在人工智能技術(shù)背景下，中學(xué)數(shù)學(xué)建模教育正遭遇前所未有的革新和挑戰(zhàn)．人工智能的迅猛發(fā)展，特別是生成式人工智能技術(shù)的興起，如ChatGPT的問世，已經(jīng)開始重塑數(shù)學(xué)建模的教育理念和方法．這種技術(shù)以其友好的交互性和強大的學(xué)習(xí)能力，不僅吸引了廣泛的社會關(guān)注，也在教育領(lǐng)域引發(fā)了深入的探討[1]．一些教育工作者已經(jīng)將ChatGPT應(yīng)用于材料科學(xué)[2]、職業(yè)英語[3]、臨床醫(yī)學(xué)[4]、計算機編程[5]、數(shù)學(xué)教育[7]等學(xué)科的教學(xué)，盡管對此技術(shù)的接受程度不盡相同，但是將人工智能技術(shù)應(yīng)用于學(xué)科教學(xué)往往被認(rèn)為是可行且有效的[7]．在數(shù)學(xué)建模教育中，ChatGPT等工具的應(yīng)用理應(yīng)成為一種創(chuàng)新的教學(xué)資源，能夠為學(xué)生提供更為直觀、互動的學(xué)習(xí)體驗[9]．隨著這些技術(shù)在教育領(lǐng)域的深入應(yīng)用，預(yù)計將進一步推動數(shù)學(xué)建模教育的發(fā)展，帶來更加深刻和持久的教育變革．

近年來，在人工智能背景下的數(shù)學(xué)建模教育，特別是將人工智能技術(shù)融入數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，因其創(chuàng)新性和實用性受到越來越多教育工作者的重視[8，9]．然而，教師融合人工智能開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)，常面臨如何有效整合人工智能技術(shù)和數(shù)學(xué)思想方法的挑戰(zhàn)．在這種背景下，考慮運用ChatGPT等人工智能工具來輔助教學(xué)設(shè)計，探索其在提升教學(xué)效果上的潛力是一種有益的嘗試[10，11]．

本文選擇中學(xué)數(shù)學(xué)“鉛球投遠”的數(shù)學(xué)建模問題作為嘗試對象，該問題涉及到物理學(xué)、運動學(xué)和數(shù)學(xué)等多學(xué)科知識，是考察學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)建模解決實際問題能力的一個良好實例．通過“鉛球投遠”的數(shù)學(xué)建模案例，可以發(fā)現(xiàn)一方面將ChatGPT應(yīng)用于數(shù)學(xué)建模教學(xué)是可行的，它可以在數(shù)學(xué)建模的各個過程中為師生提供有用的參考，有效提高了建模的效率；另一方面完全依靠ChatGPT目前是不可能的，ChatGPT的建議經(jīng)常包含知識性錯誤和推理錯誤，而且不會就這些錯誤信息提供提示，不過在不斷質(zhì)疑后ChatGPT通?？梢蕴峁┖侠淼慕獯穑纱丝梢?，在質(zhì)疑和批判中使用ChatGPT解題，可以培養(yǎng)師生的批判性思維和創(chuàng)新精神，最終實現(xiàn)“立德樹人”的教育目標(biāo)，推動傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)方式的變革．

1 數(shù)學(xué)建模的教學(xué)流程

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，數(shù)學(xué)建模對于培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有無法替代的重要作用，在中學(xué)階段創(chuàng)設(shè)與現(xiàn)行教材同步的數(shù)學(xué)建模案例和實踐活動是一個嶄新的教學(xué)研究課題．中國的課程教學(xué)改革強調(diào)發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，旨在培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，尤其是在解決實際問題、批判性思維、創(chuàng)新思維和終身學(xué)習(xí)能力方面．?dāng)?shù)學(xué)建模作為一種將數(shù)學(xué)知識與實際問題相結(jié)合的學(xué)習(xí)方法，對于培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要作用．

一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)流程應(yīng)該包括：

（1）提出問題．從實際問題和情景入手，激發(fā)學(xué)生的興趣和好奇心．

（2）建立模型．使用數(shù)學(xué)的方法和工具來表示問題，這一階段包括變量的選擇、假設(shè)的建立和方程的構(gòu)建．

（3）模型求解．應(yīng)用各種數(shù)學(xué)知識、結(jié)構(gòu)和技巧，求解數(shù)學(xué)模型，這可能包括符號計算、計算機編程、結(jié)果展示等方法．

（4）模型驗證．將數(shù)學(xué)模型的結(jié)果應(yīng)用于建模問題或者實際生活中，衡量建模結(jié)果的有效性，必要時對模型的假設(shè)進行調(diào)整和優(yōu)化．

（5）結(jié)果解釋．分析模型求解的結(jié)果，討論其在實際問題中的應(yīng)用，以及模型的局限性和可能的改進方向．

（6）形成報告．將建模工作形成科學(xué)規(guī)范的學(xué)術(shù)論文，包括模型建立、求解過程和結(jié)論，同時評價模型的優(yōu)缺點．

通過上述教學(xué)流程，數(shù)學(xué)建模不僅能夠深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和應(yīng)用，還能有效地提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，為他們的終身學(xué)習(xí)和未來職業(yè)生涯奠定堅實的基礎(chǔ)．

2 基于ChatGPT的數(shù)學(xué)建?！糟U球擲遠為例

2.1 問題描述

鉛球擲遠起源于14世紀(jì)歐洲炮兵推擲炮彈的游戲和比賽，早在1896年第1屆奧運會上就被列為比賽項目．鉛球擲遠可以看作是一個優(yōu)化問題，其目標(biāo)是最大化鉛球的飛行距離．需要考慮的主要因素包括投擲角度θ、鉛球的初速度v以及投擲者的出手高度h．重力加速度g等其他因素是固定的參數(shù)．為簡化模型，忽略在短暫的飛行中鉛球所受的阻力．顯然，投擲角度θ、鉛球的初速度v以及投擲者的出手高度h對鉛球的飛行軌跡和最終落點有顯著影響．運動員投擲鉛球的初速度和出手高度短期很難改變，因此投擲距離可以看作是投擲角度的函數(shù)（）dθ．

2.2 數(shù)學(xué)建模

向ChatGPT提出“一個1.8米的人扔鉛球，出手角度要多大，才能使得鉛球扔得足夠遠”的問題，得到如下回答：“扔鉛球的最遠距離與出手角度有關(guān)，理論上，忽略空氣阻力和其他外部因素時，理想的出手角度通常認(rèn)為是45度．這是因為在這個角度，鉛球的初始速度被均等地分配到了水平和垂直方向，從而最大化了鉛球的水平位移．”

進一步追問：“忽略空氣阻力，如何證明45是最優(yōu)的？”ChatGPT給出了正確的解答：要得到拋體運動的最遠距離公式，我們可以從基本的運動方程出發(fā)，考慮到拋體運動可以分解為水平方向和垂直方向的兩個獨立運動．以下是推導(dǎo)過程：

如圖1所示，斜拋運動的基本定律是

x=vtcosθ，y=h+vtsinθ-1/2gt2，其中cosvθ是出手速度的水平分速度，sinvθ是出手速度的豎直分速度．

水平運動：在沒有空氣阻力的理想情況下，水平方向的速度vx=vcosθ是恒定的；

垂直運動：垂直方向的運動受到重力的影響，可以使用運動學(xué)方程來描述．投擲物返回地面的時間t可以通過求解方程vt sinθ-gt2/2=0來獲得（不考慮初始高度），解得t=2vsinθ/g.

水平位移（距離）：水平位移可以通過水平速度vx乘以時間t得到：

這個公式表明，投擲距離d依賴于sin2θ．最大化d在2θ=90°時發(fā)生．因此，在理想情況下，45度的投擲角度會使得拋體達到最遠距離．

ChatGPT給出如圖1所示情景的正確解答．這說明ChatGPT可以根據(jù)問題情景給出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型．此外，ChatGPT還可靈活處理求解一元二次方程、三角函數(shù)變換等基本數(shù)學(xué)運算．ChatGPT這些能力減輕了人們尋找模型和符號計算的負(fù)擔(dān)，和這些能力相比，判斷模型的適用性顯得尤為重要，而這可能是ChatGPT目前還無法勝任的．

2.3 模型改進

進一步提出要求：“上述推導(dǎo)必須考慮扔鉛球的出手高度”，ChatGPT給出了如圖2所示的正確解答：

垂直運動考慮到出手高度h，垂直運動方程為h+vt sinθ-gt2/2=0，則

水平位移（距離） 水平位移可以通過水平速度vx乘以時間t得到：

這個公式比忽略出手高度時的公式更加復(fù)雜，因為它包括了初始高度和初始速度方向的影響．由于包含了平方根，這個公式不容易直接分析得出最優(yōu)角度．然而，可以通過數(shù)學(xué)軟件或編程方法來數(shù)值求解這個公式，找出在特定初始速度和出手高度下使距離最遠的出手角度．如果需要，我可以幫助進行這種數(shù)值求解，以找到在給定條件下的最優(yōu)角度．

ChatGPT給出了最優(yōu)投擲距離關(guān)于d（θ）的函數(shù)表達式，但是卻指出“公式不容易直接分析得出最優(yōu)角度”，轉(zhuǎn)而建議我們進行數(shù)值求解．這說明ChatGPT的邏輯分析能力還略顯不足，而編寫程序解決問題是ChatGPT的強項．為了讓ChatGPT通過解析方法，而不是數(shù)值方法求出最優(yōu)角度，還需要進一步與ChatGPT交互．

2.4 模型求解

提示ChatGPT“直接計算d（θ）關(guān)于θ的導(dǎo)數(shù)”，ChatGPT立刻理解了用戶的需求，即通過求解d（θ）的一階導(dǎo)數(shù)并令之為0，通過求解該方程來計算最優(yōu)出手角度．ChatGPT進行了符號運算，并且正確地計算了

它隨后指出：這個表達式包含了三角函數(shù)、平方根以及它們的組合，這使得方程d'（θ）=0的解非常復(fù)雜．為求解這個方程，可能需要借助數(shù)值方法．

考慮到d'（θ）中θ均以sinθ的形式出現(xiàn)，因此進一步提示ChatGPT“如果以sinθ為未知數(shù)，能求出sinθ嗎？”ChatGPT能夠理解用戶的提示，詳細列出了求解的過程，最終得到

將這個結(jié)果代入d（θ）的表達式，并適當(dāng)提醒ChatGPT進行化簡，最終ChatGPT給出了最優(yōu)的投擲距離

由此可見，ChatGPT在處理數(shù)學(xué)運算時，只能采用機械的算法求解關(guān)于自變量的方程，并且更加傾向于利用具有現(xiàn)成模式的編程算法解決問題，未能根據(jù)方程的特殊之處，例如將某個關(guān)于自變量的表達式視為整體，隨機應(yīng)變地解答問題．而這種能力恰恰是人類最可貴的思維品質(zhì)．

3 人工智能對數(shù)學(xué)建模教育的影響

綜上，類似ChatGPT這樣的人工智能工具在數(shù)學(xué)建模過程中能夠為學(xué)習(xí)者提供較大幫助，但存在較大的局限性．對此，我們需要注意：第一，在反思中選擇ChatGPT提供的解題框架．面對海量的互聯(lián)網(wǎng)知識，學(xué)習(xí)者往往難以迅速找到與解題相關(guān)的模型，而ChatGPT擁有強大的數(shù)據(jù)庫使得它能快速為學(xué)習(xí)者提供恰當(dāng)?shù)哪Ｐ停畬W(xué)習(xí)者可以根據(jù)ChatGPT給出的解答，系統(tǒng)閱讀相關(guān)文獻，進而根據(jù)自己的理解，指導(dǎo)ChatGPT提供更加準(zhǔn)確的模型．第二，在批判中改進ChatGPT的解答．ChatGPT可以高效地提供解答，但也存在形式機械、缺少個性化等問題．因此，教師在利用ChatGPT解答時，應(yīng)該發(fā)揮個人的主觀能動性，根據(jù)題目的特殊性加入個人的理解，為ChatGPT提供可行的解題路徑．

教育的本質(zhì)是創(chuàng)新，教師與ChatGPT最大的區(qū)別正在于創(chuàng)新．ChatGPT可以成為學(xué)習(xí)者開展數(shù)學(xué)建?；顒拥暮脦褪?，幫助學(xué)習(xí)者更快地搜索已有的研究材料，確定解題路徑．學(xué)習(xí)者則應(yīng)該將精力集中在路徑創(chuàng)新和思維突破，重構(gòu)式地設(shè)計建模過程，最終與ChatGPT形成合力，完美完成數(shù)學(xué)建模過程．

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（本文系福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度“協(xié)同創(chuàng)新”專項課題“基于多學(xué)科融合和四位一體的師范生數(shù)學(xué)建模課程體系建設(shè)”（課題編號：Fjxczx23-376） 、2023年本科高校教育教學(xué)研究項目（課題編號：FBJY20230201）、泉州師范學(xué)院國家級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目資助（課題編號：202310399004）和高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心項目（課題編號：CMC20240622）的研究成果之一）