誤；意象圖式；鏡像隱喻

1 小數(shù)的歷史

數(shù)學家劉徽在注解《九章算術(shù)》時提出了用十進制小數(shù)表示平方根的非整數(shù)部分思想.^［1］劉徽對長度的記法采用的單位是丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，“忽”是最小的單位，表示不盡根，指出在“忽”以下的第一位，作為以10為分母的分數(shù)，第二位數(shù)作為以100為分母的分數(shù)……劉徽明確指出，加定法如前，求其微數(shù)，微數(shù)無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母，退之彌下，其分彌細，這說明劉徽已明確地使用十進分數(shù)“a+b10+c100+……”來表示小數(shù).^［2］劉徽把個位以下無法標出名稱的部分稱為“徽數(shù)”，也就是現(xiàn)在的小數(shù)；古人還用“奇零”“余數(shù)”“尾數(shù)”及“微數(shù)”等名稱來稱呼小數(shù).公元13世紀，我國出現(xiàn)了小數(shù)的記法；公元19世紀末期我國才普遍采用十進制小數(shù)點.^［3］從本質(zhì)上說，十進分數(shù)與十進小數(shù)是沒有區(qū)別的.但從表達形式和運算過程來說，十進分數(shù)是遠不及十進小數(shù)簡潔優(yōu)越的．

我國古代天文學家用百進位的小數(shù)來記錄數(shù)據(jù)，著名科學家何承天編著的《宋書》律歷志部分就已大量地記述了如圖1所示的數(shù)，即用附在整數(shù)位后面的小字來表示小數(shù)，這對后來我國小數(shù)的記法有深遠影響．

十一萬八千二百九十六二十五118 296.25九萬四千三百五十七94 305.17

如圖2所示，劉瑾在其音樂著作《律呂成書》中，表示“106 368.631 2”時，把小數(shù)部分寫低一格，以示與整數(shù)部分的區(qū)別.類似地，如圖3所示，在《丁巨算法》的第十問的演草里，把“鈔六十七兩六錢八分”記作因為以“兩”作為單位，所以錢、分就是小數(shù)了．

美國數(shù)學史家卡約里（C.Florian）認為十進小數(shù)是近代數(shù)學史上關(guān)于計算基礎(chǔ)方面的三大發(fā)明（印度計數(shù)法、十進分數(shù)和對數(shù)）之一.^［4］隨著人類社會的發(fā)展，需要更精確的數(shù)量單位來進行度量和運算，小數(shù)就是因為開平方運算的需要產(chǎn)生的.1585年，荷蘭的數(shù)學家斯蒂文（S.Stevin）在《論小數(shù)》一文中，用圓圈內(nèi)的數(shù)字表示十進制分數(shù)的數(shù)位，并將小數(shù)應用到計算中，使十進小數(shù)有效地參與記數(shù)，如2.192，寫作21①9②2③^［5］，這極大地促進了小數(shù)的普及和推廣.1953年，德國數(shù)學家克拉維斯（C.Clavius）首先用“.”表示小數(shù)點，這個符號比較簡明、方便，成為表示小數(shù)的一種通用方法^［6］，被人們廣泛使用．

在小學數(shù)學課程體系中，小數(shù)是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的重要內(nèi)容.在小學階段，以人教版教材為例，學生在小數(shù)方面所學的課程內(nèi)容主要有小數(shù)的讀法寫法、小數(shù)的性質(zhì)及意義、小數(shù)的大小比較、小數(shù)點的移動引起小數(shù)變化、小數(shù)的單位換算、小數(shù)的近似數(shù)、小數(shù)加減法豎式計算、整數(shù)加法運算定律推廣到小數(shù)、小數(shù)乘法、小數(shù)除法等內(nèi)容，具體分布如下（見表1）．

一方面，小數(shù)在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域占有重要地位，與整數(shù)、分數(shù)、負數(shù)、比、百分數(shù)的學習有密切的關(guān)系；另一方面，小數(shù)的知識還廣泛應用于數(shù)學的其他三大知識領(lǐng)域中，并發(fā)揮著重要的作用，如在“圖形與幾何”領(lǐng)域中計算圖形的周長、面積和體積；“概率與統(tǒng)計”領(lǐng)域中計算平均數(shù)、中位數(shù)以及在“實踐活動”中測量物體的長度等．

2 比大小中的常見錯誤

小學生對于小數(shù)的學習并不陌生，小數(shù)在日常生活中經(jīng)常被用于表示或記錄某些物體的數(shù)據(jù)，如人民幣、人的身高、物體的長度和質(zhì)量、學習成績、天氣的氣溫、人體的體溫等事物的數(shù)據(jù)都用小數(shù)來記錄.學生對小數(shù)有著非常豐富的已有知識和經(jīng)驗，這些經(jīng)驗既可以幫助學生解題，也會給學生解題帶來困擾，導致學生在解題時出現(xiàn)錯誤.小數(shù)大小有如下幾個比較常見的錯誤類型：依據(jù)“整數(shù)規(guī)則”比較;依據(jù)“分數(shù)規(guī)則”比較；依據(jù)“零規(guī)則”比較；依據(jù)“負數(shù)規(guī)則”比較．

學生存在對小數(shù)本身的概念誤解（Misconception），錯誤地認為小數(shù)是用符號隔開的兩個整數(shù)^［7］，所以學生會受到已有知識經(jīng)驗的影響，基于“整數(shù)規(guī)則”或“整數(shù)經(jīng)驗”進行比大小.例如，在比較0.056、0.506、0.560、0.56大小時，有學生錯誤地認為0.560＞0.506＞0.56＞0.056，理由是560＞506＞56，所以0.560＞0.506＞0.56＞0.056；比較0.676 767 67和0.7的大小，學生初學時認為0.676 767 67＞0.7，從直覺看，學生存在“小數(shù)越長，小數(shù)越大”的誤解^［7］，也稱數(shù)位溢出思想.以上錯誤說明，初學者尚未建立比較小數(shù)大小的方法，即從高位比起.此外，學生繼承整數(shù)乘法、整數(shù)除法的經(jīng)驗進行比較，如認為3.68×0.98＞3.68，3.68÷0.98＜3.68，存在“乘法越乘越大”“除法越除越小”的誤解．

除了整數(shù)經(jīng)驗會影響小數(shù)比大小，分數(shù)的經(jīng)驗也對小數(shù)比大小有影響.5.62和5.736兩個小數(shù)比大小的過程中，學生認為5.62＞5.736.學生誤認為5.62=562，5.736=5736，因為562＞5736，所以錯誤地認為5.62＞5.736，即初學者認為小數(shù)越短，小數(shù)越大，這樣的誤解也稱分母式思維.雖然這樣的行為看起來很幼稚，但是初學者確實表現(xiàn)出了這種行為.面對一樣長的小數(shù)，學生會利用分數(shù)比大小的經(jīng)驗，比較小數(shù)之間的大小關(guān)系，如13＞14，所以誤認為0.3＞0.4，把分數(shù)比較繼承到了小數(shù)比較中．

學生存在對小數(shù)的概念誤解，認為小數(shù)就是很小的數(shù)，小數(shù)是介于0和1之間的數(shù).所以，零越多的小數(shù)，小數(shù)越??；零越少的小數(shù)，小數(shù)越大.在0.1和0.100 00的比較中，學生誤認為0.1＞0.100 00，這是基于“零規(guī)則”比較出現(xiàn)的錯誤．

關(guān)于小數(shù)的概念誤解還有小數(shù)是很小的數(shù)，是小于零的數(shù)，小數(shù)是負數(shù)，即0.22被誤認為是零以下的負數(shù).國外研究顯示，研究者對初一年級的學生進行比較大小的調(diào)查，學生會基于負數(shù)比大小的經(jīng)驗產(chǎn)生對小數(shù)比較的錯誤思考，學生的理由是-3＞-4，則0.3＞0.4.^［8］

3 隱喻

隱喻，最早可追溯到傳統(tǒng)隱喻，傳統(tǒng)隱喻主要是修辭隱喻.亞里士多德（Aristotle）是西方修辭學的始祖，他認為隱喻是一個詞替代另一個詞，表達同一意義的語言手段，即把一事物比作另一事物，從而增強語言表達效果.兩個詞語分別來自兩個不同的域，通過相似性建立隱喻關(guān)系.

20世紀30年代之前隱喻的研究始終沒有跳出修辭學的窠臼，直到20世紀30年代以后，隱喻研究轉(zhuǎn)向了語義學理論，英國語言學家理查茲（I. Richards）在《修辭哲學》中指出，隱喻不僅僅是一種語言現(xiàn)象，它還是人類的思維方式，日常生活中充滿著隱喻，隱喻是把表示兩個不同事物的思想放在一起，兩種思想相互作用的結(jié)果就是隱喻的意義.理查茲突破了傳統(tǒng)隱喻只關(guān)注到隱喻某些方面的局限性.從根本上講，他認為隱喻是思想的相互交流，是語境之間的相互作用，人的思想是隱喻的.理查茲突破了傳統(tǒng)修辭學僅將隱喻作為修辭的藩籬，提出了人類思想和行為隱喻性概念.^［9］

后來，認知科學興起，語言學、信息學、人工智能等領(lǐng)域出現(xiàn)，極大地拓展了隱喻的研究領(lǐng)域，美國學者萊考夫（G.Lakoff）和約翰遜（M.Johnson）從認知的角度對隱喻進行研究，在《我們賴以生存的隱喻》一書中闡述了現(xiàn)代隱喻認知觀的基本框架.萊考夫和約翰遜認為隱喻不僅是修辭手法和思維方式，還是人類認知、思維、經(jīng)驗、語言甚至是行為的基礎(chǔ)，是人類生存的基本方式.^［10］

隱喻是一種認知現(xiàn)象，人類通過外部刺激經(jīng)過大腦形成互動經(jīng)驗，涉身活動所形成的思維方式用意象圖式來表達，意象圖式是人類概念化意義建構(gòu)的認知基礎(chǔ)，人類的身體無時無刻處于各式各樣的活動之中，身體始終處于與外部客觀世界的接觸和互動中，意象圖式就在這些活動中，給抽象事物賦予具體結(jié)構(gòu)（如圖4）.^［11］人類用熟悉的某一領(lǐng)域的經(jīng)驗（源域）來解釋抽象的另一領(lǐng)域的經(jīng)驗（目標域）．

萊考夫和約翰遜認為心智本質(zhì)上是涉身的；思維大多是無意識的；抽象概念大部分是隱喻的.^［12］隱喻是一種認識新概念的工具，具有涉身性，自動地、無意識地滲透在人類思想、語言和行為之中.隱喻映射將人類涉身感覺運動與外部世界互動的體驗投射到主觀經(jīng)驗中，賦予其意義并理解意義過程.萊考夫和約翰遜說明了人類使用日常語言通過隱喻理解抽象概念，從而證明了隱喻推理是人類思想和交流的基礎(chǔ).^［13］

有學者將隱喻思想應用到數(shù)學研究中，通過隱喻來理解抽象概念.例如，“數(shù)字是一條線上的點”“等式是一個平衡”，這些實例通過一個熟悉的、具體的源域（線、平衡、框）來查看不太熟悉的目標域（數(shù)字、等式、變量）.隱喻的主要特征是一個領(lǐng)域被概念化為另一個領(lǐng)域．

4 鏡像隱喻：十進制數(shù)的位值表示法的三種心理構(gòu)造有學者

闡述了物體集合隱喻、對象建構(gòu)隱喻、量尺隱喻和沿路線運動隱喻，人們通過四種基本隱喻對數(shù)學的概念進行認知.^［14］鏡像隱喻是隱喻的一種，鏡像有以下三個基本組成部分：真實物體、它們的圖象（反射）和鏡像位置（某種對稱線、平衡點、樞軸、軸）.為了進行概念隱喻，這些基本成分之間的關(guān)系也必須從源域到目標域進行轉(zhuǎn)換.有了鏡子，每個真實的物體都有自己清晰的圖象.在理解數(shù)字時，先通過物體集合隱喻實現(xiàn)從物理對象領(lǐng)域到數(shù)字領(lǐng)域{1，2，3，4，…}的映射，即物體集合來源域和算術(shù)目標域的隱喻映射.在經(jīng)典的數(shù)列中，正數(shù)和負數(shù)關(guān)于0對稱，0作為平衡點（第一把鏡子），{1，2，3，4，…}作為真實物體，通過平衡圖式得到的圖象是{-1，-2，-3，-4，…}（如圖5）.在數(shù)學術(shù)語中，這些圖象是自然數(shù)的加法逆.

正數(shù)和它們的倒數(shù)在自然數(shù)1周圍是平衡的.物體首先通過物體集合隱喻實現(xiàn)從物理對象到數(shù)字領(lǐng)域的隱喻映射，{1，2，3，4，…}通過鏡子“1”反射圖象（第二把鏡子），圖象是單位分數(shù)12，13，14，…（如圖6）.在數(shù)學術(shù)語中，單位分數(shù)是以整數(shù)來概念化，這些圖象是自然數(shù)的乘法逆．特別說明的是圖片表明正數(shù)和它們的倒數(shù)在自然數(shù)1周圍是平衡的，并不是按照數(shù)字大小進行排列的.

第三把鏡子與概念隱喻的空間排列有關(guān)，在這里，真正的對象不是自然數(shù)，是數(shù)位{一，十，百，千，…}.作為真實物體，以個位作為第三把鏡子，它們的圖象是“小數(shù)”數(shù)位{十分之一，百分之一，千分之一，…}（如圖7）.

通常的位值計算的空間安排被學生看作是某種“數(shù)線”，數(shù)字沿著它分布.這個模型和另外兩個模型一樣，向兩個方向無限延伸，小數(shù)點的左邊有整數(shù)值遞增，右邊有遞減值的“十進制數(shù)”.學生不清楚鏡子的位置，他們認為它是小數(shù)點，而不是個位．

自然數(shù)是構(gòu)成其他數(shù)概念的主要元素.鏡像隱喻涉及分數(shù)、負數(shù)和十進制數(shù)的位值表示法的心理構(gòu)造，三種心理構(gòu)造不同.學生把小數(shù)和整數(shù)、分數(shù)、負數(shù)混淆的深層次原因是同一源域特征隱喻映射的不同目標之間的混淆，錯誤地認為小數(shù)是負數(shù)的學生正在合并自然數(shù)的不同圖象.

部分學生錯誤地

合并了第一列和第三列中的圖象（見表2），小數(shù)比較中繼承了分數(shù)經(jīng)驗的學生可能合并了第二列和第三列.位值鏡像及其相關(guān)的“數(shù)字線”是一個心理構(gòu)造，和正/負鏡像隱喻、倒數(shù)鏡像隱喻不同的是位值鏡像隱喻是數(shù)位的平衡．

5 結(jié)論與啟示

小數(shù)比較中的錯誤并不是簡簡單單的粗心、馬虎、不認真，也不是簡單的看錯符號.錯誤來源于概念本身的誤解、概念與概念之間的誤解、直覺規(guī)律、隱喻過程中出現(xiàn)的混淆等．

首先，學生對小數(shù)概念本身存在以下四種常見的概念誤解：小數(shù)是用符號隔開的兩個整數(shù)；小數(shù)是很小的數(shù)；小數(shù)是小于零的數(shù)；小數(shù)是介于0和1之間的數(shù).其次，學生存在概念與概念之間的誤解，學生對小數(shù)進行比大小時錯誤地繼承了整數(shù)經(jīng)驗、分數(shù)經(jīng)驗和負數(shù)經(jīng)驗，出現(xiàn)了基于“整數(shù)規(guī)則”比較大小、基于“分數(shù)規(guī)則”比較大小、基于“零規(guī)則”比較大小、基于“負數(shù)規(guī)則”比較大小等錯誤.再次，學生存在直覺上的誤解，誤認為小數(shù)越長小數(shù)越大，小數(shù)越短小數(shù)越大，零越少小數(shù)越大，乘法越乘越大，除法越除越小.最后，自然數(shù)是構(gòu)成其他數(shù)概念的主要元素；鏡像隱喻涉及分數(shù)、負數(shù)和十進制數(shù)的位值表示法的心理構(gòu)造，三種心理構(gòu)造不同.其中的正/負鏡像隱喻和倒數(shù)鏡像隱喻在正式的數(shù)學系統(tǒng)中被識別加法的逆和乘法的逆，但是位值鏡像及其相關(guān)的“數(shù)字線”是一個心理構(gòu)造，是數(shù)位的平衡.小數(shù)比大小中的混淆是學生在不同的類比映射下，將鏡像隱喻同一特征的不同對象合并或不區(qū)分的結(jié)果．

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